一元二次方程的概念课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.1一元二次方程的概念学习目标课时讲解1课时流程2一元二次方程一元二次方程的一般形式一元二次方程的解(根)根据实际问题列一元二次方程逐点导讲练课堂小结作业提升知1－讲感悟新知知识点一元二次方程11.定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.感悟新知2.一元二次方程的“三要素”一是只含有一个未知数；二是整式方程；三是未知数的最高次数是2．知1－讲分母或根号内不含未知数整理后感悟新知知1－讲特别提醒最高次数是2的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程，如(m-2)x2+3x-8=0不一定是一元二次方程.知1－练感悟新知

例1知1－练感悟新知解：①符合一元二次方程的概念；②整理，得x2+2x-1=0，符合一元二次方程的概念.故①②是一元二次方程.③含有两个未知数；④不是整式方程；⑤未知数的最高次数是3；⑥当m=0时，不是一元二次方程；⑦整理，得x=0，不是一元二次方程；⑧不是整式方程.故③④⑤⑥⑦⑧不是一元二次方程.综上可知，一定是一元二次方程的有2个.解题秘方：紧扣一元二次方程的“三要素”进行判断.答案：B知1－练感悟新知

③感悟新知知2－讲知识点一元二次方程的一般形式21.一元二次方程的一般形式

一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)

项及项的系数二次项为ax2，二次项系数为a

一次项为bx，一次项系数为b

常数项为c

特点方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数降幂的顺序排列，方程右边为0感悟新知知2－讲示例

感悟新知知2－讲2.一元二次方程的特殊形式特殊形式二次项系数一次项系数常数项ax2+bx=0(a≠0，b≠0)ab0ax2+c=0(a≠0，c≠0)a0cax

2=0(a≠0)a00

知2－讲感悟新知特别提醒1.如果明确指出方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，那么隐含条件a≠0．否则，a的取值不确定是否为0．2.确定一元二次方程的各项和各项系数时，不要漏掉各项前面的符号．3.通常情况下，方程整理为一般形式时，将二次项系数化为正数.感悟新知知2－练

例2

知2－练感悟新知解题秘方：将方程化成一元二次方程的一般形式的步骤如下：去分母、去括号、移项、合并同类项.知2－练感悟新知解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式4x

2－5x+3=0.它的二次项系数是4，一次项系数是－5，常数项是3.(2)移项，得一元二次方程的一般形式3x

2－5=0.其二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是－5.(3)去括号，得3x2-3x+x-1=2x-1.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-4x=0.它的二次项系数为3，一次项系数为-4，常数项为0．(4)去分母，得2x2-3(x+1)=6.去括号，得2x2-3x-3=6.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式2x2-3x-9=0.它的二次项系数为2，一次项系数为-3，常数项为-9．注意不要漏掉“－”号知2－练感悟新知2-1.将方程2x2=－3x+5化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是(

)A.2，3，－5B.－2，3，5C.2，－3，5D.2，3，5A知2－练感悟新知2-2.将一元二次方程(x-2)(2x+1)=(x+2)(x-2)化成一般形式为__________

.x2-3x+2=0感悟新知知2－练已知关于x

的一元二次方程ax2－2x+a2－3x2=9的常数项是0，求a

的值.例3思路导引：知2－练感悟新知解：将原方程化为一般形式，得(a－3)

x2－2x+a2－9=0.因为(a－3)

x2－2x+a2－9=0是一元二次方程，所以a

－3≠0，即a≠3.因为常数项为0，所以a2

－9=0，即a2

=9，得a=3或a=－3.又由a≠3可知，a

的值为－3.知2－练感悟新知3-1.关于x的一元二次方程(m

－3)

x

2+m2x

=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m

的值为(

)A.0B.±3C.3D.－3D知3－讲感悟新知知识点一元二次方程的解(根)31.定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.若一元二次方程有解，则解一定有两个感悟新知2.判断某数是不是一元二次方程的解的方法代入检验法：将此数代入一元二次方程，若能使方程左右两边的值相等，则这个数是一元二次方程的解；反之，它不是一元二次方程的解.知3－讲感悟新知知3－讲拓宽视野关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的三个重要结论：(1)有一个根为x=1a+b+c=0；(2)有一个根为x=-1a-b+c=0；(3)有一个根为x=0

c=0.知3－练感悟新知[母题教材P4习题T3]下列哪些数是一元二次方程x2-4x+3=0的解？为什么？-1，0，1，3.例4

思路导引：知3－练感悟新知解：当x=-1时，左边=(-1)2-4×(-1)+3=8，因为左边≠右边，所以-1不是方程x2-4x+3=0的解；当x=0时，左边=0-0+3=3，因为左边≠右边，所以0不是方程x2-4x+3=0的解；当x=1时，左边=12-4×1+3=0，因为左边=右边，所以1是方程x2-4x+3=0的解；当x=3时，左边=32-4×3+3=0，因为左边=右边，所以3是方程x2-4x+3=0的解.综上可知，1和3是一元二次方程x2-4x+3=0的解.知3－练感悟新知4-1.检验x=-2，x=3是不是方程x(x+1)=-2x-2的根.解:当x=-2时,左边=-2×(-2+1)=-2×(-1)=2,右边=-2×(-2)-2=4-2=2.因为左边=右边,所以x=-2是方程x(x+1)=-2x-2的根.当x=3时,左边=3×(3+1)=3×4=12,右边=-2×3-2=-6-2=-8.因为左边≠右边,所以x=3不是方程x(x+1)=-2x-2的根.感悟新知知4－讲知识点根据实际问题列一元二次方程4步骤摘要(1)审阅读题干，弄清问题中已知量是什么，未知量是什么(2)找找出题中包含已知量和未知量的等量关系设未知数，包括直接(3)设设未知数和间接设未知数两种情况(4)表用含未知数的代数式表示相关的量(5)列根据等量关系，列出一元二次方程知4－讲感悟新知知识链接设未知数的方法：1.直接设未知数；2.间接设未知数；3.辅助设未知数.感悟新知知4－练[母题教材P4习题T2]根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)有一根1m长的铁丝，用它围成一个面积为0.06m2的矩形，求这个矩形的长与宽；例5解题秘方：根据矩形面积公式列方程；感悟新知知4－练解：设这个矩形的长为xm，则矩形的宽为(0.5-x)m.根据矩形的面积公式，得x(0.5-x)=0.06.化成一般形式：x2-0.5x+0.06=0.感悟新知知4－练(2)2026年新春佳节，某班数学兴趣小组的同学互发信息祝贺(每名同学给其余同学每人各发一条信息)，共发出90条信息，求该班数学兴趣小组的人数.解题秘方：注意互发信息问题与握手问题的区别：甲给乙发信息和乙给甲发信息记为2条信息，但甲与乙握手和乙与甲握手记为1次握手.感悟新知知4－练解：设该班数学兴趣小组有x

名同学.因为每名同学需给(x-1)名同学发信息，所以x

名同学共发信息x(x-1)条，即x(x-1)=90.化成一般形式：x2-x-90=0.知4－练感悟新知5-1.参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手15次，设有x人参加聚会，则可列方程为____________.12x(x-1)=15知4－练感悟新知5-2.[期末·长沙岳麓区]如图，一张长方形照片长21cm，宽10cm，配一个相框，相框的四条边宽度都相等，且相框边的面积是照片面积的四分之一，求相框边的宽度.设相框边的宽度为xcm，依题意可列方程为______________.(化为一般形式)8x2+124x-105=0一元二次方程的概念解(根)

方程模型一元二次方程定义一般形式题型利用一元二次方程的相关定义求字母的值1[期中·广州番禺区]若(m－3)x|m－1|－x－5=0是关于x

的一元二次方程，求m

的值.例6类型1利用一元二次方程的定义求方程中字母的值思路引导：解：由题意可知，m－3≠0且|m－1|=2，所以m-1=±2且m≠3，解得m=3或m=-1，且m≠3.所以m=－1.解法提醒确定含字母的一元二次方程时，既要考虑未知数的最高次数是2，也要考虑二次项的系数不等于0．若x=1是一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值为________.例7类型2利用一元二次方程根的定义求方程中字母的值3解题秘方：紧扣一元二次方程根的定义，将根代入原方程，得到一个一元一次方程，从而求出字母的值.解：将x=1代入原方程，得12-4×1+c=0，即1-4+c=0，解得c=3.方法点拨已知一元二次方程的根，求方程中字母的值时，利用方程的根的定义，将方程的根代入方程中转化为以所求字母为未知数的方程，求出字母的值.题型利用一元二次方程根的定义求代数式的值2已知m为方程x2+x－3=0的一个根，则代数式m3+2m2－2m+6的值为__________

.例89解题秘方：已知方程的根(含字母)求代数式的值时，若代数式中涉及的字母的值直接求出过于复杂或不能直接求出，则常用整体代入法求解，即将所求代数式或其中一部分看成一个整体.必要时，要对代数式进行适当的拆分或提公因式再代入求值.解：∵m为方程x

2+x－3=0的一个根，∴m

2+m－3=0.∴m

2+m=3．∴m

3+2m

2－2m+6=m3+m

2+m

2+m－3m+6=m(m

2+m)

+(m

2+m)－3m+6=3m+3－3m+6=9．另解∵m为方程x2+x－3=0的一个根，∴m2+m－3=0．∴m2=3－m，m2+m=3．∴m3+2m2－2m+6=m(3－m)+2m2－2m+6=3m－m2+2m2－2m+6=m2+m+6=3+6=9．题型利用一元二次方程根的定义求关联方程的解3[模拟·鄂州]若关于x的一元二次方程

ax2+bx－1=0(a

≠0)有一根为x=1，则一元二次方程a(x－1)

2+b(x－1)－1=0必有一根为__________．例9x=2解题秘方：两个方程的结构相同，可以借助第一个方程的根来确定第二个方程的根.解：因为一元二次方程a(x－1)

2+b(x－1)－1=0与ax2+bx－1=0(a

≠0)

的结构相同，且一元二次方程ax2+bx－1=0(a

≠0)

有一根为x=1，所以x－1=1，解得x=2.解题方法两个方程的结构相同，将第二个方程中含x的代数式看作一个整体，可以得到其取值与第一个方程的解相同，进而求出第二个方程的解．易错点忽视一元二次方程中二次项的系数不为零已知关于x的一元二次方程(

m

－2)

x2+3x+m2

－4=0有一个根是0，求m的值.例10错解：∵x=0是方程(

m－2)

x2+3x+m2

－4=0的一个根，所以m2

－4=0，得m=±2.正解：(接错解)又∵方程(

m

－2)

x2+3x+m2

－4=0是关于x

的一元二次方程，所以m

－2≠0，即m≠2.所以

m=－2.诊误区：已知方程的根求方程中字母的值时，需要将方程的根代入原方程求解，注意所求字母的值必须使二次项系数不等于0.[中考·深圳]已知一元二次方程x2

－3x+m=0的一个根为1，则m=____________.考法利用一元二次方程根的定义求字母的值1例132试题评析：本题考查的是一元二次方程根的定义，把方程的根代入原方程，得到关于字母参数的方程并求解．解：将x=1代入一元二次方程，得1－3+m=0，解得m=2．已知m是方程x2+4x－1=0的一个根，则(m+5)(m－1)的值为___________．考法利用一元二次方程根的定义求式子的值2例14－4试题评析：本题考查的是一元二次方程根的定义，把代入方程的解所得的式子或待求式灵活变形，运用整体代入法求值.解：把x=m

代入x2+4x－1=0，得m2+4m－1=0，即m2+4m=1.故(m+5)(m－1)=m2－m+5m－5=m2+4m－5=1－5=－4.

C2.关于x的方程(m+1)x|m|+1－(m－1)x+1=0是一元二次方程，则m的值是()A.－1B.1C.±1D.0B3.在一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品.如果参加聚会的同学有x

名，那么根据题意列出的方程是(

)A.x(x+1)=110 B.x(x-1)=110C.2x(x+1)=110 D.x(x-1)=110×2B

D5.[中考·达州母题教材P4习题T5]已知关于x的方程x2+mx-3=0的一个根是1，则m的值为________．26.我们知道方程x2－2x－3=0的解是x1=－1，x2=3，则方程(2x+1)2－2(2x+1)=3的解是_______________

.x1=-1，x2=1

(40-2x)(70-3x)=24503x2-130x+175=0

20339.[新视角新定义题]定义：关于x的一元二次方程cx2+bx+a=0(其中a，b，c是常数，且ac≠0)是关于x的一元二次方