广东广州市越秀区2025-2026学年下学期期中考试八年级数学科试卷（问卷）

广东广州市越秀区2025-2026学年下学期期中考试八年级数学科试卷（问卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．下列二次根式是最简二次根式的是（）A．45 B．10 C．23 D．2．二次根式3x−1中x的取值范围是（）A．x≠13 B．x≥13 C．3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．1，2，2 B．1，2，3 C．4，6，8 D．6，8，104．下列各式计算正确的是（）A．3+7=10 B．42−35．如图，在菱形ABCD中对角线AC，BD交于点O，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（）A．AC=BD B．AC⊥BD C．OA=OC D．∠AOB=6．已知－2＜m＜3，化简(m−3)2A．5 B．1 C．2m－1 D．2m－57．《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（）A．32+82=x2 B．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，BC，AB为边向外作半圆，并分别记它们的面积为S1，S2，S3，若S1=8πA．42π B．32π C．40π 9．如图，在矩形ABCD中，点E为CD边的中点，点F为边BC上一点，且AE平分∠DAF．若BF=4，FC=1，则AF的长为（）A．5 B．25 C．6 D．10．如图，菱形ABCD的边长为4，且∠A=60°,DE⊥BC于点E,P为BD上一点，且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（）A．3+1 B．27+2 C．2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．如图，为测量池塘岸边A，B两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点D，E之间的距离是14米，则A，12．如图，数轴上点A，点B分别表示1和3，CB⊥AB，且CB=1，以点A为圆心，以AC为半径作弧，弧与数轴的交点为D，则点D表示的数是．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，AD=5，则菱形ABCD的面积为．14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形BCE，则∠CDE=．15．已知在△ABC中，AB=13,AC=15，高AD=12．则BC的长为．16．如图，在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形EFGC，且点E落在AD上，连接BE，BG，BG交CE于点H，连接FH，若FH平分∠EFG，则下列结论正确的是．①AE+CH=EH；②∠DEC=3∠ABE；③BH=HG；④CE=2AB．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．计算：（1）27−（2）2+318．如图，每个小正方形的边长都为1．（1）AB=_________，BC=_________，BD=_________；（2）判断∠BCD是直角吗？并说明理由．19．先化简，再求值：a+5a−520．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝21．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点．过点A作AE∥BC，过点C作CE∥DA，交于点E．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若BC=12,AB=10，求CE的长．22．学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校修建这个花园需要投资多少元？23．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO=OC，OB=OD且∠1=∠2．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）E为AO上一点，连接BE，若AE=4，AB=6，EB=23，求AO24．如图，在正方形ABCD中，O是AC的中点，E是AD上一点，连接BE，交AC于点H，作CF⊥BE于点F，AG⊥BE于点G，连接OF．（1）求证：AG=BF；（2）若正方形边长为1，当点F为HB中点时，求AE的长；（3）求证：CF−AG=225．在矩形ABCD中，AB=6,BC=8，点E是射线BC上一个动点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折到△AB'E，延长AB'（1）求证：AM=MF；（2）当点E是边BC的中点时，求CM的长；（3）当CF=4时，求CM的长．

答案解析部分1．【答案】B【知识点】最简二次根式【解析】【解答】解：A、45=3B、10是最简二次根式，故本选项符合题意；C、23D、0.2=故选：B．【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.2．【答案】B【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式【解析】【解答】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，∴3x−1≥0，解得x≥13．

故答案为：B。

【分析】根据二次根式有意义的条件可得出3．【答案】D【知识点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：A.12B.1+2=3，不能构成三角形，不符合题意；C.42D.62故选：D．【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.4．【答案】D【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法【解析】【解答】解：A.3与7不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；B.42C.22D.27÷故选：D.【分析】根据二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.5．【答案】A【知识点】正方形的判定【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD，∴菱形ABCD是正方形．故答案为：A．

【分析】利用正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.6．【答案】A【知识点】二次根式的性质与化简；绝对值的非负性【解析】【解答】解：∵-2＜m＜3，∴m-3＜0，m+2＞0，∴(m−3)2故答案为：A.【分析】由m的范围可得m-3＜0，m+2＞0，利用绝对值的性质以及二次根式的性质对待求式子化简可得：3-m+m+2，接下来合并同类项即可.7．【答案】D【知识点】列一元二次方程【解析】【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为x−32故选：D【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理建立方程即可求出答案.8．【答案】B【知识点】勾股定理【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∴AB∵S1=8π，S2=24π，即∴AC∴AB∴S3故选：B．【分析】根据勾股定理可得，结合圆的面积即可求出答案.9．【答案】C【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；线段的中点；三角形全等的判定-AAS【解析】【解答】解：延长AE、BC交于G，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，AD∥BC，∴∠DAE=∠G，∵E是CD的中点，∴DE=CE，∵∠AED=∠CEG，在△ADE和△GCE中，∠DAE=∠G∠AED=∠CEG∴△ADE≌△GCEAAS∴CG=AD，∵BF=4，FC=1，∴BC=4+1=5，∴CG=AD=5，∴FG=CG+FC=5+1=6，∵∠FAE=∠EAD，∴∠FAE=∠G，∴AF=FG=6．故选：C．【分析】延长AE、BC交于G，根据矩形性质可得BC=AD，AD∥BC，则∠DAE=∠G，根据线段中点可得DE=CE，再根据全等三角形判定定理可得△ADE≌△GCEAAS，则CG=AD10．【答案】B【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；菱形的性质；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）【解析】【解答】解：连接AE交BD于点P，连接AC，PC，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°,∴对角线BD所在直线是其一条对称轴，点A，点C关于直线BD对称，△ABD与△CBD是等边三角形，∴PC=PA，∵DE⊥BC，∵E是BC的中点，∴EC=EB=2，∵△PCE的周长=PC+PE+EC=PA+PE+2，∴要求△PCE的周长的最小值可先求出PA+PE的最小值即可，而PA+PE的最小值就是AE的长，过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵∠DAB=60°，在Rt△BEF中，BF=BE⋅cos60°=1，在Rt△AEF中，∵AF=AB+BF=4+1=1，EF=3∴AE=A∴△PCE的周长的最小值为27故选：B．【分析】连接AE交BD于点P，连接AC，PC，根据菱形性质可得对角线BD所在直线是其一条对称轴，点A，点C关于直线BD对称，△ABD与△CBD是等边三角形，则PC=PA，根据线段中点可得EC，再根据三角形周长可得△PCE的周长=PC+PE+EC=PA+PE+2，要求△PCE的周长的最小值可先求出PA+PE的最小值即可，而PA+PE的最小值就是AE的长，过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，根据菱形性质可得BC∥AD，再根据余弦定义可得BF，再根据边之间的关系可得AF，再根据勾股定理即可求出答案.11．【答案】28米【知识点】三角形的中位线定理【解析】【解答】解：∵D，E分别是OA，OB的中点，∴DE是△OAB的中位线，∴AB=2DE=28（米），故答案为：28米．

【分析】先证出DE是△OAB的中位线，再利用中位线的性质（三角形的中位线平行且等于第三边的一半）分析求解即可.12．【答案】5【知识点】实数在数轴上的表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点【解析】【解答】解：由题意可知：AC=AD，∵CB⊥AB，∴∠ABC=90°，∵点A，点B分别表示1和3，∴AB=|1−3|=2，由勾股定理得：AC=A∴AD=5设点D表示的数为x，∴|x−1|=5x−1=±5x=5+1或∴点D表示的数为5+1故答案为：5+1【分析】根据数轴上两点间距离可得AB，再根据勾股定理可得AC，设点D表示的数为x，根据数轴上两点间距离建立方程，解方程即可求出答案.13．【答案】24【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，AD＝5，∴AO=12AC=3，DO=∴S菱形故答案为：24．【分析】根据菱形性质可得AO=12AC=3，DO=14．【答案】15°【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角【解析】【解答】解：∵正方形ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD，∵等边三角形BCE，∴∠BCE=60°，BC=CE∴∠DCE=∠BCD+∠BCE=150°，CD=CE，∴∠CDE=∠DCE=故答案为：15°．【分析】根据正方形性质可得∠BCD=90°，BC=CD，根据等边三角形性质可得∠BCE=60°，BC=CE，根据角之间的关系可得∠DCE，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.15．【答案】14或4【知识点】勾股定理【解析】【解答】解：如图所示，BC共有两种情况，当B'在D点左侧时，在Rt△AB'在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=A∴B当B在D点右侧时，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=A在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=∴BC=CD−BD=9−5=4．故答案为：14或4．【分析】根据勾股定理可分别求得BD与CD的长，再根据边之间的关系即可求出答案.16．【答案】①③【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的性质；旋转的性质【解析】【解答】解：过点B作BM⊥CE于点M，∴∠BME=∠BMH=90°，∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，由旋转的性质得：CB=CE,AB=EF=CG，∴∠CBE=∠MEB，∴∠AEB=∠MEB，在△AEB和△MEB中，∠A=∠BME=90°∠AEB=∠MEB∴△AEB≌△MEB(AAS)，∴AE=ME,AB=MB，∴MB=CG，在△BMH和△GCH中，∠BMH=∠GCH=90°∠BHM=∠GHC∴△BMH≌△GCH(AAS)，∴BH=GH,MH=CH，③正确；∴AE+CH=ME+MH=EH，①正确；设∠ABE=∠MBE=α，则∠AEB=∠MEB=90°−α，∴∠DEC=180°−∠AEB−∠MEB=2α，∴∠DEC=2∠ABE，②错误；∵CE∥FG，∴∠GFH=∠EHF，∵FH平分∠EFG，∴∠GFH=∠EFH，∴∠EFH=∠EHF，∴EF=EH，∴EH=AB，∵AE+CH=EH，∴AE+CH=AB，∴CH<AB，则④错误；综上，结论正确的有①③．

故答案为：①③。【分析】我们可以过点B作BM⊥CE，交CE于点M，根据图形旋转的性质可以得到：CB=CE,AB=EF=CG，接下来我们可以证明△AEB≌△MEB(AAS)与△BMH≌△GCH(AAS)成立，最后结合全等三角形对应边、对应角相等的性质，就可以对各个选项逐一判断了．17．【答案】（1）解：27=3=（2）解：2+=4+4=4+4=43【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算【解析】【分析】（1）首先化简二次根式，进而再合并同类二次根式即可；

（2）首先根据完全平方公式进行乘法运算，进而再合并同类二次根式即可。（1）解：27=3=4（2）解：2+=4+4=4+4=4318．【答案】（1）26，25，（2）解：∠BCD是直角，理由如下：连接BD，由图可知：BD2=25，B∴DC∴∠BCD=90°．【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题【解析】【解答】（1）解：AB=52+12故答案为：26，25，5【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.

（2）连接BD，根据勾股定理可得BD，BC，CD，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.（1）解：AB=52+12故答案为：26，25，5（2）∠BCD是直角，理由如下：连接BD，由图可知：BD2=25，B∴DC∴∠BCD=90°．19．【答案】解：a+=a=2a−5将a=2+12=2=22【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值【解析】【分析】首先根据平方差公式及单项式乘多项式法则进行整式的乘法运算，进而再合并同类项即可得出化简的结果；然后将a=220．【答案】解：连接BD，

∵点E、F分别是边AB、AD的中点，EF＝6，

∴EF∥BD，BD＝2EF＝12，

∴∠ADB＝∠AFE＝50°，

在△BDC中，BD2+C【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理【解析】【分析】连接BD，根据中位线定理可得出EF∥BD，BD＝2EF＝12，进而得出∠ADB＝21．【答案】（1）证明：∵AE∥BC，CE∥DA∴四边形ADCE是平行四边形，∵AB=AC，D是BC的中点．∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形（2）解：∵D是BC的中点．∴BD=CD=1∴AD=∵四边形ADCE是矩形∴CE=AD=8​​​​​​​【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；矩形的判定与性质；线段的中点；等腰三角形的性质-三线合一【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得四边形ADCE是平行四边形，根据等腰三角形三线合一性质可得∠ADC=90°，再根据矩形判定定理即可求出答案.

（2）根据线段中点你可得BD，根据勾股定理可得AD，再根据矩形性质即可求出答案.（1）证明：∵AE∥BC，CE∥DA∴四边形ADCE是平行四边形，∵AB=AC，D是BC的中点．∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形（2）∵D是BC的中点．∴BD=CD=1∴AD=∵四边形ADCE是矩形∴CE=AD=822．【答案】解：过点D作AD⊥BC于点D，设BD=x,则CD=14−x，在Rt△ABD与Rt△ACD中，∵A∴AB即13解得：x=5,∴AD∴AD=12(米)，∴学校修建这个花园的费用=30×1答：学校修建这个花园需要投资2520元．【知识点】三角形的面积；勾股定理【解析】【分析】过点D作AD⊥BC于点D，设BD=x,则CD=14−x,再根据勾股定理建立方程，解方程可得x=5，进而可得出AD的长，由三角形的面积公式即可求出答案.23．【答案】（1）证明：∵AO=OC，OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠2=∠ACB，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠ACB，

∴AB=CB，

∴四边形ABCD是菱形.（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

设OC=x，则OE=AO−AE=x−4，

在Rt△EBO中，根据勾股定理得，

BO2=BE2−OE2=(23)2−(x−4)2，

在Rt△BOC中，根据勾股定理得，

BO2【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定【解析】【分析】（1）先证出四边形ABCD是平行四边形，再结合AB=CB，即可证出四边形ABCD是菱形；

（2）设OC=x，则OE=AO−AE=x−4，利用勾股定理可得(2324．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=AB，∠CBA=90°，

∴∠CBF+∠GBA=90°，

∵AG⊥BE，CF⊥BE，

∴∠AGB=∠CFB=90°，即∠FBC+∠BCF=90°，

∴∠ABG=∠BCF，

∴△AGB≌△BFCAAS，

∴AG=BF（2）解：∵正方形边长为1，

∴CB=AB=1，AD∥BC，

∴CA=2，∠AEG=∠CBF，

∵点F为HB中点，CF⊥BE于点F，

∴HF=FB，∠CFB=∠CFH=90°，

∵CF=CF，

∴△CFB≌△CFHSAS，

∴CB=CH=1，∠CBF=∠CHF，

∴HA=2−1

∵∠AEG=∠CBF，∠AHG=∠CHF，

∴∠AEG=∠AHG，

∵AG⊥BE，

∴∠AGH=∠AGE=90°，

∵AG=AG，

∴△AEG≌△AHGSAS（3）证明：连接OG、OB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AO=BO，∠AOB=90°，

又∵∠BGA=90°，∠GHA=∠OHB，

∴∠FBO=∠GAO，又∵AG=BF，

∴△OBF≌△OAGSAS，

∴∠BOF=∠AOG，FO=GO，

∴∠GOF=∠AOG+∠HOF=∠BOF+∠HOF=∠AOB=90°，

∴△GOF为等腰直角三角形，

∴GF2=OG2+OF2=2OF2，∠OFG=45°，

∴GF=2OF；

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）【解析】【分析】（1）首先根据AAS可证得△AGB≌△BFC，进而即可得出AG=BF；

（2）首先根据勾股定理可得出CA=2，再通过证明△CFB≌△CFH，得出CB=CH=1，∠CBF=∠CHF，进而HA=2−1，然后再证明△AEG≌△AHG，得出AE=HA=2−1；

（3）首先证明△OBF≌△OAGSAS，可得出∠BOF=∠AOG，FO=GO，进而可得出△GOF为等腰直角三角形，得出GF=2（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB，∠CBA=90°，∴∠CBF+∠GBA=90°，∵AG⊥BE，CF⊥BE，∴∠AGB=∠CFB=90°，即∠FBC+∠BCF=90°，∴∠ABG=∠BCF，∴△AGB≌△BFCAAS∴AG=BF；（2）解：∵正方形边长为1，∴CB=AB=1，AD∥BC，∴CA=2，∠AEG=∠CBF∵点F为HB中点，CF⊥BE于点F，∴HF=FB，∠CFB=∠CFH=90°，∵CF=CF，∴△CFB≌△CFHSAS∴CB=CH=1，∠CBF=∠CHF，∴HA=∵∠AEG=∠CBF，∠AHG=∠CHF，∴∠AEG=∠AHG，∵AG⊥BE，∴∠AGH=∠AGE=90°，∵AG=AG，∴△AEG≌△AHGSAS∴AE=HA=2（3）证明：连接OG、OB，∵四边形ABCD是正方形，∴AO=BO，∠AOB=90°，又∵∠BGA=90°，∠GHA=∠