实际问题与一次函数课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

23.4一次函数第二十三章一次函数第10课时一次函数与几何综合一次函数与面积问题的常见解题思路：1．求动点坐标时，可根据动点所在的不同位置设参．动点位置设动点坐标x轴（m，0）y轴（0，m）直线y＝kx＋b（m，km＋b）直线x＝a（a，m）直线y＝b（m，b）2.求三角形的面积．①当三角形至少有一边在坐标轴上或与坐标轴平行时．图4图5图4：S△ABC＝|yC|·|xB－xA|.图5：S△ABC＝|yA－yB|·|xC－xA|.②当三角形的三边都不与坐标轴平行时，采用和差法．图6图7思路1（铅锤法）：图6：S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝|yA－yB|·|xC|.图7：S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝|xA－xB|·|yC|.例1如图1，直线l1：y＝kx＋b与x轴、y轴分别交于点A，B，OA＝4，OB＝3.（1）点A的坐标为__________，点B的坐标为__________，直线l1的函数解析式为_____________.图1（－4，0）（0，3）（2）如图2，若直线l2：y＝－

x与直线l1交于点P，则点P的坐标为__________，△AOP的面积为__________．图2（3）在（2）的条件下，若点M是第一象限内直线l1上的一个动点，S△OPM＝4，求点M的坐标．根据题意，得S△OPM＝S△OPB＋S△OMB＝4，（4）如图3，若N是直线l3：y＝－

x＋1上一动点，直线l3分别交x轴、直线l1于点C，D，当S△AOB＝2S△ADN时，求点N的坐标．图3思考：若改为“当S△ADN＝S△BON时，求点N的坐标”，该如何解答？思路2：延长AB（或延长BA）.图8：S△AOB＝S△AOE－S△BOE＝|xE|·|yA－yB|.图83.已知面积或面积关系求点坐标：设点坐标，根据题干给出的面积或面积关系建立方程，解方程求得点坐标．注：线段长是正值，但坐标有正有负，因此在将线段长度转化为点坐标时，一般要用到分类讨论思想．4．常见的最值模型：①点到直线的最短距离（垂线段最短）已知点A和直线l，在直线l上找一点P，使得线段AP的值最小．②“将军饮马模型”已知点A，B和直线l，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小两点在直线的异侧两点在直线的同侧领跑作业本

·数学（八年级下册RJ）5.等腰三角形的存在性问题：解决等腰三角形的存在性问题时，若等腰三角形的腰和底不确定，常需要进行分类讨论．（5）①若G是直线l1上一动点，则线段OG的最小值是__________；②如图9，已知点Q（4，a）在直线l1上，在x轴上找一点R，使BR＋QR的值最小，并求出点R的坐标．图9答图1∴Q（4，6）.如答图1，作点B关于x轴的对称点B′，连接B′Q，交x轴于点R，连接BR.由轴对称的性质，得B′（0，－3），B′R＝BR，此时BR＋QR的值最小．设直线B′Q的函数解析式为y＝ax＋c（a≠0）.领跑作业本

·数学（八年级下册RJ）（6）在x轴上是否存在一点E，使得△ABE为等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．答图2如答图2，分三种情况：①当AB＝AE时，点E可能在x负半轴上，也可能在x轴正半轴上．OE1＝AE1－OA＝1，OE2＝AE2＋OA＝9，∴E1（1，0），E2（－9，0）.②当BA＝BE时，点E与点A关于y轴对称．∴E3（4，0）.③当EA＝EB时，点E在线段AB的垂直平分线上．设点E4的坐标为（e，0），则AE4＝BE4＝4＋e.在Rt△OBE4中，由勾股定理，得OE24＋OB2＝BE24，即e2＋32＝（4＋e）2.随堂练习图1

（2）求S△AOC-S△BOC的值；图1

（3）若P为直线l1上的一个动点，且不与点A，B重合，当△BOP的面积是5时，求点P的坐标.图1

2.如图2，一次函数y=kx+b的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，且OA=2OB=4，点C在直线AB上，其纵坐标为5.（1）求该一次函数的解析式及点C的坐标；图2

（2）在x轴上找一点P，连接PB，PC，使△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；图2如答图1，作点B关于x轴的对称点D，连接CD，交x轴于点P，则点P即为所求.∴BP+CP=DP+CP=CD，此时PB+PC最小，即△PBC的周长最小.由轴对称的性质可知，D（0，-2）.设直线CD的解析式为y=mx+n.

（3）在（2）的条件下，求出△BCP的面积.

图3①

（2）当DE=CE时，求m的值；图3①

（3）如图3②，连接AD，BD，在点C运动的过程中，当△ADB的面积等于△AOB的面积时，求m的值.图3②

4.如图3，直线l1：y＝2x与直线l2：y＝kx＋b交于点A（1，a），直线l2与x轴交于点B（－2，0），与y轴交于点C.（1）求直线l2的函数解析式；图3解：（1）将A（1，a）代入y＝2x，得a＝2.∴A（1，2）.将A（1，2），B（－2，0）代入y＝kx＋b，（2）若点D在直线l2上，且△OAD的面积为△BOC面积的2倍，求点D的坐标．②当点D在点A左侧时，①当点D在点A右侧时，5.如图4，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于点A，C，过点C的一条直线与x轴交于点B（6，0）.（1）求直线BC的函数解析式；图4

（2）已知D是x轴上一点，当△ACD是等腰三角形时，求点D的坐标；如答图2，分三种情况：

答图2答图2

（3）G是线段BC上一动点，若线段AG把△ABC的面积分成1∶2的两部分，请求点G的坐标.图4

图4

题型突破类型一次函数图象与系数的关系1．已知一次函数y＝kx＋b的图象如图1所示，则k，b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0图1B2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x＋a（a为常数，且a≠0）的图象可能是（）D类型与一次函数有关的规律探究问题3．如图2，在平面直角坐标系中，直线l是函数y＝x的图象，点A1在x轴正半轴上，OA1＝1.作A1B1⊥x轴交直线l于点B1，以O为圆心，OB1长为半径画弧，交x轴正半轴于点A2，作A2B2⊥x轴交直线l于点B2，以O为圆心，OB2长为半径画弧，交x轴正半轴于点A3，……按此作法进行下去，则点A2025的横坐标为__________.图2210124．如图3，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过A1点作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，……依次进行下去，则点A2025的坐标为（）A．（21012，21013）B．（－10122，1012

2）C．（－21013，21013）D．（21012，21012）图3A类型与一次函数有关的动点图象问题5．如图4，正方形ABCD的边长为4，动点P从点B出发沿折线BCDA做匀速运动，设点P的运动路程为x，△PAB的面积为y.下列图象能表示y与x之间函数关系的是（）D6．如图5①，在一个矩形纸板的一角剪掉一个小矩形，动点P从点A出发，沿路径A→B→C→D→E→F匀速运动，速度为1cm/s，

点P到达终点F后停止运动，△APF的面积S（单位：cm2，S≠0）与点P的运动时间t（单位：s）的关系如图5②所示，点P从点E运动到点F需要的时间