全品高考备战2027年数学一轮学生用书02第17讲导数与函数的单调性【正文】听课手册

第17讲导数与函数的单调性【课标要求】1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.

2.能利用导数研究函数的单调性.

3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.函数的单调性与导数导数到单调性单调递增在区间(a,b)上,若f'(x)>0,则f(x)在这个区间上单调

单调递减在区间(a,b)上,若f'(x)<0,则f(x)在这个区间上单调

单调性到导数单调递增若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f'(x)

单调递减若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则f'(x)

“函数y=f(x)在区间(a,b)上的导数大(小)于0”是“y=f(x)在区间(a,b)上单调递增(减)”的条件

题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=ex-x的单调递增区间是.

2.[教材改编]比较大小:ex1+x,x≠0;xlnx,x∈(1,+∞).

3.[教材改编]已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则f(x)在(-∞,-3)上单调(填“递增”或“递减”),f'(1)0,f(x)在处取得极值.

题组二常错题◆索引:弄错可导函数在某区间上单调时导数满足的条件致误;求单调区间时忽略定义域;讨论函数单调性时分类标准有误.4.若函数y=x+a2x(a>0)在[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围是5.函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为.

6.讨论函数y=ax3-x在R上的单调性时,对参数a应分三种情况讨论.

不含参函数的单调区间例1(1)求函数g(x)=2x3(2)求函数f(x)=sinx+(1-x)cosx,x∈-π2(3)求函数f(x)=ln(x+1)+e-x的单调递增区间.

总结反思求函数f(x)单调区间的步骤:(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f'(x).(3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开.变式题求函数g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)的单调区间,其中e是自然对数的底数.

讨论含参函数的单调性例2(1)已知函数f(x)=12ax2-(a+1)x+lnx,讨论f(x)的单调性(2)已知函数f(x)=(x-2)ex+ax2,讨论f

总结反思(1)利用导数讨论含参函数单调性的关键是确定导数的符号,对于含有参数的导数符号判定问题,应就参数的范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解.(2)求导函数零点和讨论都必须在函数的定义域内.(3)如果导函数没有零点,会出现恒成立的情况,即原函数在定义域内单调.变式题讨论下列函数的单调性.(1)f(x)=13x3-12ax2+x+1(a∈(2)f(x)=e2x+(2-2a)ex-a(2x+1),a∈R.(e为自然对数的底数)

已知函数单调性确定参数的取值范围例3已知函数f(x)=12x2+2alnx-2x(a∈R)(1)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,求a的取值范围;(2)若函数f(x)在区间(1,2)上存在单调递减区间,求a的取值范围;(3)若函数f(x)在区间(1,2)上不单调,求a的取值范围.

总结反思(1)函数f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;(2)f(x)在区间D上单调递增(减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在D内任一子区间内f'(x)不恒为0.如果能够分离参数,则分离参数后可转化为参数值与函数最值之间的关系.函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解的问题.(3)二次函数的值在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图象的对称轴x=x0与区间D的相对位置,一般分x0在区间左侧、内部、右侧三类情况进行讨论.变式题(1)[2023·新课标Ⅱ卷]已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为 ()A.e2 B.eC.e-1 D.e-2(2)已知m>0,若f(x)=-12x2+6x-8lnx在[m,m+1]上不单调,则实数m的取值范围是 (A.(1,2) B.(3,4)C.(1,2]∪[3,4) D.(1,2)∪(3,4)利用函数的单调性比较大小或解不等式例4(1)已知f(x)=lnxx,a,b,c∈(0,+∞),若f(a)>f(b)>f(c),则a,b,c的大小关系不可能是 (A.a>b>c B.a<b<cC.b>a>c D.b>c>a(2)已知函数f(x)=2x-sin2x,则不等式f(x2)+f(3x-4)<0的解集为.

总结反思解决比较大小或解不等式的关键是利用导数的工具性,把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题,再由单调性比较大小或解不等式.变式题(1)已知函数f(x)=ex-e-x-2x+2,则不等式f(2x+4)≥2的解集是.

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