全品高考备战2027年数学一轮备用题库06第54讲双曲线【答案】作业手册

第54讲双曲线1.B[解析]由双曲线C的方程知a=3,根据双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=|5-|PF2||=2a=6,解得|PF2|=-1(舍去)或|PF2|=11.故选B.2.C[解析]因为双曲线C的焦点在y轴上,所以双曲线C:mx2+ny2=1的标准方程为y21n-x2-1m=1,所以a2=1n,b2=-1m,所以C的离心率e=ca=1+b2a2=1-3.B[解析]双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,由题意可知-ba·ba=-1,可得b=a,所以c=a2+b2=2b=6,则4.A[解析]设F1(-2,0),F2(2,0),由题意知|MF1|-|MF2|=4=|F1F2|,故动点M的轨迹是一条射线,故选A.5.AB[解析]方法一:对于选项A,x2=2+2y2≥2,故|x|≥2,故A正确;对于选项B,x2+y2=2+3y2≥2,故B正确;对于选项C,取x=2,y=1,满足x22-y2=1,此时yx=12,故C错误;对于选项D,取x=32,y=-24,满足x22-y2=1,此时|x-2y|=2>2方法二:易知点(x,y)在双曲线x22-y2=1上,根据双曲线上点的横坐标的范围可知|x|≥2,故A正确;x2+y2表示双曲线上一点到原点的距离的平方,双曲线的实半轴长为2,故x2+y2≥2,故B正确;yx表示双曲线上一点与原点连线的斜率,双曲线的渐近线的斜率为±ba=±22,故-22<yx<22,故C错误;对于D,取x=32,y=-24,满足x22-y2=1,此时|x-26.x212-y24=1[解析]双曲线C1与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,故可设双曲线C1的方程为x2-3y2=λ,又因为C1过点A(-15,1),所以15-3=λ,解得λ=12,所以双曲线C1的标准方程是x27.2[解析]不妨取渐近线的方程为y=bax,F(c,0),则直线EF的方程为y=-ab(x-c),由y=bax,y=-ab(x-c),解得x=a2c,y=abc,∴Ea2c,abc,则线段EF8.A[解析]作出截面图,以AA1的中点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则|OA|=|OA1|=43.设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则a=43,可设C14393,m,B12033,m-24(0<m<24),因为B1,C1在双曲线上,所以9.B[解析]由双曲线的定义可知|AF2|-|AF1|=2a,又|AF1|=2a,所以|AF2|=4a.因为∠F1AF2=23π,所以S△AF1F2=12|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2=12×2a×4a×32=23a2.由双曲线的定义可知|BF1|-|BF2|=2a,所以|BF1|=2a+|BF2|,又|BF1|=2a+|BA|,所以|BF2|=|BA|.因为∠F1AF2=2π3,所以∠BAF2=π3,所以△BAF2为等边三角形,且边长为4a,所以S△ABF2=34|AB|2=34×(4a10.B[解析]不妨设M在x轴上方,如图.由题可得A(-a,0),B(a,0),F(c,0),Mc,b2a,Nc,-b2a,Pc,b22a,所以kBP=b22ac-a=c+a2a,直线BP的方程为y=c+a2a(x-a),令x=0,解得y=-c+a2,所以直线BP与y轴的交点为0,-c+a2.因为kAN=-b2ac+a=-c-aa,所以直线AN的方程为y=-c-a11.BD[解析]对于A,若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则-n>m>0,故A错误;对于B,当m=-n>0时,曲线C是圆,故B正确;对于C,当m=-n=1时,满足mn<0,但曲线C的方程为x2+y2=1,曲线C是圆,故C错误;对于D,若曲线C为双曲线,则mn>0,当m>0,n>0时,y2m-x2n=1表示焦点在y轴上的双曲线,其渐近线方程为y=±mnx,当m<0,n<0时,x2-n-y2-12.ABD[解析]对于A,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线的方程为y=±bax,要使过点F1的直线l交双曲线C于P,Q两点,交两条渐近线于M,N两点(P,M在第一象限),则满足ba>3,所以b2>3a2,所以A正确;对于B,由双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=2a,|QF2|-|QF1|=2a,两式相减得|PF1|+|QF1|=|PF2|+|QF2|,所以△PQF2的周长为|PQ|+|QF2|+|PF2|=(|PF1|-|QF1|)+|QF2|+|PF2|=(|PF1|-|QF1|)+|PF1|+|QF1|=2|PF1|,所以B正确;对于C,设PF2的中点为S,坐标原点为O,连接OS,则|OS|=12|PF1|=12(|PF2|+2a)=12|PF2|+a,所以两圆外切,所以C错误;对于D,由y=bax,x2+y2=c2,且c2=a2+b2,得M(a,b),连接F2M,则F2M⊥MF1,又A2R⊥PF1,所以A2R∥F2M,连接MA2并延长,交NO的延长线于M',则M'(a,-b),A2为MM'的中点,又MN的中点为R,则RA2∥M'N,所以M'N∥RA2∥MF213.332[解析]由双曲线的对称性不妨设倾斜角为60°的直线过右焦点F,如图.双曲线x23-y2=1的渐近线方程为y=±33x,双曲线的半焦距c=2,故F(2,0),过点F且倾斜角为60°的直线方程为y=3(x-2).由y=3(x-2),y=33x,可得交点A的坐标为(3,314.326[解析]设P(m,n)(m>0,n>0),则m2-n23=1,可得n2=3(m2-1).因为A,B分别为双曲线C:x2-y23=1的左、右顶点,所以A(-1,0),B(1,0),所以tanα·tanβ=kPA·kPB=nm+1·nm-1=n2m2-1=3.因为tanα>0,tanβ>0,所以2tanα+tanβ≥22tanαtanβ=26,当且仅当2tanα=tanβ时,等号成立,此时2nm+1=nm-1,解得m=3,所以n2=3×(32-1)=24,15.解:(1)由双曲线C的焦点在x轴上,其渐近线方程为y=±x,可设双曲线C的方程为x2a2-y2a2=1(a>0),又实轴长为2,则2a=2,得a=1,所以双曲线C的方程为x(2)由过点P(0,1)的直线与双曲线C的左、右两支各交于一点,知该直线的斜率一定存在,且该直线不和双曲线的渐近线平行.设该直线的方程为y=kx+1,k≠±1,由y=kx+1,x2-y2=1,整理得(1-k2)x2-2kx-2=0,需满足Δ=4k2+8(1-k2)>0且-21-16.A[解析]设椭圆与双曲线的焦距均为2c,则a12-b12=c2,a22+b22=c2.连接OP(O为坐标原点),因为∠F1PF2=90°,所以|OP|=12|F1F2|=c,又点P在第一象限,且在直线y=x上,所以P22c,22c.因为点P在椭圆C1上,所以22c2a12+22c2b12=1,即c2a12+c2a4±16-4×2×14=2±22,又0<e1<1,所以1e12=2+22.因为点P在双曲线C2上,所以22c2a22-22c2b22=1,即c2a2217.ABD[解析]对于A,若双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则ba=3或33,故e=1+ba2=2或233,故A正确.对于B,设|AF1|=x,则|BF2|=x,|AF2|=x-2a,|BF1|=x+2a.在Rt△F1AB中,可得x2+(2x-2a)2=(x+2a)2,所以x=3a.在Rt△F1AF2中,可得x2+(x-2a)2=4c2,即10a2=4c2,故e=102,故B正确.对于C,设圆I1与AF1,AF2,F1F2分别相切于点D,Q,T,则|AD|=|AQ|,|F1D|=|F1T|,|F2Q|=|F2T|,故|F1T|-|F2T|=|F1D|-|F2Q|=|AF1|-|AF2|=2a.设点T(x0,0),又F1(-c,0),F2(c,0),所以x0-(-c)-(c-x0)=2a,解得x0=a.连接I1T,I2T,F2I1,F2I2,易知I1T⊥F1F2,则点I1的横坐标为a,同理可得点I2的横坐标为a,故I1,T,I2三点共线,即直线I1I2的方程为x=a.设直线AB的倾斜角为2θ,O为坐标原点,则∠OF2I2=θ,∠I1F2O=π2-θ.在△I1F2T中,r1=(c-a)tanπ2-θ=(c-a)1tanθ,在△I2F2T中,r2=(c-a)tanθ.由a=1,b=3,得c=2,且双曲线C的渐近线的斜率为±3,