高考数学难点突破专题训练三：数列

2023高考数学难点突破专题训练（3）

数列

★热身训练

1.（江苏省常州高级中学2022-2023学年高三上学期1月月考数学试题）

“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数

学家朱世杰中富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓

库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多

I件，最后一层是〃件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价

的京，第〃层的货物的价格为,若这堆货物总价是64-ll2（（j万元，则〃的值为

2.（江苏省常州高级中学2022-2023学年高三上学期1月月考数学试题）

对于数列｛«”｝,若存在正整数M,同时满足如下两个条件：①对任意〃eN.,都有㈤KM

成立；②存在“GN,,使得反卜则称数列｛叫为与数列.

⑴若q=l-〃，"=击，判断数列口｝和也｝是否为人数列，并说明理由；（5分）

⑵若为数列｛4｝满足q=〃，q=sin%（〃之2）,求实数〃的取值集合.（5分）

3.(2022—2023学年度第一学期高三阶段联考)

己知数列｛an｝的前n项和为S”，满足4=1,邑=一笑一1

(I)求数列｛凡｝的通项公式;

2〃+1_________

⑵设"二(一1)”，求数列也｝的前〃项和7；

log2(a.+〃)k)g2(a”+i+〃+l)

★高考引领

【试题出处】2022年高考数学全国甲卷理科第17题

【试题】

2Sn

记S.为数列I的前几项和•已知——+n=2a“+I・

(1)证明：I。」是等差数列；

(2)若a,Q”出成等比数列，求，的最小值•

【试题分析】

考查目标等差数列是最基本的数列之一.求解有关等差数列的问

题,关键在于确定首项和公差这两个基本量.试题以考生熟悉的等差数

列为载体，通过考查等差数列的概念与性质以及前〃项和公式，考查考

生分析递推、归纳求解的能力.

解题思路（1）试题的基本条件是通项支与其前〃项和S.之间的关

25.

系，+n=2°Jl,设问为证明I。J是等差数列，首先想到作差法，然后

n

利用将，转化为Q.”，进而分析得到的等式，探求等差数

列的特征.

（2）第（I）问中只证明了是公差为1的等差数列,并未给出首项

的信息.利用。一%.%成等比数列这一附加条件，即可确定I。」的首

项，进而可以得到£的表达式并分析其最值.

试题亮点试题主要考查等差数列的概念、通项公式及前几项和公

式.这些知识点属于课程标准对数列学习的基本要求.试题考查考生借

助通项4与前n项和£之间的关系，研究等差数列的能力.试题考查的

内容是数列的基础知识，且考杳形式和试题所求的结论都是考生所熟悉

的.试题能很好地考直考生的逻辑思维能力.试题作为解答题的第一题.

可以有效缓解考生的紧张情绪，极大地增强考生的信心.有助于与生正

常发挥.

【试题出处】2022年高考数学全国I卷第17题

【试题】

iesn为数列I。」的前〃项和,已知。尸|，｛）｝是公差为;的等差数列，

（1）求I。」的通项公式；

（2）证明：E・・+-

【试题分析】

考查目标试题以考生熟悉的等差数列表达形式入手，重基础而不

落俗套,有创新但不求复杂，着重考杳考生分析问题解决问题的能力.

试题考查考生对等差数列的基本概念,性质及前”项和公式的理解与掌

握.考查考生分析递推、归纳求解、裂项求和等计算技能，考查考生的

理性思维、数学应用等数学学科索养,试题源于教材，深化基础，服务

“双减”，符合基础性、综合性、应用性的考查要求.

试题亮点试题以考生熟悉的等差数列为载体而设计，但不是通常

的给定等差数列求通项、求和等常规操作，而是将等差数列的性质融合

在前几项和与通项的关系之中，特别是第（2）问中的数列的求和运算涉

及裂项相消•试题源于教材，其创新思想又高于教材，充分体现高考的

选拔功能・试题对高中数学教学具有指导作用，要求考生在强化基本功

的同时，加强对知识的灵活运用，形成学科素养.

【试题出处】2022年高考数学全国n卷第3题

【试题】

图1是中国古代建筑中的举架结构,AA\BB\CC,是桁，相

邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面

的示意图，其中。q,CG,BB1,必是举，0口,DG,明，84是相

等的步，相邻桁的举步之比分别为黑=0.5,热=用，监=自，

OUlL/C।Cr>|

44

—=^3.已知%，自，3成公差为0・I的等差数列,且直线以的斜率

DA।

为0.725,贝ij3二

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【试题分析】

考查目标试题以中国古代建筑中的举架结构为背景，体现了数学

与生活实际问题的广泛联系.中国古代建筑的举架结构体现了中国古代

劳动人民将建筑美学和建筑实用功能有效而完美的结合.古人利用三步

举、五步举等结构，可以达到以直代曲的效果，既能实现加速屋顶消去

雨水和积雪的功能，又能体现完美的弧线视觉感受.试题结合举架结构，

考查考生对数列、解析几何和三角学等必备知识的掌握，考查考生的直

观想象、运算求解等关键能力，考查考生的理性思维、数学探索、数学

文化及数学应用等数学学科素养.

试题亮点

(1)试题体现了中华优秀传统文化中的数学文化・习近平总书记在

庆祝中国共产党成立95周年的大会上提出四个自信，其中之一就是文化

自信.在数学高考试题中，有效挖掘中华优秀传统文化与数学问题之间

的联系，可以生动地体现文化自信，激发考生对中华优秀传统文化的热

爱与传承，同时也可以引导其看到中华文化与数学知识的紧密联系•可

以说，试题体现了习近平总书记倡导的文化自信的精神要求，把中华优

秀传统文化与数学应用有机结合，创造性地拓展了数学文化学科素养的

内涵和外延.

(2)试题体现了数学应用的学科素养.数学科学的发展历史告诉我

们，数学科学自始至终处于对数学内部的理性追求和对数学外部的应用

或问题解决这两条路上.，宠无疑问,数学内在的追求和理性精神的思考

是数学发展的基本要:求.但应当看到,自然科学、社会科学及人文科学

的问题提出和解决,对近现代数学科学的发展起到了非常重要的作用,

比如近代微积分的产生主要起源于天文学和经典物理学问题.因此，在

育考试题中,适当体现数学科学发展的另一条路径是恰当的,也是趋势

所在.试题®:在数学应用.即应用数列、解析几何等基础知识分析和解

决举架结构问题.从而使考生感受数学科学的应用性.

(3)试题考杳数学建模等关键能力.试题情境中出现的“举、步”

概念既是苫生熟悉的日常名词，同时在试题中又有C门的“定义”，这

就要求考生在试题情境中抽象出“举”是垂宜距网,“步”是水平距离.

进而选择合理的数学知识和数学工具，建迂合适的数学模型.把“举”

和“步”用数学的方式表达出来，从而建立代数方程，实现问题解决•

在解决问题的过程中,试题考直了考生的逻辑推理、数学建模,运算求

解等关健能力.

(4)试题体现“以直代曲”的数学思想,情境具有创新性.数学科

学中存在曲线的概念.但在实际问题中，不存在数学严格意义下的曲线.

只存在近似于曲线的事物.事实上,如果实际问题中的曲线是一阶连续

可导的，就可以用直线段在局部代替曲线的一部分,这在工程上是作常

合理和实际的.只要考虑到实际的成本和性能上的差别，就可以选择合

理的直线段去遇近曲线而中国古代建筑中的举架结构正是通过三步举、

五步举.七步举等形式,党英地实现「“以自代曲”的思、想,体现「中

国古代劳动人民的科技智意和美学价值取向,丛也务常直观地展现nu

四条直线段代替从。到4的曲线屋顶，厅在引导高中数学教学关注数学

发展的多种路径.

【试题出处】2022年高考数学全国n卷第17题

【试题】

已知IQ」是等差数列，评"是公比为2的等比数列，且。2-h=%-

63=64-a4-

(1)证明：5=d;

(2)求集合"也="+Q1,lWmW500|中元索的个数•

【试题分析】

考查目标试题以考生熟悉的等差数列与等比数列为载体，利用两

个数列的关系进行设计.试题设置课程学习的情境，着建考查等差数列

与等比数列的基本概念与性质，考查考生分析递推、归纳求解的计算技

能以及分析问题解决问题的能力.

试题亮点试题以基本的等差数列和等比数列为载体，在考查基本

概念和性质的同时，很好地考查了考生分析问题、归纳问题以及递推运

算等基本能力.试题面向全体考生，通过巧妙的设计，将等差数列和等

比数列的基础知识、基本性质相结合，全面考查考生对数列知识的掌握

和应用.试题源于教材但高于教材，符合课程标准对该内容的考查要求•

知识点考查全面且有创新•试题深刻体现.通过深化基础性、改变固化

命题形式、增加思维强度来选拔拔尖创新人才的改革精神,落实立德树

人的根本任务.

★难点突破：数列（一）

1.（江苏省镇江第一中学等三校2022-2023学年高三上学期12月质量检测

数学试题）

已知正项数列的前“项和为S”，满足4£-。：+2”“-3,则j斤的最小值为

A.1B.7C.3D.4

2.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三

上学期12月G4联考数学试卷）

在数列｛小｝中，sin（a“+|-«n）sin（«„+|4-%）=击，则该数列项数的最大值为

A.9B.10C.11D.12

3.（江苏省南通市如皋市2022.2023学年高三上学期教学质量调研（三）数学试题）

意大利著名数学家斐波那在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,…，

其中4=%=1,且从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即。“+2=4川+可，后来

人们把这样的一列数组成的数列｛4｝称为“斐波那契数列”,则斐波那契数列｛4｝中.

4联+-二

A・B.。”+3C.。“+2。”+3D.

4.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023

学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）

（多选题）在数列｛斯｝中，已知外，6,…，"10是首项为1，公差为1的等差数列，

矶田，…，砧（小）是公差为d”的等差数列,其中〃£N*，则下列说法正确的是（）

A.当d=l时，“20=20B.若。30=70,则d=2

C.若出+6+…+a20=320,则d=3D.当OVdVl时，aKx”+i）Vy^

5.（盐城市2022.2023高三年级第一学期12月初调研考试数学试卷）（多选题）

在数列｛a［中，若后一师7=汉”之2》€底,防常数），则做列｛即｝为“开方差数列”，则下列判

断正确的是（）

A.｛32n｝是开方差数列B.若SJ是开方差数列，则｛4｝是等差数列

C.若｛册｝是开方差数列，则也是开方差数列（女为常数）

D.若（4｝既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

6.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三

上学期12月联考数学试卷）

已知函数九0的定义域R，40）翔，」1）=镜,且加+历=加施），若数列｛%｝是首项为0,

公差为2的等差数列，则加1：，+贝”2）+…+贝”10）=.

7.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022.2023学年高三

上学期12月G4联考数学试卷）

我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前〃项和，进而可利用该法求数列｛（2〃一1b3”｝

的前〃项和S”其操作步骤如下：

由于S”=1x31+3x3?+…+（2〃一1>3”，

3S”=1X32+3X33+...+（2M-l）-3，，+l,

从而2S”=-3一（2x3?+...+2x3”）+（2〃-1>3",,

所以工=5-1>3"”+3,

始比如上方法可求数列｛/PS"｝的前n项和7；,则2。+3=.

8.（江苏省镇江第一中学等三校2022-2023学年高三上学期12月质量检测数学试题）

III

>----1-----F+---

己知等比数列®｝的公比4d°」），且，贝IJ使《+/++4%4成立的

正整数〃的最大值为一4.

9.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）

已知数列｛%｝的通项为%=〃，且数列1『的前〃项和工，，若

7；,+（-ir）-A>0,则实数2的取值范围为.

10.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）

己知数列｛q｝满足。“+[+q=2〃+5（〃eN’），且为=3.

（1）求数列｛4〃｝的通项公式；

1,/:=1

⑵数列｛〃｝满足。让，

I'[1。耳向）4，〃N2,〃WN

若仿也也....”=3伏/“）,求％的值.

11.（江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期教学质量调研（三）数学试题）

己知数列｛q｝满足4=1，%=一4,7；为其数列｛q｝的〃项积，且

〃*工T=-2（〃+1）不

（1）求数列｛可｝的通项公式；

（2）设2=£，S”为其前〃项和，求满足不等式的最小的正整数〃.

12.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高

三上学期12月G4联考数学试卷）

在数列｛“”｝中，。=1，其前〃项和S,满足2s“=（〃+1）如，"CN*.

（1）求数列｛为｝的通项公式4:

⑵若，〃为正整数，记集合2M的元素个数为瓦，求数列｛狐｝的前20项和.

13,（江苏省镇江第一中学等三校2022.2023学年高三上学期12月质量检测数学试题）

己知数列｛4｝的首项为0,且4引=%+1，〃wN"：数列2”｝的首项4=2,且对任意正整

数〃?，〃恒有勿…

（1）求口』和他」的通项公式；

〃为奇数，

（2）对任意的正整数〃，设5=4川"*3求数列｛c“｝的前2〃项和S,“.

3，〃为偶数.

14.（盐城市2022-2023高三年级第一学期12月初调研考试数学试卷）

已知公差不为。的等差数列｛册｝中，%=1,%是。加。8的等比中项.

（1）求数列｛%｝的通项公式：

（2维持数列｛/｝中各项先后顺序不变，在a*与％+］（%=12...）之间插入使它们和原数列的项构成一

个新的数列｛%｝,记｛4｝的前n项知为7\,求心。的值.

15.（盐城市2022-2023高三年级第一学期12月初调研考试数学试卷）

已知数列｛%）巾,4=2,/+]-4%=2"+、MWNL

（1）求证：｛册+2「｝是等蟋列，并求｛4｝的通项公式；

（2）设儿=苍琴可天求数列｛4｝的前出页的和

16.（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）

已知等差数列｛4｝的首项《＞0,记数列｛q｝的前〃项和为S,（〃eN）且数列｛底｝为

等差数列.

（1）证明：数列为常数列；

（2）设数列＜普」，的前〃项和为7；（〃£N'）,求｛1｝的通项公式.

★难点突破：数列(二)

1.(2023届12月高三年级苏州八校联盟第二次适应性检测)

16.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1,1,235,8,13,…，数列中的每一项

被称为斐波那契数，用符号外〃乂〃€用)表示，已知尸(1)=1/(2)=1/(〃)=仪〃-1)+

F(W-2)(H>3).

⑴若尸(5)+尸(6)=尸(〃)，则〃=▲.

⑵若广(2022)=%则尸⑴+尸(2)+…+/(2020)=▲.(结果用含。的字母表示)

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