广西壮族自治区梧州市2025-2026学年度初中学业水平考试第一次模拟测试 数学（试题卷）

广西壮族自治区梧州市2025—2026学年度初中学业水平考试第一次模拟测试数学（试题卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．）1．2026的相反数是（）A．−2026 B．2026 C．±2026 D．12．据报道，南珠高铁西起广西南宁市，东终至广东珠海市，途经广西玉林、岑溪、广东云浮、珠海等地市，路线全长约为648千米，设计标准为双线，时速350千米．其中南宁至玉林段批复投资总额为286.5亿元．其中28650000000用科学记数法表示为（）A．2.865×1010 B．2.865×1011 C．3．如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是（）A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短C．两点确定一条直线 D．垂线段最短4．下列立体图形中，主视图、左视图、俯视图都是圆的是（）A．圆锥 B．圆柱 C．球体 D．三棱柱5．下列计算正确的是（）A．x2⋅x3=x6 B．6．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，若△ABC的周长是12，则△DEF的周长是（）A．3 B．6 C．12 D．247．已知一次函数y1=kx+b与y2=mx+n的图象如图所示，当x=6时，A．y1>y2 B．y18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接AD，OC．若∠A=28°，则tan56°=A．DEAE B．CEOE C．CEOC9．若关于x的方程mx−3A．−4 B．−3 C．3 D．410．如图，将一张三角形ABC纸片沿DE折叠，使点A与点B重合，再将纸片沿DF折叠，使点C落在边BD上的点G处，连接FG．若AB=AC，∠A=36°，则BGBFA．BCAB B．CDAC C．DEDF11．为庆祝广西“三月三”歌圩节，某文化广场举行民俗活动，此期间参加活动的人数逐天增加，设每天平均增长率为x，某数学兴趣小组根据人数变化规律列出方程，经过整理为x2+2x−0.44=0，若该方程的两个实数根为x1A．x1+x2=2C．x1+x2=212．下表给出了二次函数y=ax2+bx+ca≠0的自变量x与函数y的一些对应值，该函数的图象与x轴交于A、B，两点，点P为抛物线上一动点，连接PA、PB，若x…−2−1012…y…−50343…A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）13．写一个使二次根式x−1有意义的x的值．14．因式分解：x2−9=15．如图是一个闭合电路，其电源的电压为定值，电流I（单位：A）是电阻R（单位：Ω）的反比例函数，当R=3Ω时，I=4A．若电阻R为5Ω，则电流I为16．广西壮锦是国家级非物质文化遗产，纹样精美多样，包含正八边形、正方形等图案．如图，在⊙O的内接正八边形ABCDEFGH中，分别连接BG和DG．若DG=2+22，则AB长为三、解答题（本大题共7题，共72分．）17．计算、化简（1）计算：2（2）化简：a+1218．为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果按从高到低分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是______人；（2）图1中∠α的度数是______，并把图2条形统计图补充完整；（3）该县九年级有学生3000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计B级及以上的人数为______人；（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．（1）尺规作图：作∠ABC的平分线，交AC于点D．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）（2）证明：点D在线段AB的垂直平分线上．20．龟苓膏是广西梧州特产、国家地理标志产品，国家级非遗传统药膳，清热祛湿、滑嫩回甘．梧州某特产店有原味龟苓膏与红豆龟苓膏销售．已知1盒的原味龟苓膏和2盒的红豆龟苓膏共售125元；2盒的原味龟苓膏和3盒的红豆龟苓膏共售205元．（1）求每盒原味龟苓膏、红豆龟苓膏的售价；（2）该店计划用不超过3500元购进上述两种龟苓膏共100盒，其中原味龟苓膏每盒进价28元，红豆龟苓膏每盒进价38元．问至多能购进红豆龟苓膏多少盒？21．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AC为直径作⊙O，交BC于D，点E是AB中点，连接AD，DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC=3，AB=4，求BD的长．22．当商品供不应求时，价格会上涨，当商品供过于求时，价格会下降．根据市场调查，某种商品在每年四月份的市场需求量d（件）与单件利润x（元）之间的关系满足d=−2x+24，同时这种商品的市场供应量s（件）与单件利润x（元）的关系如图所示．（1）求出s关于x的一次函数关系式；（2）当这种商品在四月份的利润是多少时，在市场上达到供需平衡（供应量与需求量相等）？（3）在题中的这种供需关系下，求四月份这种商品的总利润y（元）与单件利润x（元）的函数关系式．23．特殊四边形是初中几何的核心内容，九年级某数学小组围绕“图形变化中的不变性质与最值规律”展开以下探究：（1）如图1，正方形ABCD的边长是4，点E为边BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE，交AB于点F，交AE于点H．求线段FH的长．（2）如图2，将正方形ABCD拉伸为矩形AB1C1D，其中AB1=6，AD=4，点E1为边B1C1上的一个动点，连接AE（3）如图3，将矩形AB1C1D拉伸为平行四边形AB2C2D，其中AB2=6，AD=4，∠DAB2=60°，点E2为边B2C2上的一个动点（

答案解析部分1．【答案】A【知识点】求有理数的相反数的方法【解析】【解答】解：2026的相反数为−2026，故选：A．【分析】根据相反数的定义即可求出答案.2．【答案】A【知识点】科学记数法表示大于10的数【解析】【解答】解：28650000000=2.865×1010．

故答案为：A。

【分析】要将一个数用科学记数法表示，需要写成a×10n的形式，这个形式需要满足两个要求：一是1≤a<10，二是3．【答案】A【知识点】三角形的稳定性【解析】【解答】解：由题意得，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是三角形具有稳定性．

故答案为：A

【分析】根据三角形的稳定性即可得出答案。4．【答案】C【知识点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解：A、圆锥的主视图、左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，不符合要求；B、圆柱的主视图、左视图是矩形，俯视图是圆，不符合要求；C、球体任意方向的视图都是圆，因此主视图、左视图、俯视图都是圆，符合要求；D、三棱柱的三视图不含圆，不符合要求．

故答案为：C.【分析】这道题考查的是常见立体图形的三视图相关知识，我们只需要依次判断每个选项里立体图形的三种视图，选出三个视图都是圆的选项就可以得出答案了。5．【答案】D【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算【解析】【解答】解：A：x2B：−xC：x2D：−x32=x6．【答案】B【知识点】三角形的中位线定理【解析】【解答】解：∵在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，

∴DE=12AC,DF=12BC,EF=12AB，

∵△ABC的周长=AB+BC+AC=12，

∴△DEF的周长=DE+DF+EF=127．【答案】A【知识点】一次函数与不等式（组）的关系【解析】【解答】解：由图象可得，当x=6时，y1>y2．

故答案为：A。

【分析】通过观察图像可以得到，两条直线交点的横坐标是−1，即可得出当x＞-1时，8．【答案】B【知识点】垂径定理；圆周角定理；正切的概念；圆周角定理的推论【解析】【解答】解：如图，连接OD，∵∠A=28°，BD=∴∠BOD=2∠A=56°，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE，∴tan故答案为：B．【分析】我们先连接OD，根据圆周角定理可以推出∠BOD=2∠A=56°；再依据垂径定理，可以得到CE=DE，最后结合正切的定义tan56°=9．【答案】D【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数【解析】【解答】解：∵分式方程的增根是使分式分母为0的根，原方程分母为x−3，令x−3=0，得增根为x=3，

给原方程两边同乘x−3去分母，得m+(x−3)=4，

把x=3代入整式方程，得m+(3−3)=4，

∴m=4.

故答案为：D。

【分析】我们先找出让分式分母等于0的增根，接着把原分式方程转化为整式方程，最后把得到的增根代入这个整式方程，就可以求出m的值了.10．【答案】A【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵三角形ABC纸片沿DE折叠，使点A与点B重合，∠A=36°，∴∠ABD=∠A=36°，

∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°，

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=180°−∠A2=72°，

∴∠GBF=∠ABC−ABD=72°−36°=36°，∠BDC=∠C=72°，

∴∠ABD=∠GBF=36°，BD=BC，

∵将纸片沿DF折叠，使点C落在边BD上的点G处，

∴∠DGF=∠C=72°，

∴∠GFC=360°−∠C−∠DGF−∠BDC=360°−72°−72°−72°=144°，

∴∠GFB=180°−∠GFC=36°，

∴∠GFB=∠A=36°，

∵∠ABD=∠GBF=36°，

∴△BFG∽△BAD，

∴BGBF=BDAB，

又∵BD=BC，

∴BGBF=BDAB=BCAB.

故答案为：A．

【分析】题目给出两个折叠操作：第一步是将三角形ABC沿DE折叠，折叠后点A和点B重合，同时已知∠A=36°。根据折叠的性质可以得到∠ABD=∠A=36°11．【答案】B【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题【解析】【解答】解：∵原方程为x2+2x−0.44=0移项得x2+2x=0.44，

配方得(x+1)2=1.44，

开平方得x+1=±1.2，

解得x1=0.2，x2=−2.2；

∴x1+12．【答案】C【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；二次函数的对称性及应用；二次函数-面积问题【解析】【解答】解：由图表可知抛物线y=ax2+bx+ca≠0过点0,3，1,4，2,3，∴对称轴为直线x=0+22=1，顶点1,4

∵抛物线经过点−1,0

∴抛物线经过点3,0

∴AB=3−−1=4

∵S△ABP=8

∴12×4×yP=8

∴yP=4

13．【答案】2（答案不唯一）【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式【解析】【解答】解：由题意得x−1≥0，∴x≥1，∴x的值可以是2，故答案为：2（答案不唯一）．【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.14．【答案】(x+3)(x-3)【知识点】因式分解﹣公式法【解析】【解答】x2-9=x2-32=(x+3)(x-3).故答案为(x+3)(x-3).【分析】运用平方差公式因式分解.15．【答案】2.4A【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：设I=U∵当R=3Ω时，I=4A∴U=IR=3×4=12V，∴I=∴电阻R为5Ω，则电流I=12R=125=2.4A．

故答案为：2.4A

【分析】设I=UR，首先根据当R=3Ω时，16．【答案】2【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形；解直角三角形；一元一次方程的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：如图，连接OD，OE，OF，过点E、F分别作DG的垂线，垂足为M、N，则MN=EF=AB，∵八边形ABCDEFGH是⊙O的内接正八边形，∴∠DOE=∠EOF=360∴∠NGF=1同理得∠MDE=45在Rt△MDE中，∠MDE=45°，设∴MD=2同理NG=2∴DG=2×2∵DG=2∴2解得x=2，∴AB=2．

故答案为：2.【分析】设DE的长度为x，我们通过作辅助垂线，构造出直角三角形，结合圆周角定理与直角三角形的锐角三角函数关系，就可以得到用x表示的线段MD与DG的代数式，再根据线段的等量关系列出方程，就可以计算出最终结果了．17．【答案】（1）解：2===4−3=1；（2）解：a+1==3a+1．【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；整式的混合运算；二次根式的乘除混合运算；实数的混合运算（含开方）【解析】【分析】（1）根据混合运算的顺序先算乘法，并化简二次根式，进而在进行加减运算即可；

（2）首先根据完全平方公式和单项式乘多项式法则进行整式的乘法运算，然后合并同类项即可。（1）解：2===4−3=1；（2）解：a+1==3a+1．18．【答案】（1）40（2）解：∠α的度数是54°；

C级人数为：40−6−17−8=14（人），

补全条形统计图如下：

（3）1350（4）解：根据题意列表如下：

EFGHE

E，FE，GE，HFF，E

F，GF，HGG，EG，F

G，HHH，EH，FH，G

由图表可知：共12种等可能的结果，其中选中小明的结果有6种，

∴选中小明的概率P=6【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量【解析】【解答】解：（1）12÷30%=40（人），所以，本次抽样测试的学生人数是40人；

故答案为：40；

（2）D级的占比为840×100%=20%，A级的占比为：1−20%−35%−30%=15%，

∴∠α=360°×15%=54°；

故答案为：54°；

（3）（1）解：12÷30%所以，本次抽样测试的学生人数是40人；（2）解：D级的占比为840A级的占比为：1−20%∴∠α=360°×15%C级人数为：40−6−17−8=14（人），补全条形统计图如下：（3）解：3000×12+6所以，B级及以上的人数为1350人；（4）解：根据题意列表如下：

EFGHE

E，FE，GE，HFF，E

F，GF，HGG，EG，F

G，HHH，EH，FH，G

由图表可知：共12种等可能的结果，其中选中小明的结果有6种，∴选中小明的概率P=619．【答案】（1）解：如图所示，射线BD即为所求；（2）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°

∴∠CBA=90°−∠A=60°

∵BD平分∠CBA

∴∠DBA=12∠CBA=30°

∴∠DBA=∠A

∴DB=DA，

∴【知识点】等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；直角三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线【解析】【分析】（1）依照角平分线的作图步骤完成作图即可；（2）通过计算可得出∠DBA=∠A=30°，进一步即可得出DB=DA，即可得出结论。（1）解：如图所示，射线BD即为所求；（2）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°∴∠CBA=90°−∠A=60°∵BD平分∠CBA∴∠DBA=∴∠DBA=∠A∴DB=DA，∴点D在线段AB的垂直平分线上20．【答案】（1）解：设原味龟苓膏每盒x元，红豆龟苓膏每盒y元，依题意得：x+2y=1252x+3y=205，解得：x=35答：每盒原味龟苓膏的售价是35元，每盒红豆龟苓膏的售价是45元；（2）解：设购进红豆龟苓膏a盒，依题意得：38a+28100−a≤3500，解得：答：至多能购进红豆龟苓膏70盒．【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）我们可以设每盒原味龟苓膏的售价为x元，每盒红豆龟苓膏的售价为y元，题目中给出两个条件：购买1盒原味龟苓膏和2盒红豆龟苓膏总共需要花费125元，购买2盒原味龟苓膏和3盒红豆龟苓膏总共需要花费205元，根据这两个等量关系就可以列出二元一次方程组，求解方程组就能得到两种龟苓膏的单价；（2）设购进红豆龟苓膏的数量为a盒，结合题目给出的总购进数量和成本限制，根据题意列出不等式，解不等式后就可以得到所求结果。（1）解：设原味龟苓膏每盒x元，红豆龟苓膏每盒y元，依题意得：x+2y=1252x+3y=205，解得：x=35答：每盒原味龟苓膏的售价是35元，每盒红豆龟苓膏的售价是45元；（2）解：设购进红豆龟苓膏a盒，依题意得：38a+28100−a≤3500，解得：答：至多能购进红豆龟苓膏70盒．21．【答案】（1）证明：连接OD．

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=∠ADB=90°，

∴△ADB为直角三角形，∵E是AB中点，

∴AE=BE=DE，

∴∠EAD=∠EDA．

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠OAD+∠EAD=∠ODA+∠EDA．

∵∠BAC=90°，

∴∠ODE=∠OAE=90°，

∴OD⊥DE．

∴DE是⊙O的切线．

（2）解：∵∠B=∠B，∠BDA=∠BAC=90°，∴△BDA∽△BAC，

∴BDAB=ABBC．

∵在Rt△ABC中，AC=3，AB=4，

∴BC=32+42【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论【解析】【分析】（1）连接OD。因为AB是圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADC=∠ADB=90°。又因为E是BC的中点，在Rt△ADB中，根据直角三角形斜边中线的性质，可得AE=BE=DE。根据等边对等角，可得∠EAD=∠EDA，又OA和OD都是圆O的半径，因此∠OAD=∠ODA。结合角的和差关系，可以推出∠ODE=∠OAE=90°，即OD⊥DE，即可证明DE是圆O的切线。（2）由AB是直径，可得∠ADB=∠BAC=90°，又∠B是△BDA和△BAC的公共角，因此可证明△BDA∽△BAC。根据相似三角形对应边成比例，可得BDAB=ABBC，在Rt△ABC中利用勾股定理求出（1）证明：连接OD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ADB=90°，∴△ADB为直角三角形，∵E是AB中点，∴AE=BE=DE，∴∠EAD=∠EDA．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠OAD+∠EAD=∠ODA+∠EDA．∵∠BAC=90°，∴∠ODE=∠OAE=90°，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠B=∠B，∠BDA=∠BAC=90°，∴△BDA∽△BAC，∴BDAB∵在Rt△ABC中，AC=3，AB=4，∴BC=3∴BD4∴BD=1622．【答案】（1）解：设s关于x的一次函数关系式为s=kx+b，根据题意，得k+b=42k+b=11解得：k=7b=−3所以s=7x−3．（2）解：根据题意，得：7x−3=−2x+24，解得：x=3．答：当这种商品的利润是3元时，在市场上达到供需平衡．（3）解：当x≤3时，s≤d，∴y=xs=x7x−3=7x2−3x．

当x>3时，s>d，

∴y=xd=x【知识点】一元一次方程的其他应用；分段函数；待定系数法求一次函数解析式；列二次函数关系式；一次函数的其他应用【解析】【分析】（1）设s关于x的一次函数关系式为s=kx+b，根据点（1，4）和点（2，11），可得出k+b=42k+b=11，解得k，b的值，即可得出s=7x−3（2）由d=−2x+24和s=7x−3，根据供应量与需求量相等，即可得出7x−3=−2x+24，解方程即可；（3）分x≤3和x>3两种不同情况，依据总利润等于单件利润乘以销售量的关系，列出对应的函数关系式即可。（1）解：设s关于x的一次函数关系式为s=kx+b，根据题意，得k+b=42k+b=11解得：k=7b=−3所以s=7x−3．（2）解：根据题意，得：7x−3=−2x+24，解得：x=3．答：当这种商品的利润是3元时，在市场上达到供需平衡．（3）解：当x≤3时，s≤d，∴y=xs=x7x−3当x>3时，s>d，∴y=xd=x−2x+24综上所述：y与x的函数关系式是y=723．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA=AB，∠ABE=∠DAF=90°．

∵∠BAE+∠AEB=90°，