2025-2026学年上海市普陀区回民中学高二（下）期中数学试卷(含详解)

2025-2026学年上海市普陀区回民中学高二（下）期中数学试卷一．填空题（共12小题，第1题至第6题1每题4分，第7题至第12题每题5分，满分53分）.1．曲线在处的切线方程为．2．已知直线，，若，则．3．已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是．4．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则．5．是平面上长度为4的一条线段，是平面上一个动点，且，是的中点，则的取值范围是．6．已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为．7．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为．8．已知，则．9．已知点，分别是椭圆的上、下顶点，点为椭圆的右顶点，若△为正三角形，则该椭圆的离心率为．10．与双曲线有公共渐近线且过点的双曲线的方程为．11．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示．为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为，若行车道总宽度为，则车辆通过隧道时的限制高度为．12．在直角坐标系中，为坐标原点，曲线的方程是，为上的任意一点．给出下面四个命题：①曲线上的点关于轴，轴对称；②曲线上两点间的最大距离为；③的取值范围为；④曲线围成的图形的面积小于．则以上命题中正确的序号有．二．选择题（本题共4小题，第13题至第14题每题4分，第15题至第16题每题5分，满分18分）13．已知两条直线，，“”是“直线”条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要14．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．或15．已知曲线的一条切线为，则（）A． B． C．0 D．116．若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为（）A． B． C． D．1三．解答题（本题共5小题，满分79分）17．求下列函数的导数：（1）；（2）．18．已知圆的方程为，过点作直线交圆于、两点．（1）当直线的斜率为1时，求弦的长；（2）当直线的斜率变化时，求动弦的中点的轨迹方程．19．已知位于正东方，且，两地相距800米，一炮弹在某处爆炸．在处听到爆炸声的时间比处晚2秒钟．（1）爆炸点应该在什么样的曲线上？并说明理由．（2）若在处观测到爆炸点位于处正北方向，试建立适当的直角坐标系，并确定爆炸点的坐标．（精确到1米）（已知声音速度为340米秒）20．（18分）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点，，，，记点的坐标为．（1）若点和到抛物线准线的距离分别为和3，求；（2）若斜率，求的面积；（3）若是等腰三角形且，求实数．21．（18分）历史上著名的卡西尼卵形线的探究具有代表性，卡西尼卵形线是表示到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹．（1）试求到两个定点，的距离之积为常数2的动点的轨迹方程（不要求化简）；（2）探究该轨迹的对称性、顶点、范围（给出必要的探究过程）．

参考答案一．填空题（本题供12小题，第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分，满分53分）1．曲线在处的切线方程为．[思路点拨]根据导数的几何意义即可求解．解：求导函数可得，，当时，，所求切线方程为，即，故答案为：．2．已知直线，，若，则．[思路点拨]由两条直线平行的充要条件列方程，求解即可．解：直线，，若，可得且，解得．故答案为：．3．已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是．[思路点拨]根据题意，设该圆的半径为，由点到直线的距离公式求出圆的半径，由圆的标准方程形式分析可得答案．解：根据题意，设该圆的半径为，而要求圆与直线相切，则，即要求圆的半径为，则要求圆的方程为；故答案为：．4．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则．[思路点拨]把双曲线的方程化为标准方程，根据标准方程求出虚轴长和实轴长，再利用虚轴长是实轴长的2倍求出值．解：双曲线的标准方程为，虚轴的长是，实轴长2．由题意知，，，故答案为．5．是平面上长度为4的一条线段，是平面上一个动点，且，是的中点，则的取值范围是．[思路点拨]根据椭圆的定义写出的轨迹方程，结合椭圆的性质判断的范围．解：由题设，则的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，若，，，则的轨迹方程为，的范围是，，即，．故答案为：，．6．已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为2．[思路点拨]根据抛物线的几何性质，化归转化思想，即可求解．解：抛物线的准线方程为：，又，到准线的距离，设到准线的距离为，则，，当且仅当直线垂直准线时，等号成立，的最小值为2，故答案为：2．7．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为或．[思路点拨]先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程．解：因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，设直线的倾斜角为，又直线与直线的夹角为，所以或，又直线过点，当时，斜率，当时，直线的方程为：，所以直线的方程为：，即．故答案为：或．8．已知，则．[思路点拨]根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．解：，则，（2），所以（2）．故答案为：．9．已知点，分别是椭圆的上、下顶点，点为椭圆的右顶点，若△为正三角形，则该椭圆的离心率为．[思路点拨]由题意得出，又，，结合勾股定理得到，即可求解．解：因为，分别是椭圆的上、下顶点，点为椭圆的右顶点，且△为正三角形，所以，又，，所以，所以，所以，，所以．故答案为：．10．与双曲线有公共渐近线且过点的双曲线的方程为．[思路点拨]设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入所求双曲线的方程，求出的值，即可得出所求双曲线的方程．解：设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得：，故所求双曲线的方程为，即．故答案为：．11．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示．为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为，若行车道总宽度为，则车辆通过隧道时的限制高度为3.8．[思路点拨]由题意，建立平面直角坐标系，明确点的坐标，求出抛物线方程，可得答案．解：已知行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为，且行车道总宽度为，由题意，如图建系：则，，，，如图可设，抛物线方程为，将代入，可得，求得，故抛物线方程为，将代入抛物线方程，可得，．故答案为：3.8．12．在直角坐标系中，为坐标原点，曲线的方程是，为上的任意一点．给出下面四个命题：①曲线上的点关于轴，轴对称；②曲线上两点间的最大距离为；③的取值范围为；④曲线围成的图形的面积小于．则以上命题中正确的序号有①③．[思路点拨]根据对称性，最值及图像特征分别判断命题即可．解：对于①，设在曲线的方程上，因为也在曲线的方程上，也在曲线的方程上，所以曲线上的点关于轴，轴对称，故①正确；对于③，，又因为曲线的方程是，所以，即得，，得，所以，故③正确；对于④，当时，曲线的方程为，曲线与轴交点，与轴交点，曲线上的点关于轴对称可以得到曲线的大致图像，曲线围成的图形的面积大于，故④错误；对于②，如图及曲线的对称性可知，曲线上两点间的最大距离为，故②错误；故答案为：①③．二．选择题（本题共4小题，第13题至第14题每题4分，第15题至第16题每题5分，满分18分）13．已知两条直线，，“”是“直线”条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要[思路点拨]根据求出，根据的取值进而验证即可求解．解：当时，，得，，所以是直线的充分不必要条件．故选：．14．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．或[思路点拨]由椭圆的方程和焦点在轴可得，参数的关系，进而求出的范围．解：表示焦点在轴上的椭圆，故，解得．故选：．15．已知曲线的一条切线为，则（）A． B． C．0 D．1[思路点拨]求出导函数，利用导函数为1求得对应的，进而求得切点坐标，再代入切线方程即可求解结论．解：曲线，，令可得，（1），切点为，又在上，可得，故选：．16．若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为（）A． B． C． D．1[思路点拨]设，根据点的坐标求出，所以求关于的二次函数的最小值即可．解：设，，，；；的最小值为．故选：．三．解答题（本题共5小题，满分79分）17．求下列函数的导数：（1）；（2）．[思路点拨]（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可．解：（1）则；（2），则．18．已知圆的方程为，过点作直线交圆于、两点．（1）当直线的斜率为1时，求弦的长；（2）当直线的斜率变化时，求动弦的中点的轨迹方程．[思路点拨]（1）由点斜式表示此时直线的方程，利用弦长公式计算即可；（2）根据几何性质判定的轨迹即可．解：（1）直线的斜率为1时，此时过的直线可表示为：，设圆心到的距离为，圆的半径为，则．由题意可得，，所以．（2）如图所示，根据垂径定理，易知中点与的连线垂直于，即可得在以为直径的圆上，同时应在圆内，设圆心为，则，，则在上，与联立可得，故轨迹方程为，其中．19．已知位于正东方，且，两地相距800米，一炮弹在某处爆炸．在处听到爆炸声的时间比处晚2秒钟．（1）爆炸点应该在什么样的曲线上？并说明理由．（2）若在处观测到爆炸点位于处正北方向，试建立适当的直角坐标系，并确定爆炸点的坐标．（精确到1米）（已知声音速度为340米秒）[思路点拨]（1）根据双曲线的定义求得爆炸点所在曲线；（2）根据已知条件求得曲线的方程，设，代入方程解出的值即可．解：（1）由题意得：，所以爆炸点离点比离点的距离更远，所以爆炸点在以，为焦点，且距较近的双曲线的一支上．（2）以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则，，由题意知，，即，由双曲线的定义知，，所以，所以，所以曲线方程为，设，代入方程得，解得（米，所以．20．（18分）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点，，，，记点的坐标为．（1）若点和到抛物线准线的距离分别为和3，求；（2）若斜率，求的面积；（3）若是等腰三角形且，求实数．[思路点拨]（1）由抛物线的定义求解即可；（2）由抛物线焦点弦的弦长和点到直线距离求解即可；（3）将抛物线方程与直线方程联立，用表示出中点的坐标，使即可．解：（1）抛物线的焦点为，准线方程为．由抛物线的定义，若点和到准线的距离分别为和3，则，，．（2）若斜率，则直线的方程为，由消去，整理得，△，，，，，，，由抛物线的定义，．到直线即的距离为，的面积．（3）直线的方程为，（易知由消去，整理得，△，，，，，，，中点，其中，，，是等腰三角形且，，，解得．实数的值为1或．21．（18分）历史上著名的卡西尼卵形线的探究具有代表性，卡西尼卵形线是表示到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹．（1）试求到两个定点，的距离之积为常数2的动点的轨迹方程（不要求化简）；（2）探究该轨迹的对称性、顶点、范围（给出必要的探究过程）．[思路点拨]（1）设点，利用两点间距离公式即可求