全品高考备战2027年数学一轮学生用书02第7讲函数的单调性【正文】听课手册

第7讲函数的单调性【课标要求】1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大(小)值,理解它们的作用和实际意义.

2.理解函数单调性的概念,能运用函数图象理解和研究函数的单调性.

3.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.

4.会求一些具体函数的单调区间.1.单调函数增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I当x1<x2时,都有,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数

当x1<x2时,都有,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数

图象描述自左向右看图象是

自左向右看图象是

2.单调区间如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的),区间I叫作y=f(x)的.

3.函数的最值前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足条件∀x∈D,都有;

∃x0∈D,使得

∀x∈D,都有;

∃x0∈D,使得

结论M为最大值M为最小值几何意义f(x)图象上最高点的

f(x)图象上最低点的

常用结论1.函数单调性的常用结论:(1)若f(x),g(x)均在区间D上单调递增(减),则f(x)+g(x)也在区间D上单调递增(减).(2)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反.(3)若f(x)在区间(a,b)上单调递增(减),且f(x)≠0,则1f(x)在区间((4)复合函数单调性的判断方法:“同增异减”.2.单调性定义的等价形式:设∀x1,x2∈D,x1≠x2.(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或f(x1)-f(x(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或f(x1)-f(x23.函数最值存在的两个结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到;(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.(3)函数存在唯一的极值点就是它的唯一的最值点.题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的单调递增区间是,单调递减区间是.

2.[教材改编]设函数y=f(x)满足对任意的x1,x2∈R,都有x1-x2f(x13.[教材改编]函数f(x)=|x-a|+1在[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是.

4.[教材改编]已知函数f(x)=2x-1(x∈[2,6]),则函数f(x)的最大值为题组二常错题◆索引:求单调区间时忘记定义域致误;讨论分段函数的单调性时忘记整体考虑致误;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念致误.5.函数f(x)=x2-26.已知函数f(x)=(a-2)x7.(1)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a的取值范围是.

(2)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间为(-∞,4],则a的值为.

确定函数的单调性角度1函数单调性的判断例1(多选题)下列函数在其定义域内是增函数的为 ()A.y=|x2-2x| B.y=ex-e-xC.y=log0.5(x+1) D.y=x+cosx角度2利用定义证明函数的单调性例2讨论函数f(x)=axx-1(

总结反思1.用定义法证明函数单调性的一般步骤为:取值、作差变形、判断符号、得出结论.2.函数单调性的判断方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)直接利用已知函数的单调性可以判断一些组合函数的单调性,如“增+增”为增,“增-减”为增,“减+减”为减,“减-增”为减;(4)导数法;(5)利用“同增异减”的规则判断复合函数y=f[g(x)]的单调性.求函数的单调区间例3(1)函数f(x)=x2-4|x|+3的单调递减区间是 ()A.(-∞,-2)B.(-∞,-2)和(0,2)C.(-2,2)D.(-2,0)和(2,+∞)(2)函数f(x)=xlnx+1的单调递减区间是 ()A.0,1e C.1e,+∞ 总结反思(1)求函数单调区间的常见方法:①定义法;②导数法;③性质法;④图象法.(2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接.变式题(1)函数y=ln(x2-2x)的单调递减区间是 ()A.(-∞,1) B.(1,+∞)C.(-∞,0) D.(2,+∞)(2)函数y=sinx-xcosx(0<x<2π)的单调递减区间为.

(3)已知函数f(x)=1,x>1,0,x=1,-1,x<1,g(由单调性求参数的取值范围例4(1)已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减,则实数a的取值范围是.

(2)[2024·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)=-x2-2ax-aA.(-∞,0] B.[-1,0]C.[-1,1] D.[0,+∞)总结反思利用函数的单调性求参数的取值范围(或值)的注意点:(1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;(2)若分段函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的.变式题(1)[2023·新课标Ⅰ卷]设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 ()A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)(2)已知函数f(x)=x2-ax+5,x≤1,ax,x>1满足对任意实数x1,x2函数单调性的应用微点1比较大小例5[2025·襄阳三模]函数f(x)=sinx+cosx-2x,a=f(-π),b=f(2e),c=f(ln2),则a,b,c的大小关系是 ()A.a>c>b B.a>b>cC.b>a>c D.c>b>a总结反思比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用其函数性质转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能用数形结合的尽量用图象法求解.微点2解不等式例6(1)已知函数f(x)=ln(x+1),x≥0,-2x2,x<0(2)定义在(0,+∞)上的减函数f(x)满足:对任意x,y∈(0,+∞),总有f(xy)=f(x)+f(y)-1,则不等式f(log2x-1)>1的解集是 ()A.(0,4) B.(4,+∞)C.(1,4) D.(2,4)总结反思利用函数单调性解不等式的具体步骤:(1)将不等式转化成f(x1)>f(x2)(或f(x1)<f(x2))的形式;(2)确定函数f(x)的单调性;(3)根据函数f(x)的单调性去掉符号“f”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的常规不等式,从而得解.1.已知函数f(x)=x|x|,则关于x的不等式f(2x)>f(1-x)的解集为 ()A.13,+∞ C.13,1 2.[2025·大连一模]若f(x)是定义在R上的增函数,则“f(x)>x”是“f[f(x)]>x”的 ()A.充分不必要条件