离散数学课件6.3 哈密顿图

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6.3哈密顿图

1859年，英国数学家、物理学家威廉·罗恩·哈密顿，提出了以下“周游世界游戏”，

用一个正12面体的20个顶点来表示地球上的20个城市，如何才能从某个城市出发，沿着各条棱走，正好只经过每个城市一次，最后返回到出发地点?如图所示。这一问题后来被抽象为哈密顿问题，成为了图论中的一个经典议题。哈密顿将此问题称为周游世界问题，并且做了肯定的回答。

定义

经过图中每个结点一次且仅一次的通路(回路)称为哈密顿通路(回路)。

定义

存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。存在哈密顿通路而不存在哈密顿回路的图称为半哈密顿图。注1:以上定义既适合无向图，又适合有向图。注2:平凡图为哈密顿图。

注3:若一个图中存在哈密顿通路(回路)，则该图是连通的。平行边与环存在与否不影响图中是否存在哈密顿通路(回路)。半哈密顿图哈密顿图定理

设无向图G=(V,E)是哈密顿图，V1是V的任意非空子集，则

p(G-V1)≤|V1|其中p(G-V1)是从G中删除V1后所得到图的连通分支数。推论

设无向图G=(V,E)中存在哈密顿通路，则对V的任意非空子集V1，都有

p(G-V1)≤|V1|+1不是半哈密顿图哈密顿图

定理给出的是哈密顿图的必要条件，而不是充分条件。

下图所示为彼得森(Petersen)图，对V的任意非空子集V1，均满足p(G-V1)≤|V1|，但它不是哈密顿图。

我们经常利用定理和推论的逆否命题来判断某些图不是哈密顿图、不存在哈密顿通路，即:若存在V的某个非空子集V1使得p(G-V1)>|V1|，则G不是哈密顿图;若存在V的某个非空子集V1使得p(G-V1)>|V1|+1，则G中不存在哈密顿通路。

（a）

（b）

（c）对于图(a),取V1为两个3度顶点，有p(G-V1)=4>2+1,故不存在哈密顿通路，更无哈密顿回路。对于图(b)，取V1={g,e,k,i},G-V1如图(c)所示，p(G-V1)=6>4+1，故不存在哈密顿通路，更无哈密顿回路。

例

某地有5个风景点，若每个风景点均有2条道路与其他点相通，问:游人可否经过每个风景点恰好一次而游完这5个风景点?

解

利用定理。将5个风景点看成有5个结点的无向图，将风景点间的道路看成无向图的边，因为每处均有两条道路与其他结点相通，故每个结点的度数均为2，从而任意两个不相邻的结点的度数之和等于4，正好为总结点数减1。故此图中存在一条哈密顿通路，因此游人可以经过每个风景点恰好一次而游完这5个风景点。定理

设G=(V,E)是有n(n≥2)个结点的一个简单有向图。如果忽略G中边的方向所得的无向图中含生成子图Kn，则有向图G中存在哈密顿通路。例

有4个队参赛，A队胜B、C队，D队胜A、B队，C对胜B、D队。比赛结果如图所示。求参赛对的名次。解

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