2026届高考数列专题突破

2026届高考考前专题突破三高考中的数列问题考点自测课时作业题型分类深度剖析内容索引考点自测

答案解析

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设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴an＝a1＋(n－1)d＝n.3.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为_____.答案解析

设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由4S2＝S1＋3S3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，4.(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝______.答案解析答案解析4∴an＝－2an－1，又a1＝－1，∴{an}是以－1为首项，以－2为公比的等比数列，∴an＝－(－2)n－1，由1<Sk<9，得4<(－2)k<28，又k∈N＋，∴k＝4.题型分类深度剖析例1

(2016·四川)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n

项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N＋.(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；题型一等差数列、等比数列的综合问题解答由已知，Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立.所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列.从而an＝qn－1.由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2.所以an＝2n－1(n∈N＋).解答

由(1)可知，an＝qn－1，等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序.(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.思维升华解答设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，解答当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，例2

已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；题型二数列的通项与求和证明∵an＋Sn＝n，

①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.(2)求数列{bn}的通项公式.

解答(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息.(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等.思维升华证明(2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.解答

题型三数列与其他知识的交汇解答f′(x)＝2ax＋b，由题意知b＝2n，16n2a－4nb＝0，解答解答令n＝1代入得a1＝2(负值舍去).解答(2)求数列{an}的通项公式；得[Sn－(n2＋n)](Sn＋3)＝0.又已知数列{an}各项均为正数，故Sn＝n2＋n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，a1＝2也满足上式，∴an＝2n，n∈N＋.证明∵k∈N＋，4k2＋2k－(3k2＋3k)＝k2－k＝k(k－1)≥0，∴4k2＋2k≥3k2＋3k，∴不等式成立.命题点3数列应用题例5

(2016·长沙模拟)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；解答由题意，得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).解答＝…经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元.数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略(1)数列与函数的交汇问题①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.思维升华(2)数列与不等式的交汇问题①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式.②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.③比较方法：作差或者作商比较.(3)数列应用题①根据题意，确定数列模型；②准确求解模型；③问题作答，不要忽视问题的实际意义.跟踪训练3

设n∈N＋，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{xn}的通项公式；

解答y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1).

证明课时作业1.(2016·北京)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；

解答设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，∴{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1，又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1,2,3，…).12345(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.

解答

设数列{cn}的前n项和为Sn.∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1123452.(2016·全国甲卷)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；

解答

设数列{an}的首项为a1，公差为d，12345(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.

解答12345

所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.123453.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N＋).(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；

解答

在Sn＝2an＋(－1)n(n∈N＋)中分别令n＝1,2,3，12345

解答由Sn＝2an＋(－1)n(n∈N＋)，得Sn－1＝2an－1＋(－1)n－1(n≥2)，两式相减，得an＝2an－1－2(－1)n(n≥2)，123454.已知正项数列{an}中，a1＝1，点(，an＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图象上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

解答12345

∴an＋1＝an＋1，∴数列{an}是公差为1的等差数列.∵a1＝1，∴an＝1＋(n－1)＝n，∵Sn＝2－b