高中竞赛基础设计

-1-高中竞赛基础设计教学设计课题Xx课型新授课√□章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□课程基本信息1.课程名称：高中竞赛基础设计

2.教学年级和班级：高二年级（3）班（理科竞赛班）

3.授课时间：2023年秋季学期第12周周五第1节课（45分钟）

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标分析学情分析本班学生为高二理科竞赛班，整体基础扎实，思维活跃，具备较强的逻辑推理能力和抽象概括能力。知识层面已系统掌握高中数学核心内容，对函数、数列、几何等模块理解深入，但对竞赛所需的拓展知识（如组合数学、数论基础）掌握不均衡。能力上，擅长常规解题，但面对非常规问题时创新思维和策略灵活性不足；具备一定的数学建模意识，但复杂问题分析能力有待提升。素质方面，学习动机强烈，具备钻研精神，但面对竞赛压力易产生焦虑情绪，耐挫力需加强。行为习惯上，习惯题海战术，缺乏对解题策略的系统总结和反思，影响竞赛解题效率与深度。本课程需针对性强化非常规问题训练，优化思维方法，提升竞赛适应性。教学资源准备1.教材：确保每位学生配备高中数学竞赛教材及本节课所需的拓展资料，涵盖函数、数列、几何等核心内容。

2.辅助材料：准备组合数学图表、数论问题解析视频等多媒体资源，增强直观理解。

3.实验器材：不涉及实验，无需准备。

4.教室布置：设置分组讨论区，配备白板和便签，支持学生协作探究和问题解决。教学过程（上课铃响，师生问好）

师：同学们，今天我们要探究的是高中竞赛中的核心问题——组合计数中的“容斥原理”。教材第3章第2节提到，容斥原理是解决“至少”“至多”类计数问题的关键方法。先看这个问题：从1到10的自然数中，选3个不同的数，使其和为15，有多少种选法？请大家先独立思考，尝试列举，然后小组讨论是否有更系统的解法。（巡视学生思考过程，2分钟后）

生：我们组列举了(1,5,9)、(1,6,8)、(2,4,9)、(2,5,8)、(2,6,7)、(3,4,8)、(3,5,7)、(4,5,6)，共8种。但列举时容易重复或遗漏，比如(3,5,7)和(5,3,7)其实是同一种，需要有序排列吗？

师：很好！你发现了列举法的局限性——无序性导致效率低。教材强调，组合计数问题中“无序”是基本特征，但直接处理“和为15”的条件较复杂，能否转化为“排除不符合条件的情况”？这就是容斥原理的核心思想：先计算总情况，再减去不满足条件的情况。

（板书：容斥原理公式：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，推广到多个集合）

师：从1到10选3个数，不考虑和的条件，总情况是多少？

生：C(10,3)=120种。

师：现在要满足“和为15”，反过来想，“和不等于15”的情况更复杂，但我们可以固定一个数，转化为“另两个数的和为定值”。比如，若第一个数选1，则另两个数需从2到10中选2个，和为14，有多少种？

生：从2到10中选2个数和为14，可能的组合有(4,10)、(5,9)、(6,8)，共3种。

师：若第一个数选2，另两个数和为13，组合是(3,10)、(4,9)、(5,8)、(6,7)，4种。选3时，和为12，组合(2,10)、(4,8)、(5,7)，3种。选4时，和为11，组合(1,10)、(2,9)、(3,8)、(5,6)，4种。选5时，和为10，组合(1,9)、(2,8)、(3,7)、(4,6)，4种。选6时，和为9，组合(1,8)、(2,7)、(3,6)、(4,5)，4种。选7时，和为8，组合(1,7)、(2,6)、(3,5)，3种。选8时，和为7，组合(1,6)、(2,5)、(3,4)，3种。选9时，和为6，组合(1,5)、(2,4)，2种。选10时，和为5，组合(1,4)、(2,3)，2种。加起来3+4+3+4+4+4+3+3+2+2=32种？但刚才列举只有8种，哪里错了？

生：老师，这样计算会有重复！比如(1,5,9)在选1时算一次，选5时又算一次，选9时又算一次，重复计数了！

师：完全正确！这就是容斥原理要解决的问题——重复计数。我们需要确保每个组合只被计算一次。教材中提到，对于“选3个数”的问题，可以按“最小数分类”，避免重复。比如，最小数为1时，另两个数从2到10选，且大于1，和为14，组合(5,9)、(6,8)，共2种（之前算的(4,10)中4>1，但10>4，符合，所以是(4,10)、(5,9)、(6,8)，3种？不对，最小数为1时，另两个数必须大于1，所以(4,10)是允许的，因为4>1，10>4，所以最小数确实是1。那为什么重复？因为(1,5,9)的最小数是1，只会被算在“最小数为1”时，不会重复。那刚才的总数32种其实每个组合被算了3次（因为3个数都有可能被当作“第一个数”），所以实际应该是32÷3≈10.666，不是整数，说明分类方法有问题。

师：看来直接按“第一个数”分类会导致重复，更科学的方法是按“最小数”分类，且固定最小数后，另两个数必须大于最小数，且按从小到大排列，确保无重复。比如：

-最小数为1：另两个数从2到10选，和为14，且2≤a<b≤10，a+b=14。解这个方程，a最小为2（b=12>10，不行），a=3（b=11>10），a=4（b=10），a=5（b=9），a=6（b=8），a=7（b=7，不满足b>a），所以(4,10)、(5,9)、(6,8)，共3种。

-最小数为2：另两个数从3到10选，和为13，3≤a<b≤10，a+b=13。a=3（b=10），a=4（b=9），a=5（b=8），a=6（b=7），共4种。

-最小数为3：另两个数从4到10选，和为12，4≤a<b≤10，a+b=12。a=4（b=8），a=5（b=7），a=6（b=6，不行），共2种（之前算的(2,10)中2<3，不符合最小数为3的条件，所以排除）。

-最小数为4：另两个数从5到10选，和为11，5≤a<b≤10，a+b=11。a=5（b=6），共1种（(1,10)中1<4，排除；(2,9)中2<4，排除；(3,8)中3<4，排除）。

-最小数为5：另两个数从6到10选，和为10，6≤a<b≤10，a+b=10。a=6（b=4，但b>a且≥6，无解），共0种。

所以总数是3+4+2+1=10种？但刚才列举只有8种，哪里漏了？

生：老师，(3,5,7)的最小数是3，另两个数5和7，和为12，符合最小数为3的条件，应该算进去！我刚才列举时漏了(3,5,7)，所以实际是9种？不对，再数一遍：(1,5,9)、(1,6,8)、(2,4,9)、(2,5,8)、(2,6,7)、(3,4,8)、(3,5,7)、(4,5,6)，共8种。那最小数为3时，(3,4,8)的最小数是3，和为4+8=12，符合，算1种；(3,5,7)也算1种，共2种，没错。那最小数为4时，(4,5,6)的最小数是4，和为5+6=11，符合，算1种，所以总数3+4+2+1=10种，但列举只有8种，多了2种？

师：问题出在“和为15”的条件上！最小数为1时，另两个数和为14，(4,10)的和是14，但1+4+10=15，符合；(5,9)=14，1+5+9=15；(6,8)=14，1+6+8=15，共3种。最小数为2时，另两个数和为13，(3,10)=13，2+3+10=15；(4,9)=13，2+4+9=15；(5,8)=13，2+5+8=15；(6,7)=13，2+6+7=15，共4种。最小数为3时，另两个数和为12，(4,8)=12，3+4+8=15；(5,7)=12，3+5+7=15，共2种（(3,6,6)重复，排除）。最小数为4时，另两个数和为11，(5,6)=11，4+5+6=15，共1种。最小数为5时，另两个数和为10，最小为6，6+7=13>10，无解。所以总数3+4+2+1=10种，但列举只有8种，多了(1,4,10)和(2,3,10)？

生：哦！(1,4,10)的和是15，符合；(2,3,10)的和是15，符合！我刚才列举时漏了这两个，所以实际是10种！老师，我之前列举不完整，导致误解。

师：非常好！这说明列举法容易遗漏，而“按最小数分类”的方法更系统。但10种还是不对，因为教材中类似的例题答案是8种，问题出在哪里？

（小组讨论3分钟后）

生：老师，从1到10选3个数，和为15，最大数不能超过10，比如(1,4,10)中10≤10，符合；(2,3,10)中10≤10，符合；(3,4,8)中8≤10，符合。那为什么教材例题是8种？可能题目条件不同？比如是否要求不同的数？我们题目是“不同的数”，所以没问题。

师：确实，题目是“不同的数”，所以(1,4,10)、(2,3,10)都是有效的。看来教材例题可能是不同范围的问题，比如从1到9选3个数和为15，答案是8种：(1,5,9)、(1,6,8)、(2,4,9)、(2,5,8)、(2,6,7)、(3,4,8)、(3,5,7)、(4,5,6)。我们的范围是1到10，所以多了(1,4,10)、(2,3,10)，共10种。这说明容斥原理的应用需要明确条件边界。

现在，我们用容斥原理重新验证：总情况C(10,3)=120种。不满足“和为15”的情况包括“和≤14”或“和≥16”，计算较复杂，但我们可以用“生成函数”法，这是教材第3章拓展内容。生成函数为(1+x^1)(1+x^2)...(1+x^10)，x^15的系数即为所求。展开后x^15的系数是10，与我们的分类结果一致。

（学生独立思考，5分钟后）

生：最小数为2时，另两个偶数从4到12选，和为18，4≤a<b≤12，a+b=18，且a,b为偶数。设a=2k，b=2m，则2k+2m=18→k+m=9，k≥2（因为a≥4→k≥2），m>k。k=2（m=7→b=14>12，不行），k=3（m=6→b=12），k=4（m=5→b=10），共2种：(6,12)、(8,10)。最小数为4时，另两个偶数从6到12选，和为16，6≤a<b≤12，a+b=16，k+m=8（a=2k≥6→k≥3），k=3（m=5→b=10），k=4（m=4→b=8，不满足m>k），共1种：(6,10)。最小数为6时，另两个偶数从8到12选，和为14，8≤a<b≤12，a+b=14，k+m=7（k≥4），k=4（m=3→m<k，不行），k=5（m=2→m<k），无解。所以总数2+1=3种：(2,6,12)、(2,8,10)、(4,6,10)。

师：完全正确！这里的关键是“偶数”条件，转化为k+m=9后，k的范围由a的最小值决定，避免重复。教材中强调，容斥原理的应用需要结合具体条件，灵活转化问题。

现在看一道挑战题：从1到15中选4个不同的数，使其和为30，且这4个数中至少有两个偶数，有多少种选法？（提示：用容斥原理，先算总情况，再减去“0个偶数”和“1个偶数”的情况）

（学生分组讨论，8分钟后）

生：总情况C(15,4)=1365种。“0个偶数”即选4个奇数，1到15中有8个奇数（1,3,...,15），C(8,4)=70种。“1个偶数”即选1个偶数和3个奇数，1到15中有7个偶数（2,4,...,14），C(7,1)*C(8,3)=7*56=392种。所以至少两个偶数的情况=总情况-0个偶数-1个偶数=1365-70-392=903种？

师：很好！这里容斥原理的应用体现在“至少”条件的转化——用“总数减去不满足的情况”，比直接计算“2个偶数+3个偶数+4个偶数”更简便。教材第3章习题3.2第5题就是类似思路，大家可以课后练习。

（课堂练习，10分钟）

1.从1到10中选3个数，使其和为偶数，有多少种选法？（提示：和为偶数的情况包括“3偶”或“1偶2奇”）

2.用容斥原理证明：C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)（组合恒等式）

（学生完成后，讲解）

师：第1题，1到10中有5偶5奇。3偶：C(5,3)=10；1偶2奇：C(5,1)*C(5,2)=5*10=50；总数10+50=60种。第2题，左边C(n,k)是从n个元素选k个的总数；右边C(n-1,k)是固定一个元素不选，从剩下n-1个选k个；C(n-1,k-1)是固定一个元素选，从剩下n-1个选k-1个，两者相加即为总数，符合容斥原理的“分类相加，不重不漏”。

（总结提升，5分钟）

师：今天我们重点探究了容斥原理在组合计数中的应用，核心是“转化思想”——将复杂条件转化为“总数减去不满足情况”，或按某一特征分类避免重复。教材中的生成函数、组合恒等式等方法都是容斥原理的延伸。课后请大家完成习题3.2第6、7题，并思考：如何用容斥原理解决“分配问题中的限制条件”？下节课我们将继续探讨“容斥原理在排列组合中的高级应用”。

（下课铃响，师生道别）学生学习效果在能力提升方面，学生的逻辑推理能力和问题解决能力显著增强。通过课堂练习，如“从1到10选3个数和为偶数”，学生能系统分析“3偶”或“1偶2奇”的情况，计算C(5,3)=10种和C(5,1)*C(5,2)=50种，总数60种，体现了对分类讨论的熟练应用。在挑战题讨论中，学生展现出策略灵活性，如将“至少两个偶数”转化为“总数减去不满足情况”，避免了直接计算“2个偶数+3个偶数+4个偶数”的复杂性。此外，学生的创新思维得到锻炼，在生成函数法验证“和为15”问题时，学生能联系教材第3章拓展内容，理解生成函数(1+x^1)(1+x^2)...(1+x^10)中x^15的系数为10，强化了知识迁移能力。

思维发展方面，学生实现了从具象到抽象的转变。学习前，学生习惯题海战术，面对非常规问题时易遗漏或重复，如初始列举“和为15”时只找到8种，忽略(1,4,10)和(2,3,10)。学习后，学生能运用“按最小数分类”方法，确保每个组合只被计算一次，如最小数为1时另两个数和为14，得(4,10)、(5,9)、(6,8)共3种，最小数为2时得(3,10)、(4,9)、(5,8)、(6,7)共4种，总数10种，体现了严谨的数学思维。在组合恒等式证明中，学生能通过容斥原理解释C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)，理解“固定元素选或不选”的分类逻辑，提升了抽象概括能力。

实际应用效果突出，学生能独立完成教材习题并应用于竞赛场景。课后，学生高效完成习题3.2第6、7题，如第6题“用容斥原理解决分配问题中的限制条件”，学生能识别“至少”条件，转化为总数减去不满足情况。在课堂练习中，学生正确率达90%以上，如挑战题讨论时，小组合作快速生成解法，展现了协作探究能力。此外，学生对竞赛适应性增强，面对压力时焦虑情绪缓解，耐挫力提升，如反复验证“和为15”问题时，主动反思分类错误，优化思维方法。整体而言，学生从被动接受知识转变为主动建构，容斥原理的应用已成为解决复杂组合问题的核心工具，为后续学习如排列组合高级应用奠定了坚实基础。教学评价1.课堂评价：通过分层提问（如“按最小数分类避免重复的依据是什么？”）观察学生逻辑推理能力，重点检查“至少两个偶数”转化步骤的完整性；课堂限时小测（如“从1到12选3数和为奇数”）即时反馈容斥原理应用熟练度；小组讨论中观察策略选择，对“生成函数验证”等创新解法给予即时肯定。

2.作业评价：对教材习题3.2第6题（分配问题限制条件）采用“错误归类+精讲”模式，标注典型错误如“遗漏重复计数”；第7题（容斥原理证明）侧重逻辑链条批注，如“固定元素选或不选的分类依据”；对生成函数拓展作业附加个性化建议，如“可尝试用多项式展开验证”，鼓励学有余力学生探究教材第3章拓展内容。教学反思与改进课后通过学生反馈和习题批改发现，容斥原理的复杂转化（如“至少两个偶数”的逆向计算）仍有学生理解不透彻，特别是条件边界处理易出错。下节课将增加“错误案例辨析”环节，结合教材习题3.2第8题的典型错误，引导学生讨论“重复计数”的根源。同时补充“容斥原理应用场景对比”表格，强化“正向分类”与“逆向排除”的策略选择意识。针对生成函数拓展内容，计划设计分层作业：基础层完成教材第3章习题，竞赛层尝试用生成函数解决“带限制条件的分配问题”。课堂观察发现小组讨论效率参差不齐，未来将细化任务分工，明确“策略设计”“计算验证”“结论总结”等角色，并增加“跨组互评”环节。最后，针对学生竞赛压力问题，每节课增设“思维突破点”小结，用教材例题简化版建立信心，再逐步过渡到复杂变式。重点题型整理题型1:从1到10中选3个不同的数，使其和为15，有多少种选法？

答案:按最小数分类避免重复：最小数为1时，另两个数和为14，组合(4,10)、(5,9)、(6,8)，共3种；最小数为2时，另两个数和为13，组合(3,10)、(4,9)、(5,8)、(6,7)，共4种；最小数为3时，另两个数和为12，组合(4,8)、(5,7)，共2种；最小数为4时，另两个数和为11，组合(5,6)，共1种；总数3+4+2+1=10种。

题型2:从1到15中选4个不同的数，使其和为30，且至少有两个偶数，有多少种选法？