中学物理学中的数学问题（中）

(8)式表明，地球相对月心系的加速度与月球相对地心系的加速度大小相等(方向相反)，与运动的相对性一致．笔者认为，如果考虑牛顿力学适用于绝对时空观下的低速惯性系，这个问题非常简单，无需引入惯性力，因为地心相对于月心的加速度为等于地球相对于绝对时空的加速度与地球相对于绝对时空的加速度的和，地球相对于绝对时空的加速度为，月球相对于绝对时空的加速度为，地球相对月心系的加速度为.彭加勒认为：科学的进步似乎使得过去牢固建立起来的、甚至被视为基本的原理处于危险之中.可是，没有什么证据表明它们是不可挽救的.即使它们不能原封不动地存在，但也能够经过修正而继续有效.我们乍看起来好像是，理论只持续了一天，废墟堆积在废墟之上.今天理论诞生了，明天它们形成了，后天它们是经典的，第四天它们被抛弃了，第五天它们被遗忘了.可是，只要我们更为细致地观察一下，我们便会看出，这样死去的东西就是名副其实的、自称能使我们认识到事物是什么的理论.然而，在它们之中总有某些东西幸存下来.如果一种理论能使我们认识到真关系，那么人们会晨终得到这种关系，并且会发现，这种关系再次以新的伪装出现在另一种取代了旧理论而居于统治地位的理论之中.毫无疑问，乍看起来．理论对我们来说似乎是脆弱的，而且科学史向我们证明，它们是多么短命；可是它们也不会完全消灭，它们每一个总要留下某种东西，正是这种东西，我们必须加以清理，因为在那里，而且唯有在那里，才存在着真正的实在.物理学的基本原理具有极高的价值；这是人们在许多物理定律的陈述中寻求共同点时得到的；因此，它们似乎代表着无数观察的精髓.2、向量的向量积在中学物理学中的应用（选学）关于数学方法对于物理学的意义，在牛顿的巨著《自然哲学的数学原理》那里就已经以极鲜明的方式表现出来了，它意味着物理学的诞生正是将自然哲学的认识数学化的结果.伴随数学化所带来的精确性极大地提升了人类对于自己认识自然能力的自信.至于实验的方法，则在数学方法应用的前提下，使人的认识具有精确的定量预言能力，并使这种预言得到实验精确的验证.实验方法的这个优点使人能将科学认识大量地应用于生活实践，空前迅速地改变了人的生活环境.这一切都加深了人们对实验方法和数学方法的迷信，而忘掉了真正最本质的方法.爱因斯坦深刻地洞察到了这一点，他说：“牛顿的学说在实践上的巨大成就，也许足以阻止他和十八、十九世纪的物理学家们去认识他的体系的基础的虚构特征.”因此，“直到十九世纪，许多人还相信牛顿的原则──我不作假说──应当是任何健全的自然科学的基础.”数学知识回顾：向量积:设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出:c的模|c||a||b|sin，其中为a与b间的夹角c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手规则从a转向b来确定.那么向量c叫做向量a与b的向量积，记作ab，即cab.根据向量积的定义，力矩M等于与F的向量积，即.向量积的性质:(1)aa0(2)对于两个非零向量a、b，如果ab0，则a//b；反之，如果a//b，则ab0.如果认为零向量与任何向量都平行，则a//bab0.数量积的运算律:(1)交换律ab-ba(2)分配律:(ab)cacbc.(3)(a)ba(b)(ab)(为数).数量积的坐标表示:设aaxiayjazk，bbxibyjbzk.按向量积的运算规律可得ab(axiayjazk)(bxibyjbzk)axbxiiaxbyijaxbzikaybxjiaybyjjaybzjkazbxkiazbykjazbzkk.由于iijjkk0，ijk，jki，kij，所以ab(aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.为了帮助记忆，利用三阶行列式符号，上式可写成aybzi+azbxj+axbyk-aybxk-axbzj-azbyi(aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.矢量保持定长的充分必要条件是与其导矢互相垂直.，.例1在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩.设O为一根杠杆L的支点.有一个力F作用于这杠杆上P点处.F与的夹角为.由力学规定，力F对支点O的力矩是一向量M，它的模，而M的方向垂直于与F所决定的平面，M的指向是的按右手规则从以不超过的角转向F来确定的.例2设刚体以等角速度绕l轴旋转，计算刚体上一点M的线速度.解：刚体绕l轴旋转时，我们可以用在l轴上的一个向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则定出:即以右手握住l轴，当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大姆指的指向就是的方向.设点M到旋转轴l的距离为a，再在l轴上任取一点O作向量r，并以表示与r的夹角，那么a|r|sin.设线速度为v，那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知，v的大小为|v|||a|||r|sinv的方向垂直于通过M点与l轴的平面，即v垂直于与r，又v的指向是使、r、v符合右手规则.因此有vr.安培力和洛伦兹力方向的判定和大小的计算也是一个向量积的问题.3维几何空间是以3个相互正交的单位矢量为“基矢”，将此空间中的任何一个矢量函数投影到3个单位矢量的方向上，分解为3个标量函数.文艺复兴初期一位多才多艺具有代表性的思想家LeonandodaVince(1452~1519)，是现代科学的先驱者之一．他提倡寻找数量关系，认为“人们的探讨不能称为是科学的，除非通过数学上的说明和论证.”在数学里，我们将规范场论称为几何学中的联络理论，它给出了向量沿着空间中封闭环路移动的规则，这些向量可以通过很广泛的方式来定义.规范场的理论在数学上其实是相当普遍的理论，可是应用到物理上以后，它变成重要的理论.因为在数学上，从嘉当、霍普夫、惠特尼，他们就推广了规范场的理论，他们提出了所谓的“向量丛”的观念，他们认为基本上，我们给空间中的每一点都赋予一个线性空间.这个附上的空间可以任意扭曲，正是这些扭曲给物理和几何注入了新的观点.向量丛被应用于粒子物理学的量子化，其结果就是杨—米尔斯理论.在这个理论中杨振宁和米尔斯将外尔的理论一般化到更加广泛的丛（从交换的规范群到非交换的规范群），到了以后，整个规范场理论是影响到整个高能物理的重要的结果.3.复数在中学物理学中的应用在物理学上应用复数和复函数，除了其数学上的意义外，还有别的重要意义吗？长期来物理学家中许多人认为物理学都是“实”的，理论上引入复数和复函数，是为了数学运算方便，运算结果取其实部即可，虚部只是一种陪衬，类似于化学反应中的触媒.物理学发展到了量子力学时代，这种观点显然非抛弃不可.因为无论从哪个角度切入量子力学的理论，都是不可缺少的；波函数原则上都是复函数，虚部是不可缺少的.复函数中的实部和虚部的物理意义各是什么？从科学层面考察，二者之间究竟是一种什么关系？难道自然世界本身是“复”的，而人类直接的感觉经验只能达到“实”的部分，“虚”的部分只能通过理论分析才能有所知？所以量子力学为什么必须有是至今犹存的奥秘之一.理论上，作为量子力学基石的薛定谔方程和海森堡对易关系其本身就是依赖于复数写出的；实验上，人们直接测量到了波函数的实部与虚部.这说明复数可能不是一个主观引入的计算符号，而是可以实验检测的物理实在.近期奥地利、西班牙和瑞士等国家组成的科学家团队提出一种利用确定性纠缠交换验证复数必要性的贝尔不等式类型的检验方法.遵守实数形式量子物理的参与者不能获得标准量子理论中允许的界限，从而排除以实数形式描述标准量子力学的可能性.潘建伟团队基于自主设计研发的超导量子线路和高精度量子操控技术，在世界上首次完成了该实验.在这个理论框架下，实数形式的界限为7.66，而实验测试结果为8.09，超过判据43个标准差.实验结论支持量子物理需要使用复数.矢量是物理中常常谈及的量，不少物理量之间的分析计算都涉及到矢量．由于复数是一个二维量.它除了表示“数”的能力之外还被赋予了方向；然而它仍然是一个“数”‚这使它能参与到比向量更多的计算中，所以在具体的多个方向的物理问题分析中如果引入复数就能将方向的改变直接呈现到具体的计算中而不用再通过复杂的矢量分解和代数运算来解决问题，从而极大的简化了分析过程和方程形式．爱因斯坦的狭义相对论的原始论文是用三维数学表示的，后来改成为用四维时空表示，不仅形式上大为简洁优美，而且思想观念更上一层楼.假设四维时空中的某个物理量是虚数的，如果这个虚物理量有正负两种符号，记为.之间的作用力之所以可以测量，是因为作用力正比于不同的乘积.即，虚数符号i没有了.设两个粒子各带电荷，两个粒子之间电力满足库仑公式：，此时应该把库仑定律微调，就是电荷带上虚数符号i.当与都为正电荷，则：，此时电力为负，相斥；当与都为负电荷，则：，此时电力为负，相斥；当与一正一负，则：，或者：，此时电力F为总为正，相吸.电力总体规律表现为：同性相斥，异性相吸.这个明显的规律性现代物理并没有给出合理的解释，而一旦把电荷看作是虚数物理量，电作用规律再显然不过.力学通常指以牛顿三大定律为核心的矢量力学，有时也泛指描述低速宏观物体机械运动的经典力学体系.从亚里士多德和阿基米德的物理学发展到牛顿力学体系经历了约两千年，经历了以哥白尼、开普勒和伽利略为代表的科学革命.牛顿“站在巨人们的肩膀上”，进行了科学史上第一次伟大的综合，即天与地、实验归纳与理论演绎、时空观与方法论、数学与哲学、物理思维与技术应用等多方面的综合，形成了一个以实验为基础、以数学为表达形式的力学科学体系.他解决的不只是某些概念和定律，而且找出了大至星宇小至微粒分子和日常物体机械运动的共同数学规律.使力学成为可与欧氏几何相比美的严格的科学理论体系，成为物理学乃至整个自然科学和工程技术大发展的基础.牛顿的继承、综合与发展是全面的.他在1664年的一本《一些哲学问题》的笔记本中写道：“柏拉图是我的朋友，亚里士多德是我的朋友，但我最好的朋友是真理”.在数学与物理的结合上，他超越了伽利略所用的初等数学而发展为能够精确描述运动变化过程的微积分(《流数术》).在物质观上，他继承了德谟克里特的原子论.在方法论上他把实验放在首位，他在给奥尔登堡的信中说：“探求事物属性的准确方法是从实验中把它们推导出来”.“进行哲学研究最好和最可靠的方法，看来第一是，勤恳地去探索事物的属性、并用实验来证明这些属性，然后进而建立一些假说，用以解释这些事物本身.”这样，他就把培根的实验归纳法和笛卡儿的理性演绎法统一起来，开辟了一条物理学研究方法的康庄大道.《自然哲学的数学原理》简称《原理》一书集中反映了牛顿总结建立的力学体系，包括几个基本概念的定义，六条推论(即定理或法则)，三条运动定律，万有引力定律及其几何形式和在有阻力介质(气、液体)中的运用，若干天象计算实例，最后讨论了“哲学中的推理方法”.这里值得特别注意的是牛顿对几个基本概念的明确规定和三条运动定律的建立.《原理》的“总论”部分不仅对人们长期混淆的几个基本概念(主要是惯性、质量、动量和力)给出了定义，更重要的是把它们都定量地表述为可以测量与计算的物理量.另外又提出了绝对空间与绝对时间的概念.从而把物理学的若干基石从亚里士多德以来的经院哲学或神学的桎梏中完全夺取过来，成为建立新大厦的基础.德布罗意（LouisdeBroglie，1892－1987）在《阿尔伯特·爱因斯坦科学工作概况》中谈到广义相对论时说：“依靠黎