2025-2026学年上海市浦东新区南汇中学高二（下）期中数学试卷(含详解)

2025-2026学年上海市浦东新区南汇中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）.1．抛物线的焦点到准线的距离是．2．若直线是双曲线的一条渐近线，则．3．函数，则．4．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为．5．函数在区间，上的平均变化率为．6．若函数的图象在点，（2）处的切线方程是，则（2）（2）．7．已知随机变量的分布为，则．8．从3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则．9．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为时，灯的深度为．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为．10．在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为．11．已知定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式的解集是．12．在平面直角坐标系中，圆是以原点为圆心，1为半径的圆，直线与抛物线和圆分别相切于，两点，当最小时，的值为．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）13．已知事件与独立，若，则（B）（）A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．114．若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）A． B． C． D．15．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A．函数在处取得极小值 B．函数在处取得极大值 C．在区间上单调递增 D．当，时，函数的最大值是16．如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值．若点在曲线上，给出下列四个结论：①；②；③△面积的最大值为；④△周长的最小值为12；其中，所有正确结论的序号是（）A．①②③ B．②③ C．①③④ D．①②③④三、解答题（第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分）17．袋中有3个红球，4个黑球，每次随机地从袋中取出一个球，观察其颜色后放回．若取出的球是红球，则将此红球放回后，再往袋中另放2个红球；若取出的球是黑球，则将此黑球放回即可．（1）求在第一次取到红球的条件下，第二次取到黑球的概率；（2）求第二次取到红球的概率．18．甲、乙两人进行某项比赛，采取三局两胜制，积分规则如下：比分为时，胜者积3分，败者积0分；比分为时，胜者积2分，败者积1分．设每局比赛甲取胜的概率均为．（1）若甲以取胜的概率大于以取胜的概率，求的范围；（2）若，求甲所得积分的分布列及数学期望．19．某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成．经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米．现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点，分别在线段，上，且该游乐场最短边长不低于30米．设米，游乐场的面积为平方米．（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；（2）求面积关于的函数解析式，并计算面积的最大值（结果精确到．20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于，两点，均不在轴上）．（1）若△的周长为16，且的离心率为，求椭圆的方程；（2）若，，直线被椭圆所截的弦长为，求的值；（3）在（1）的条件下，若点为椭圆的右顶点，过点（不同于点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点（点在，之间），若点为线段上的点，满足，且，求．21．已知函数，．（1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，（2），求实数的值；（2）设，若函数在区间为严格递减函数时，求实数的取值范围；（3）对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．

参考答案一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线的焦点到准线的距离是4．[思路点拨]先根据抛物线的方程求出的值，即可得到答案．解：由，知，而焦点到准线的距离就是．故答案为：4．2．若直线是双曲线的一条渐近线，则2．[思路点拨]先根据双曲线方程判断焦点位置，写出其渐近线方程，比较即得．解：因双曲线的焦点在轴上，且，故其渐近线方程为：，又直线是双曲线的一条渐近线，所以．故答案为：2．3．函数，则．[思路点拨]根据导数的定义即可求解．解：因为，所以，故（2）．故答案为：．4．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为．[思路点拨]根据椭圆的标准方程的形式，列出不等式组，即可求解．解：因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得，即实数的取值范围为．故答案为：5．函数在区间，上的平均变化率为1．[思路点拨]根据题意，利用平均变化率计算即可．解：根据题意，函数，则其在区间，上的平均变化率为．故答案为：1．6．若函数的图象在点，（2）处的切线方程是，则（2）（2）3．[思路点拨]利用导数的几何意义得（2），将代入切线方程得（2）解：因为的图象在点，（2）处的切线方程是，所以（2），且（2），所以（2）（2）．故答案为：3．7．已知随机变量的分布为，则．[思路点拨]利用方差公式可求方差．解：由题意，，故．故答案为：．8．从3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则．[思路点拨]用列举法，可得事件包含的基本事件有9个，事件包含的基本事件有3个，用古典概型计算公式算出（A）、，再由条件概率公式加以计算，可得的值．解：事件：取到的两个数之和为偶数，所包含的基本事件有：、、，、，，，，，（A），事件：取到的两个数均为偶数，所包含的基本事件有，，，，由条件概率公式，可得．故答案为：．9．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为时，灯的深度为．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为60.5．[思路点拨]由已知建系求出抛物线的方程，然后根据题意即可求解．解：在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为轴（抛物线开口方向是轴的正方向），则可设抛物线的标准方程为灯口圆与轴截面在第一象限内的交点的坐标为，代入抛物线方程得，解得，所以抛物线方程为，光源应安置在与顶点相距处，当灯口圆的直径增大到时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为，故将代入中，求得，此时，探照灯的深度为．10．在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为．[思路点拨]先写出直线的方程，由，得点的纵坐标为，再代入直线的方程，可得点的坐标，然后代入椭圆方程化简求解即可．解：由题意知，，，，所以直线的方程为，即，若，则点的纵坐标为，代入，得，解得，所以，，又点在椭圆上，所以，整理得，所以离心率．故答案为：．11．已知定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式的解集是，．[思路点拨]先根据条件，构造辅助函数，求导判断出在上单调递增；再将原不等式等价变形为（5），结合定义域与单调性，解不等式组即可得到解集．解：构造函数，则，因为，，所以，所以在上单调递增，不等式，可化为（5），即（5），所以，解得，所以不等式的解集是，．故答案为：，．12．在平面直角坐标系中，圆是以原点为圆心，1为半径的圆，直线与抛物线和圆分别相切于，两点，当最小时，的值为．[思路点拨]先利用抛物线切线方程与圆相切的条件，用点到直线距离公式建立关于切点横坐标与的关系式，再由切线长公式表示出，通过基本不等式求最值的代数式，求出最小值成立的条件，最后回代算出．解：因为抛物线和圆均关于轴对称，因此只需研究与抛物线切于第一象限的直线，此时，因此，设，，则直线的方程为，即，因为直线与圆相切，则，化简得，因为，因此，当且仅当，即，即时，等号成立，此时．故答案为：．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）13．已知事件与独立，若，则（B）（）A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1[思路点拨]根据相互独立事件和条件概率的公式求解．解：因为事件与独立，所以（A）（B），由条件概率的计算公式可得，．故选：．14．若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）A． B． C． D．[思路点拨]根据双曲线标准方程直接求解．解：方程，即为，由方程表示双曲线，可得，所以，，所以虚轴长为．故选：．15．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A．函数在处取得极小值 B．函数在处取得极大值 C．在区间上单调递增 D．当，时，函数的最大值是[思路点拨]直接根据导数的正负判断函数的单调性及极值和最值可得．解：由图可知当时，；当时，，因此函数在处取得极大值，故选项错误；由图可知当时，；当时，，因此不是函数的极值点，故选项错误；由图可知时，，因此函数在区间上单调递减，故选项错误；当，时，，因此函数在区间，上单调递减，因此函数的最大值是，故选项正确．故选：．16．如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值．若点在曲线上，给出下列四个结论：①；②；③△面积的最大值为；④△周长的最小值为12；其中，所有正确结论的序号是（）A．①②③ B．②③ C．①③④ D．①②③④[思路点拨]根据给定条件，求出曲线的方程，结合曲线过原点求出，再结合基本不等式及二次函数逐项求解判断．【解答】解；根据题意，，所以，根据曲线过原点，那么可得，①正确；，当且仅当时取等号，解得，所以，，所以，解得，所以，②正确；令，根据，那么可得，那么，当且仅当时，有最大值，，③正确；，当且仅当，即时取等号，因此在三角形中，，因此，因此周长，因此三角形周长的最小值不是12，④错误．故选：．三、解答题（第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分）17．袋中有3个红球，4个黑球，每次随机地从袋中取出一个球，观察其颜色后放回．若取出的球是红球，则将此红球放回后，再往袋中另放2个红球；若取出的球是黑球，则将此黑球放回即可．（1）求在第一次取到红球的条件下，第二次取到黑球的概率；（2）求第二次取到红球的概率．[思路点拨]（1）根据题意，设事件第一次取到红球，事件第一次取到黑球，事件第二次取到红球，事件第二次取到黑球，分析第一次取到红球时，袋中球的情况，由古典概型公式计算可得答案；（2）根据题意，由全概率公式可得，计算可得答案．解：（1）根据题意，设事件第一次取到红球，事件第一次取到黑球，事件第二次取到红球，事件第二次取到黑球，若第一次取到红球，袋中有5个红球，4个黑球，则，（2）根据题意，由全概率公式：．18．甲、乙两人进行某项比赛，采取三局两胜制，积分规则如下：比分为时，胜者积3分，败者积0分；比分为时，胜者积2分，败者积1分．设每局比赛甲取胜的概率均为．（1）若甲以取胜的概率大于以取胜的概率，求的范围；（2）若，求甲所得积分的分布列及数学期望．[思路点拨]（1）根据独立事件概率的乘法公式，分析比分为和结束时的情况，求出事件概率，列出不等式，求出结果即可；（2）根据比分情况，写出随机变量的所有取值，再根据独立事件概率的乘法公式，逐一求出事件概率，进而写出分布列，求出数学期望．解：（1）每局比赛甲取胜的概率为，进行3局比赛，若甲以取胜，则第三局甲胜，前两局甲胜一局，此时概率为，若甲以取胜，则前两局甲胜，此时概率为，则，因为，解得，所以的范围为．（2）可知随机变量可能的取值有0，1，2，3，当时，，，，，所以甲所得积分的分布列为：0123数学期望为．19．某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成．经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米．现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点，分别在线段，上，且该游乐场最短边长不低于30米．设米，游乐场的面积为平方米．（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；（2）求面积关于的函数解析式，并计算面积的最大值（结果精确到．[思路点拨]（1）以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，然后根据题意求解析式即可；（2）分别求出在不同线段上的解析式，然后计算面积；在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值．解：（1）以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系．如图所示：则，，，设曲线段所在抛物线的方程为．由题意可知，点和在此抛物线上，所以，故，，所以曲线段的方程为：；（2）因为点在曲线段上，所以，所以，所以，令，又因为，得，（舍去）．当时，；当时，，因此当时，是极大值，也是最大值；所以当时，取得最大值，最大值为．20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于，两点，均不在轴上）．（1）若△的周长为16，且的离心率为，求椭圆的方程；（2）若，，直线被椭圆所截的弦长为，求的值；（3）在（1）的条件下，若点为椭圆的右顶点，过点（不同于点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点（点在，之间），若点为线段上的点，满足，且，求．[思路点拨]（1）根据椭圆的概念和离心率的概念，求出椭圆的参数，写出标准方程；（2）根据直线和椭圆的位置关系，以及椭圆的弦长公式，求出参数值即可；（3）根据直线和椭圆的位置关系，联立方程组，根据韦达定理，求出参数值．解：（1）根据题意作出示意图如下图所示：，得，，得，则，标准方程为；（2）标准方程为，设直线与椭圆的交点为，，，，，消去得，△时，即时，，弦长，则，得；（3）根据题意作出示意图如下图所示：设，，，，直线的方程为，，消去得，