《高考数学备考指南》教学课件-11计数原理、概率、随机变量及其分布(上)

计数原理、概率、随机变量及其分布第十一章第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理高考要求考情分析1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．此部分一般不单独考查，常与排列组合结合在一起考查，考查数学运算的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏1两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有__________．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要__________．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N＝__________种不同的方法完成这件事共有N＝__________种不同的方法两类方案两个步骤m＋n

m×n

[特别提醒]分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终．1．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类．2．分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”．1．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为(

)A．6种 B．5种C．3种 D．2种【答案】B2．(2019年石家庄模拟)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有(

)A．10种 B．25种C．52种 D．24种【答案】D

【解析】每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法．3．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(

)A．24种B．30种C．36种D．48种【答案】D4．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有____________个．(用数字作答)【答案】14

5．(一题两空)书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法数为__________，从第1,2,3层分别各取1本书，不同的取法数为__________．【答案】15

1201．分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．混合问题一般是先分类再分步．3．分类时标准要明确，做到不重复、不遗漏．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(

)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(

)(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．(

)(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法．(

)(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)√

(5)√重难突破能力提升2分类加法计数原理的应用

(1)甲、乙、丙三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(

)A．4种 B．6种C．10种 D．16种(2)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为____________．【答案】(1)B

(2)13【解析】(1)分两类，甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法：甲→乙→甲→乙→甲、甲→乙→甲→丙→甲、甲→乙→丙→乙→甲．同理，甲先传给丙时，满足条件有3种踢法．由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法．(2)当a＝0时，b的值可以是－1,0,1,2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，则b的值可以是－1,0,1,2，(a，b)的个数为4；若a＝1，则b的值可以是－1,0,1，(a，b)的个数为3；若a＝2，则b的值可以是－1,0，(a，b)的个数为2.由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.【易错警示】分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例第(2)题中易漏a＝0这一类．【跟踪训练】1．一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选一名同学参加学科比赛，共有不同的选派方法__________种．【答案】8

【解析】由分类加法计数原理，不同的选派方法共有3＋5＝8(种)．分步乘法计数原理的应用

(1)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(

)A．12种 B．18种C．24种 D．36种(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有____________种不同的报名方法．【答案】(1)A

(2)120【解析】(1)先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有6种不同排法；再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有6×2×1＝12种不同的排列方法．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120种．【规律方法】利用分步乘法计数原理的原则：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．【跟踪训练】2．(1)(2019年珠海阶段性测试)某校2019年元旦晚会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为(

)A．120 B．210C．336 D．504(2)设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数为____________．(用数字作答)【答案】(1)D

(2)10【解析】(1)分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法，故共有7×8×9＝504种不同的插法．(2)易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，所以x有2种取法，y有5种取法．由分步乘法计数原理，A*B的元素有2×5＝10(个)．两个原理的综合应用【考向分析】两个计数原理的应用是学习排列与组合的基础，高考中一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，两个原理的应用类型主要有：(1)涂色问题；(2)几何问题；(3)集合问题．【答案】260

【解析】区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法．所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260(种)涂色方法．【答案】D

【解析】第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24个；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36个．【答案】17

【解析】当A＝{1}时，B有23－1种情况；当A＝{2}时，B有22－1种情况；当A＝{3}时，B有1种情况；当A＝{1,2}时，B有22－1种情况；当A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况；所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(个)．【规律方法】在解决综合问题时，可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求．分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系．追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．(2020年宛城区校级月考)现有5种不同的颜色，给四棱锥P－ABCD的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，方法一共有(

)A．240种 B．360种C．420种 D．480种【考查角度】计数原理的应用．【考查目的】对排列组合的运用的考查，运用了分步计算原理，是应用意识的体现，让学生注意解题的特殊方法，考查逻辑推理和数学运算的核心素养．【思路导引】根据题意，要求符合题意的方法分两步，①先涂顶点；②再涂底面4点；采用排列思路导引可得答案．【答案】C【拓展延伸】1．两个计数原理的区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一每类办法都能独立完成这件事．它是独立的、一次的且每次得到的是最后的结果，只需一种方法就完成每一步得到的只是其中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏2．利用计数原理的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法；(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律；(3)复杂问题一般是先分类再分步．【真题链接】

1．(2016年新课标Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(

)A．24 B．18C．12 D．9【答案】B

【解析】由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法．故选B．2．(2015年广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了____条毕业留言(用数字作答)．【答案】1560

【解析】第1位同学给余下的39位同学各写一条留言，共39条留言；依次下去，第40位同学给余下的39位同学各写一条留言，共39条留言，故全班共写了40×39＝1560条毕业留言．计数原理、概率、随机变量及其分布第十一章第2讲排列与组合高考要求考情分析1.理解排列组合的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．能利用排列组合知识解决简单的实际问题高考对排列组合的考查就是以选择或填空形式考查，正确运用策略，合理分类分步，考查逻辑推理和数学运算的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照____________排成一列组合合成一组一定的顺序2．排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用______表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的___________________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用______表示．所有不同组合n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)

1

n！[特别提醒]1．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．2．对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏．1．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(

)A．8 B．24C．48 D．120【答案】C2．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(

)A．4种 B．10种C．18种 D．20种【答案】B3．(2020年广州一模)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是(

)A．72

B．60

C．36

D．24【答案】A

3．(2020年广州一模)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是(

)A．72

B．60

C．36

D．24【答案】A

【答案】10

5．(2020年杭州模拟)将1,2,3,4,5,6,7,8八个数字组成没有重复数字的八位数，要求7与8相邻，且任意相邻两个数字奇偶不同，这样的八位数的个数是_________．【答案】504

求解排列与组合问题的三个注意点：(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理进行最后处理．(2)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题．【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√

(6)√重难突破能力提升2排列问题

3名女生和5名男生排成一排．(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？(3)如果女生不站两端，有多少种排法？【规律方法】求解排列应用题的6种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的间隔中先整体后局部“小集团”排列问题中先整体后局部间接法正难则反，等价转化的方法【跟踪训练】1．(1)7名同学排成一排，其中甲、乙两名同学之间必须恰有3人，则共有不同的排法总数为(

)A．668 B．680C．712 D．720(2)(一题两空)给定数字0,1,2,3,5,9，每个数字最多用一次，可以组成____________个四位数，可以组成____________个四位奇数．(用数字作答)【答案】(1)D

(2)300

192

组合问题

某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【规律方法】组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．【跟踪训练】2．(2019年福州高三质检)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有(

)A．90种 B．180种C．270种 D．360种【答案】B

分组分配问题分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．常见的命题角度有：(1)整体均分问题；(2)部分均分问题；(3)不等分问题．【答案】90

【答案】36

【答案】360

追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．(2020年罗湖区模拟)中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽；如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序．且要求宫、羽两音阶在角音阶的同侧，可排成多少种这样的不同音序(

)A．120

B．90

C．80

D．60【考查角度】排列、组合及简单计数问题．【考查目的】考查抽象概括能力，体现了数学抽象和数学运算的核心素养．【思路导引】可看作五个位置排列五种事物，分类讨论求解即可．【答案】C【拓展延伸】排列问题与组合问题的识别方法识别方法排列若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关组合若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关【真题链接】

1．(2017年新课标Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(

)A．12种 B．18种C．24种 D．36种【答案】D

2．(2019年上海)首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有____________种．(结果用数值表示)【答案】24

3．(2018年新课标Ⅰ)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)【答案】16

4．(2018年浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)【答案】1260

计数原理、概率、随机变量及其分布第十一章第3讲随机事件的概率高考要求考情分析1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式此部分单独命题的可能性不大，较多的是与古典概型、独立事件等知识进行综合，考查数学建模和数据分析以及数学运算的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．事件的分类一定会一定不会可能发生也可能不次数频率fn(A)

3．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B______________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)__________(或A⊆B)相等关系若B____A且A____B，那么称事件A与事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当______________________，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当______________________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为____________事件，那么称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为____________事件，A∪B为__________事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝U一定发生B⊇A

⊇

⊇

事件A发生或事件B发生事件A发生且事件B发生不可能不可能必然4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：__________.(2)必然事件的概率P(E)＝____.(3)不可能事件的概率P(F)＝____.(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝____________.若事件A与事件B互为对立事件，A∪B为必然事件，则P(A∪B)＝__________，P(A)＝__________.[0,1]

1

0

P(A)＋P(B)

1

1－P(B)

【答案】D2．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是(

)A．必然事件 B．随机事件C．不可能事件 D．无法确定【答案】B3．(多选题)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则(

)A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B即不是互斥也不是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件【答案】BD

【解析】根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥也不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件．故选BD．4．(2019年阳泉期末)一箱产品有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件“至少有1件次品”的互斥事件是____________．【答案】都是正品【解析】根据题意，事件“至少有1件次品”包括“有1件次品”、“有2件次品”、“有3件次品”、“有4件次品”，则其互斥事件是“都是正品”．5．(2019年阳泉期末)某医院一天内派出医生下乡医疗，派出医生的人数及其概率如表：则派出至多2名医生的概率为____________．【答案】0.79

【解析】根据题意，由表中的数据可知不派出医生的概率P1＝0.18，派出1个医生的概率P2＝0.25，派出2个医生的概率P3＝0.36，则派出至多2名医生的概率P＝P1＋P2＋P3＝0.18＋0.25＋0.36＝0.79.医生人数012345人及其以上概率0.180.250.360.10.10.011．频率与概率有本质的区别．频率随着试验次数的改变而发生变化，概率是大量随机事件现象的客观规律，是一个常数．2．“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)事件发生频率与概率是相同的．(

)(2)随机事件和随机试验是一回事．(

)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(

)(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(

)(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(

)(6)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)√

(6)√重难突破能力提升2随机事件的关系

某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与C；(4)C与E.【解析】(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B与E还是对立事件．(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(4)由(3)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，即事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件．【规律方法】判断事件关系时的注意事项：(1)利用集合观点判断事件关系；(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系．【跟踪训练】1．从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是(

)A．①

B．②④ C．③

D．①③【答案】C

【解析】从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数．其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与“两个都是偶数”是对立事件．又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件．随机事件的频率与概率 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)【规律方法】求随机事件概率的关键：求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有：①列举法；②列表法；③树状图法．(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率．互斥事件与对立事件的概率 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．【跟踪训练】3．一盒中装有12个性状、大小相同的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．追踪命题直击高考3【典例精析】

【考查角度】互斥事件的概率加法公式．【考查目的】考查应用意识，体现了数学运算的数学素养．【答案】D【拓展延伸】1．对频率和概率的理解(1)依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验，用事件发生的频率近似地作为它的概率．但是，某一事件的概率是一个常数，而频率随着试验次数的变化而变化．(2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的．也就是说，单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本质属性．【真题链接】

1．(2019年新课标Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_________．【答案】0.98

(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．3．(2015年北京)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10,11,12,13,14,15,16；B组：12,13,15,16,17,14，a.假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)计数原理、概率、随机变量及其分布第十一章第4讲古典概型高考要求考情分析1.理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率此部分是概率知识的基础，高考中以实际情景为背景考查，难度属于中低档，选择题、填空题和解答题均有考查，考查数学建模和数学运算的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是__________的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件____________________；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性__________．互斥基本事件只有有限个相等[特别提醒]概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.【答案】C

【答案】A【答案】D

4．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是____________．5．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为____________．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是等可能的．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(

)(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(

)(3)从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√

(6)√重难突破能力提升2简单的古典概型的概率(2)(2019年湖南六校联考)设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为____________．【跟踪训练】1．(2018年江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为___________