《高考数学备考指南》教学课件-08立体几何(上)

立体几何第八章第1讲空间几何体的表面积与体积高考要求考情分析了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式在高考中，常常以组合体的形式出选择、填空题，也时常出现在解答题的第一问中，考查逻辑推理和直观想象以及数学运算的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式πrl

π(r＋r′)l

3．空间几何体的表面积与体积4πR2

【答案】1

4．(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．【答案】2∶3

1∶11．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．2．解决与几何体的面积有关问题时，务必要注意是求全面积还是求侧面积．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(

)(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.(

)(3)锥体的体积等于底面面积与高之积．(

)(4)若一个棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球的球面上，则此球的表面积为12π.(

)(5)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×重难突破能力提升2空间几何体的表面积【规律方法】求空间几何体表面积的常见类型及思路求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积【跟踪训练】1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(

)A．7

B．6

C．5

D．3【答案】A

空间几何体的体积(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．【规律方法】求空间几何体的体积的常用方法公式法对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解割补法把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积等体积法一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积【跟踪训练】2．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为________．与球有关的接、切问题【考向分析】与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点，命题角度多变．常见的考向：(1)正四面体的内切球与四棱锥的外接球；(2)直三棱柱的外接球；(3)正方体(长方体)的内切、外接球．【规律方法】“切”“接”问题处理的注意事项：(1)“切”的处理：首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理：抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．追踪命题直击高考3【典例精析】

【考查角度】三棱锥的体积与球体的表面积．【考查目的】考查空间想象能力与运算求解能力，体现直观想象和数学运算的核心素养．【思路导引】根据题意，当平面PAB⊥底面ABC，且BC＝AC时，三棱锥P－ABC的体积最大，设△PAB和△ABC的外接圆半径分别为r1，r2，球O的半径为R，求出R，代入即可．【拓展延伸】求空间几何体的表面积应注意两点(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．【真题链接】

【答案】D

4．(2019年江苏)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________．【答案】10

5．(2019年新课标Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.【答案】118.8

立体几何第八章第2讲空间点、线、面的位置关系高考要求考情分析1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题高考中判断两条直线的位置关系居多，直接求异面直线所成的角的大小，考查直观想象和逻辑推理的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过______________________的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有______公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论：推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条______直线有且只有一个平面；推论3：经过两条______直线有且只有一个平面．两点不在同一条直线上一个相交平行2．空间点、直线、平面之间的位置关系3．平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线____________．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_____________．4．异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的_____________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：________.互相平行相等或互补锐角(或直角)

1．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(

)A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C2．(多选题)下列结论中正确的是(

)A．在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行B．与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内C．一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交D．空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c【答案】BD

【解析】A错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；B显然正确；C错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；由平行直线的传递性可知D正确．故选BD．3．(2019年贵阳调研)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(

)A．垂直 B．相交C．异面 D．平行【答案】D

【解析】依题意，m∩α＝A，n⊂α，所以m与n异面或相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．4．若直线a⊥直线b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．【答案】b与α相交或b∥α或b⊂α5．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列三个命题，其中真命题是________．(填序号)①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α.【答案】③【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)×重难突破能力提升2平面的基本性质及应用

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．【证明】(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.又A1B∥CD1，所以EF∥CD1.所以E，C，D1，F四点共面．(2)因为EF∥CD1，EF<CD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P.由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直线DA.所以CE，D1F，DA三线共点．【规律方法】共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．【跟踪训练】1．如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(

)A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面【答案】A

【解析】连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．空间点、线位置关系的判断

若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(

)A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交1 D．l至少与l1，l2中的一条相交【答案】D

【解析】如图1所示，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2所示，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．【规律方法】平面的基本性质是立体几何的基本理论基础，对点、线位置关系的判断，要对各种关系都进行考虑，要充分发挥模型的直观性作用．【跟踪训练】2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是(

)A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行【答案】D

【解析】如图所示，连接C1D，必过点N.在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；因为CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD，所以MN⊥CC1，故A正确；因为AC⊥BD，MN∥BD，所以MN⊥AC，故B正确；因为A1B1与BD异面，MN∥BD，所以MN与A1B1不可能平行，故D错误．异面直线所成的角【规律方法】平移法求异面直线所成角的步骤：平移平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移证明证明所作的角是异面直线所成的角或其补角寻找在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之取舍因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角追踪命题直击高考3【典例精析】

【考查角度】异面直线及其所成的角．【考查角度】考查空间想象能力、推理能力与计算能力，体现了逻辑推理和数学运算的核心素养．【思路导引】如图所示，设AB＝2，连接D1A.AB⊥D1A，AB∥CD.可得∠AED1为异面直线D1E与DC所成的角．即可得出．【拓展延伸】1．异面直线的判定方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．2．3个公理的作用(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内；④由直线的直刻画平面的平．(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．【真题链接】

1．(2017年新课标Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(

)A．A1E⊥DC1

B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1

D．A1E⊥AC【答案】C

【解析】对于A，若A1E⊥DC1，那么D1E⊥DC1，显然不成立；对于B，若A1E⊥BD，那么BD⊥AE，显然不成立；对于C，若A1E⊥BC1，那么BC1⊥B1C，成立，反过来BC1⊥B1C时，也能推出BC1⊥A1E，所以C成立；对于D，若A1E⊥AC，则AE⊥AC，显然不成立．故选C．4．(2019年新课标Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(

)A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【答案】B

立体几何第八章第3讲直线、平面平行的判定与性质高考要求考情分析1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理．2．能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题直线与平面平行，常在解答题第1问中考查，或者作为选择题的一个选项，考查直观想象和逻辑推理的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．直线与平面平行的判定定理和性质定理此平面内l∥a

a⊂α

l⊄α

交线l∥α

l⊂β

α∩β＝b

2．平面与平面平行的判定定理和性质定理相交直线a∥β

b∥β

a∩b＝P

a⊂α，b⊂α

相交交线α∥β

α∩γ＝a

β∩γ＝b

[特别提醒]平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.1．下列命题中，正确的是(

)A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥bD．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α【答案】D2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β

”是“α∥β

”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B

3．(2019年成都月考)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中(

)A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线【答案】A

【解析】当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线．故选A．4．(2019年衡水开学考试)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．【答案】平行四边形

【解析】因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．【答案】平行1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．2．在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件．3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(

)(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(

)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(

)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√重难突破能力提升2与线、面平行相关命题的判定

(1)(2019年开封模拟)在空间中，a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是(

)A．若a⊥c，b⊥c，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bD．若α∥β，a⊂α，则a∥β

(2)(2019年聊城模拟)下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是(

)【答案】(1)D

(2)B【解析】(1)对于A，若a⊥c，b⊥c，则a与b可能平行、异面、相交，故A是假命题；对于B，设α∩β＝m，若a，b均与m平行，则a∥b，故B是假命题；对于C，a，b可能平行、异面、相交，故C是假命题；对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，则a∥β，故D是真命题．(2)在B中，如图，连接MN，PN，因为A，B，C为正方体所在棱的中点，所以AB∥MN，AC∥PN.因为MN∥DE，PN∥EF，所以AB∥DE，AC∥EF.因为AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB，AC⊂平面ABC，DE，EF⊂平面DEF，所以平面ABC∥平面DEF.【规律方法】(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．(2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．【跟踪训练】1．(1)(多选题)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个必要条件是(

)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α【解析】(1)对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是α∥β的一个必要条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选ABC．对于③，由①知，A，P，M三点共线是正确的．对于④，由①知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．直线与平面平行的判定与性质

如图，空间几何体ABCDFE中，四边形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分别为棱BE，DF的中点．求证：PQ∥平面ABCD.【证明】方法一：如图，取AE的中点G，连接PG，QG.在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA.又PG⊄平面ABCD，BA⊂平面ABCD，所以PG∥平面ABCD.在梯形ADFE中，DQ＝QF，AG＝GE，所以GQ∥AD.又GQ⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以GQ∥平面ABCD.因为PG∩GQ＝G，PG⊂平面PQG，GQ⊂平面PQG，所以平面PQG∥平面ABCD.又PQ⊂平面PQG，所以PQ∥平面ABCD.【规律方法】判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的定义(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(2)如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，PO⊂平面PBD，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD.又EF⊂平面ABCD，从而GK⊥EF.面面平行的判定与性质

如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，【迁移探究1】在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.【规律方法】(1)判定面面平行的主要方法①利用面面平行的判定定理．②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．(2)面面平行条件的应用①两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行．②两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．特别提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线．【跟踪训练】3．(2019年南昌二模)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.(1)确定点E，F的位置，并说明理由；(2)求三棱锥F－DCE的体积．追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．(2020年开封模拟)下列条件中，能判断平面α与平面β平行的是(

)A．α内有无穷多条直线都与β平行B．α与β同时平行于同一条直线C．α与β同时要垂直于同一条直线D．α与β同时垂直于同一个平面【考查角度】平面与平面平行．【考查目的】考查学生的空间想象能力，体现对直观想象的核心素养的把握．【思路导引】利用面面平行的判定直接判断即可．【解析】对于A，若α内有无穷多条平行的直线与β平行，则不能说明α平行β；对于B，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交；对于C，垂直于同一条直线的两平面平行；对于D，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以垂直．综上，选项C正确．故选C．【答案】C【拓展延伸】1．三种平行关系间的转化2．证明平行问题应注意的两个问题(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外，二是直线b在已知平面内，三是两直线平行．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．【真题链接】

1．(2017年新课标Ⅰ)如图所示，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(

)【答案】A

【解析】对于B，由AB∥MQ易知直线AB∥平面MNQ；对于C，由AB∥MQ易知直线AB∥平面MNQ；对于D，由AB∥NQ易知直线AB∥平面MNQ.故选A．3．(2019年江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC.求证：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.【解析】(1)证明：因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点．所以DE∥AB，AB∥A1B1，所以DE∥A1B1，因为DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1.所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC，所以BE⊥AA1，BE⊥AC.又AA1∩AC＝A，所以BE⊥平面ACC1A1.因为C1E⊂平面ACC1A1，所以BE⊥C1E.立体几何第八章第4讲直线、平面垂直的判定与性质高考要求考情分析1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理．2．能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题常常融合平行与垂直等多种关系一起考查，既有选择题、又有解答题，考查逻辑推理和直观想象的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：如果一条直线l与平面α内的______直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．任意(2)判定定理与性质定理：两条相交直线a，b⊂α

a∩b＝O

l⊥a

l⊥b

平行a⊥α

b⊥α

2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．直二面角(2)判定定理和性质定理：垂线l⊂β

l⊥α

交线α⊥β

l⊂β

α∩β＝a

l⊥a

[特别提醒]1．两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．2．使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．1．下列命题中错误的是(

)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D

2．(2019年安徽江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(

)A．α⊥β且m⊂α

B．m⊥n且n∥βC．m∥n且n⊥β

D．m⊥n且α∥β【答案】C

【解析】由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．3．(多选题)(2019年惠州模拟改编)PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系正确的是(

)A．PA⊥BC

B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB

D．PC⊥BC【答案】ABD

【解析】由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC，A正确；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，B，D正确；无法判断AC⊥PB，C不正确．故选ABD．4．(一题两空)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的______心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的______心．【答案】(1)外(2)垂5．(一题两空)如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．【答案】AB，BC，AC

AB

【解析】因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC.又因为AP⊂平面PAC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意．口诀：线不在多，重在相交．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(

)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(

)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(

)(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)×重难突破能力提升2直线与平面垂直的判定与性质所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.【规律方法】(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．平面与平面垂直的判定与性质【规律方法】(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理．(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．平行垂直中探索性问题

如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．(1)求证：AE∥平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【解析】(1)证明：连接AC交BD于O，连接OF，如图1所示．因为四边形ABCD是矩形，所以O为AC的中点．又F为EC的中点，所以OF为△ACE的中位线，所以OF∥AE.又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，所以AE∥平面BDF.

(2)当P为AE中点时，有PM⊥BE.证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH，如图2所示．因为P为AE的中点，H为BE的中点，所以PH∥AB.又AB∥CD，所以PH∥CD，所以P，H，C，D四点共面．因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊂平面ABCD，CD⊥BC，所以CD⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，所以CD⊥BE.因为BC＝CE，H为BE的中点，所以CH⊥BE.又CD∩CH＝C，所以BE⊥平面DPHC.又PM⊂平面DPHC，所以BE⊥PM，即PM⊥BE.【规律方法】(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察并尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点的存在问题时，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．追踪命题直击高考