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文档简介
4.3关系的性质定理：设R为A上的关系,则
(1)R在A上自反当且仅当IA
R
(2)R在A上反自反当且仅当R∩IA=
(3)R在A上对称当且仅当R=R
1
(4)R在A上反对称当且仅当R∩R
1
IA
(5)R在A上传递当且仅当R
R
R
自反反自反对称反对称传递表达式IA
RR∩IA=
R=R
1
R∩R
1
IA
R
R
R关系矩阵主对角线元素全是1主对角线元素全是0矩阵是对称矩阵若rij＝1,且i≠j,则rji＝0对M2中1所在位置,M中相应位置都是1关系图每个顶点都有环每个顶点都没有环如果两个顶点之间有边,是一对方向相反的边(无单边)如果两点之间有边,是一条有向边(无双向边)如果顶点xi连通到xk
,则从xi到xk
有边
例
判断下图中关系的性质,并说明理由.(a)不自反也不反自反；对称,不反对称；不传递.(b)反自反，不是自反的；反对称，不是对称的；是传递的.(c)自反，不反自反；反对称，不是对称；不传递.
自反性证明证明模式证明R在A上自反任取x,x
A
……………..….…….
<x,x>
R
前提推理过程结论例
证明若IA
R，则
R在A上自反.证任取x,
x
A
<x,x>
IA
<x,x>
R
因此R在A上是自反的.对称性证明证明模式证明R在A上对称任取<x,y><x,y>
R
……………..….…….
<y,x>
R
前提推理过程结论例
证明若R=R
1,则R在A上对称.证任取<x,y>
<x,y>
R
<y,x>
R
1
<x,y>
R
因此R在A上是对称的.
反对称性证明证明模式证明R在A上反对称任取<x,y><x,y>
R
<y,x>
R
………..……….
x=y
前提推理过程结论例
证明若R∩R
1
IA,
则R在A上反对称.证任取<x,y>
<x,y>
R
<y,x>
R
<x,y>
R
<x,y>
R
1
<x,y>
R∩R
1
<x,y>
IA
x=y
因此R在A上是反对称的.传递性证明证明模式证明R在A上传递任取<x,y>，<y,z><x,y>
R
<y,z>
R
…..……….
<x,z>
R
前提推理过程结论例
证明若R
R
R
,
则R在A上传递.证任取<x,y>，<y,z><x,y>
R
<y,z>
R
<x,z>
R
R
<x,z>
R
因此R在A上是传递的.自反性反自反性对称性反对称性传递性R1
1
√√
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