高招文数试题及答案

高招文数试题及答案一、单选题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得极大值，且f(1)=-2，则a、b、c的关系是（）（2分）A.a>0,b=-2a,c=0B.a<0,b=2a,c=0C.a>0,b=-2a,c=-2D.a<0,b=2a,c=-2【答案】C【解析】函数在x=1处取得极大值，则导数f'(x)=2ax+b在x=1时为0，即2a+b=0，得b=-2a。又f(1)=-2，即a+b+c=-2，代入b=-2a，得a-2a+c=-2，即c=-a-2。由于极大值，a>0，故选C。2.直线y=kx+1与圆(x-1)^2+(y-2)^2=4相交于两点A、B，且AB的中点在直线y=x上，则k的值为（）（2分）A.1B.-1C.2D.-2【答案】D【解析】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则中点M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。由直线与圆相交得(x-1)^2+(kx+1-2)^2=4，化简得(k^2+1)x^2+(2k-6)x+1=0。由韦达定理x1+x2=6/(k^2+1)，y1+y2=k(x1+x2)+2=6k/(k^2+1)+2。中点M坐标为(3/(k^2+1),(3k+2)/(k^2+1))。由M在y=x上得3/(k^2+1)=3k+2/(k^2+1)，解得k=-2。3.等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，则前n项和Sn的最小值为（）（2分）A.-n^2+nB.-n^2/2+nC.n^2-nD.n^2/2-n【答案】B【解析】Sn=n/2[2a1+(n-1)d]=n/2[2+2(n-1)]=n^2。当n=1时，Sn最小，为1，故选B。4.设函数f(x)=sin2x+acos2x，若f(π/4)=1，则a的值为（）（2分）A.√2B.-√2C.1D.-1【答案】A【解析】f(π/4)=sin(π/2)+acos(π/2)=1，得a=√2，故选A。5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，C=30°，则sinB的值为（）（2分）A.1/2B.√3/2C.√3/4D.1/4【答案】B【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，得sinB=bsinA/a=√3sin30°/2=√3/4。由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1/2，得c=1。再由正弦定理sinB=bsinC/a=√3sin60°/2=√3/2，故选B。6.若复数z满足z^2=1，则z的实部可能是（）（2分）A.0B.1C.-1D.√2【答案】A【解析】z^2=1，则z=±1。实部为1或-1，故选A。7.某校高招体检中，身高（单位：cm）服从正态分布N(170,σ^2)，若身高在165cm以下的学生占30%，则身高在175cm以上的学生大约占（）（2分）A.15%B.20%C.30%D.40%【答案】A【解析】正态分布关于均值对称，165cm和175cm关于170cm对称，故身高在175cm以上的学生占30%，故选A。8.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei<=5dos=s+i;i=i+1;endA.15B.10C.1D.0【答案】B【解析】循环5次，s=1+2+3+4+5=15，故选B。9.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面，PA=AD=2，AB=1，则二面角A-PB-C的余弦值为（）（2分）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/2【答案】A【解析】取PB中点E，连接AE、CE，则∠AEC为二面角A-PB-C的平面角。由AE=√5/2，CE=√5/2，AC=√2，得cos∠AEC=AE^2+CE^2-AC^2/(2AECE)=1/2，故选A。10.若函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值与最小值之差为（）（2分）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。最大值为2，最小值为-4，差为6，故选C。二、多选题（每题4分，共20分）1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若a>b，则√a>√bB.若f(x)是奇函数，则f(x^2)也是奇函数C.若数列{an}单调递增，则其前n项和Sn也单调递增D.若直线l1∥l2，则l1与l2无公共点【答案】C、D【解析】A错误，如a=4，b=1，则√a=2>√b=1；B错误，f(x^2)是偶函数；C正确，单调递增数列前n项和也单调递增；D正确，平行直线无公共点。2.关于圆锥，下列说法中正确的有（）（4分）A.圆锥的侧面展开图是一个扇形B.圆锥的轴截面是过顶点和底面圆心的截面C.圆锥的侧面积与底面积之比是定值D.圆锥的体积与底面积之比是定值【答案】A、B、C、D【解析】四个说法都正确。3.若函数f(x)=|x-a|+|x-b|（a<b），则下列说法中正确的有（）（4分）A.f(x)的最小值为b-aB.f(x)的图像关于x=a对称C.f(x)在(a,b)上单调递减D.f(x)在[a,b]上取得最小值【答案】A、D【解析】A正确，f(x)在x=(a+b)/2处取得最小值b-a；B错误，图像关于x=(a+b)/2对称；C错误，在(a,b)上单调递增；D正确。4.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若△ABC中，a^2+b^2=c^2，则△ABC是直角三角形B.若数列{an}是等差数列，则其前n项和Sn也是等差数列C.若函数f(x)是偶函数，则f'(x)是奇函数D.若直线l1与l2相交，则它们的夹角等于它们的斜率之差的绝对值【答案】A、B、C【解析】A正确，勾股定理；B正确，等差数列前n项和是二次函数；C正确，偶函数导数为奇函数；D错误，夹角与斜率关系复杂。5.执行以下程序段后，变量t的值为（）（4分）t=1;k=0;whilet<=10dok=k+t;t=t+2;endA.55B.45C.35D.30【答案】A【解析】t=1,3,5,7,9，k=1+3+5+7+9=25，故选A。三、填空题（每题4分，共20分）1.若函数f(x)=2cos(ωx+φ)在x=π/4处取得最大值，且周期为π，则ω=______，φ=______（4分）【答案】2，-π/4【解析】周期为π，ω=2。最大值时ωx+φ=2kπ+π/2，得φ=-π/4。2.若等差数列{an}中，a5=10，a10=25，则a15=______（4分）【答案】40【解析】a5+a10+a15=3a10，得a15=40。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，C=30°，则cosB=______（4分）【答案】1/2【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，得sinB=bsinA/a=√3sin30°/2=√3/4。由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/2。4.若复数z=1+i，则z^4=______（4分）【答案】-4【解析】z^2=2i，z^4=(2i)^2=-4。5.执行以下程序段后，变量s的值为______（4分）i=1;s=0;whilei<=5dos=s+ii;i=i+1;end【答案】55【解析】s=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55。四、判断题（每题2分，共10分）1.若函数f(x)在区间I上单调递增，则其反函数f^-1(x)也在区间I上单调递增。（）（2分）【答案】（×）【解析】反函数单调性与原函数相反。2.若向量a=(1,2)，b=(3,4)，则a+b=(4,6)。（）（2分）【答案】（×）【解析】a+b=(1+3,2+4)=(4,6)。3.若圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2与x轴相切，则a^2=b^2=r^2。（）（2分）【答案】（×）【解析】若切点在x轴正半轴，a=r，b=0。4.若数列{an}是等比数列，则其前n项和Sn也是等比数列。（）（2分）【答案】（×）【解析】等比数列前n项和是等比数列当且仅当公比为1。5.若直线l1与l2相交，则它们的夹角等于它们的斜率之差的绝对值。（）（2分）【答案】（×）【解析】夹角与斜率关系复杂，不等于斜率之差的绝对值。五、简答题（每题5分，共15分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值与最小值。（5分）【答案】最大值为2，最小值为-4。【解析】f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。最大值为2，最小值为-4。2.设复数z=a+bi（a,b∈R），若z^2=1，求z。（5分）【答案】z=1或z=-1。【解析】z^2=a^2+b^2+2abi=1，实部a^2+b^2=1，虚部2ab=0。得a=±1，b=0，故z=1或z=-1。3.设函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值。（5分）【答案】f(x)的最小值为3。【解析】f(x)在x=-2处取得最小值3。六、分析题（每题10分，共20分）1.设函数f(x)=x^3-3x^2+2，证明f(x)在区间[-1,3]上单调递增。（10分）【证明】f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。在[-1,0)和(2,3]上f'(x)>0，故f(x)在[-1,3]上单调递增。2.设函数f(x)=sin2x+acos2x，若f(π/4)=1，求a的值。（10分）【解】f(π/4)=sin(π/2)+acos(π/2)=1，得a=√2。七、综合应用题（每题25分，共50分）1.设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[-1,3]上的最大值与最小值。（25分）【解】f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。最大值为2，最小值为-4。2.设复数z=a+bi（a,b∈R），若z^2=1，求z。（25分）【解】z^2=a^2+b^2+2abi=1，实部a^2+b^2=1，虚部2ab=0。得a=±1，b=0，故z=1或z=-1。---标准答案：一、单选