2019-2020学年安徽省黄山市高二下期末理科数学试卷

黄山市2019-2020学年度第二学期期末质量检测高二（理科）数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.在复平面内，复数为虚数单位），则的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知函数的导函数为，若，则的大小关系不可能为（）A. B.C. D.3.下列说法正确的是（）①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精度越高；②在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大；③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量就增加个单位；④越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好.A.①②③ B.②③ C.①④ D.①③④4.利用反证法证明命题“若，则”，以下假设正确是（）A.、都不为 B.、不都为C.、都不为，且 D.、至少有一个为5.正弦函数在上的图像与轴所围成曲边梯形的面积为（）A B. C. D.6.袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是A. B.C. D.7.若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A.90 B.45 C.120 D.1808.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）A.30 B.36 C.60 D.729.求的值时，可采用如下方法：令，则，两边同时平方，得，解得（负值舍去），类比以上方法，可求得的值等于（）A. B.

C. D.10.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.则p0的值为()．(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.A.0.9544 B.0.6826C.0.9974 D.0.977211.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.12.已知数列满足，，则当时，下列判断一定正确的是（）A. B.C. D.第II卷（非选择题满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是，则在这段时间内吊灯能照明的概率是_______．14.已知随机变量，则当时，=_________．15.已知关于某设备的使用年限（单位：年）和所支出的维修费用（单位：万元）有如下的统计资料：234562.23.85.56.570由上表可得线性回归方程，若规定当维修费用时，该设备必须报废，据此模型预报该设备最多可使用_________年（取整数）.16.已知函数，若函数的图象与轴有且只有两个不同的交点，则实数的取值范围为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的:①;②;③.（1）已知∈(1.41，1.42)，∈(1.73，1.74)，∈(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围验证其正确性(注意不能近似计算)；（2）请将此规律推广至一般情形，并加以证明.18.某单位组织开展“学习强国”的学习活动，活动第一周甲、乙两个部门员工的学习情况统计如下：学习活跃的员工人数学习不活跃的员工人数甲1812乙328（1）根据表中数据判断能否有的把握认为员工学习是否活跃与部门有关；（2）活动第二周，单位为检查学习情况，从乙部门随机抽取2人，发现这两人学习都不活跃，能否认为乙部门第二周学习的活跃率比第一周降低了？说明理由.参考公式：，其中参考数据：，，.19.已知函数在处取得极值.（1）求和的值以及函数的极大值和极小值;（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程.20.为虚数单位，是虚数，是实数，且，.（1）求及的取值范围；（2）求的最小值.21.2019年10月，工信部颁发了国内首个无线电通信设备进网许可证，标志着基站设备将正式接入公用电信商用网络.某手机生产商拟升级设备生产手机，有两种方案可供选择，方案1：直接引进手机生产设备；方案2：对已有的手机生产设备进行技术改造，升级到手机生产设备.该生产商对未来手机销售市场行情及回报率进行大数据模拟，得到如下统计表：市场销售状态畅销平销滞销市场销售状态概率预期年利润数值（单位：亿元）方案17040-40方案26030-10（1）以预期年利润的期望值为依据，求的取值范围，讨论该生产商应该选择哪种方案进行设备升级？（2）设该生产商升级设备后生产手机年产量为万部，通过大数据模拟核算，选择方案1所生产的手机年度总成本（亿元），选择方案2所生产的手机年度总成为（亿元）.已知，当所生产的手机市场行情为畅销、平销和滞销时，每部手机销售单价分别为0.8万元，（万元），（万元），根据（1）的决策，求该生产商所生产的手机年利润期望的最大值？并判断这个年利润期望的最大值能否达到预期年利润数值.22.已知函数，其中（Ⅰ）若，讨论的单调性；（Ⅱ）若，当时，恒成立，求实数的取值范围．

黄山市2019-2020学年度第二学期期末质量检测高二（理科）数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.在复平面内，复数为虚数单位），则的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由题得，即得解.【详解】由题得，它对应的点为，所以的共轭复数对应的点位于第四象限.故选：D【点睛】本题主要考查共轭复数和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.已知函数的导函数为，若，则的大小关系不可能为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】根据函数求导，得到的单调性，然后再根据，利用函数的单调性定义求解.【详解】因为函数，所以，所以在是增函数，在上是减函数，当时，因为，所以，当时，因为，所以，故选：B【点睛】本题主要考查函数的导数的求法以及函数单调性定义的应用，还考查了分类讨论的思想，属于基础题.3.下列说法正确的是（）①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精度越高；②在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大；③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量就增加个单位；④越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好.A.①②③ B.②③ C.①④ D.①③④【答案】D【解析】【分析】根据残差图与回归直线的关系可判断命题①的正误；利用独立性检验的基本思想可判断命题②的正误；利用回归系数的概念可判断命题③的正误；利用相关指数与回归模型拟合效果的关系可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精度越高，命题①正确；对于命题②，在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量有关系”成立的可能性就越大，命题②错误；对于命题③，在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量就增加个单位，命题③正确；对于命题④，越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，命题④正确.故选：D.【点睛】本题考查回归分析中相关命题真假的判断，考查了残差图、独立性检验、回归直线以及相关指数，属于基础题.4.利用反证法证明命题“若，则”，以下假设正确的是（）A.、都不为 B.、不都为C.、都不为，且 D.、至少有一个为【答案】B【解析】【分析】将原命题的结论否定可得出结果.【详解】将命题“若，则”的结论否定可得出“或”，即、不都为.故选：B.【点睛】本题考查反证法的应用，属于基础题.5.正弦函数在上的图像与轴所围成曲边梯形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，得到曲边梯形的面积为，再根据定积分的运算法则，即可求解.【详解】根据定积分的定义，可得正弦函数在上的图像与轴所围成曲边梯形的面积为.故选：A.【点睛】本题主要考查了定积分在求曲线形面积的求解，其中解答中熟练定积分的运算法则是解答的关键，着重考查运算能力，属于基础题.6.袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是A. B.C. D.【答案】B【解析】用A表示甲摸到白球，B表示乙摸到白球，则，，∴.故选B7.若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A.90 B.45 C.120 D.180【答案】D【解析】试题分析：因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，故，展开式的通项公式为令，得，所以展开式中的常数项是，故选D．考点：1、二项式展开式的系数；2、二项展开式的通项公式．8.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）A.30 B.36 C.60 D.72【答案】C【解析】【分析】记事件位男生连着出场，事件女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为，再利用排列组合可求出答案．【详解】记事件位男生连着出场，即将位男生捆绑，与其他位女生形成个元素，所以，事件的排法种数为，记事件女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件的排法种数为，事件女生甲排在第一位，且位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将位男生与其他个女生形成三个元素，所以，事件的排法种数为种，因此，出场顺序的排法种数种，故选C．【点睛】本题考查排列组合综合问题，题中两个事件出现了重叠，可以利用容斥原理来等价处理，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题．9.求的值时，可采用如下方法：令，则，两边同时平方，得，解得（负值舍去），类比以上方法，可求得的值等于（）A. B.

C. D.【答案】B【解析】【分析】构造方程，通过解方程的方法求得的值.【详解】设，则，两边同时乘以得，根据已知条件可知（负值舍去）.故选：B【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题.10.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.则p0的值为()．(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.A.0.9544 B.0.6826C.0.9974 D.0.9772【答案】D【解析】由X～N(800,502)，知μ＝800，σ＝50，依题设，P(700<x≤900)＝0.9544，由正态分布的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)＝＋P(700<X≤900)＝0.9772.11.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先构造函数，利用导函数求出的解析式，即可求解不等式．【详解】令，则，可设，，所以解不等式，即，所以解得，所以不等式的解集为故选A【点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．12.已知数列满足，，则当时，下列判断一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据特殊值法，分别令，，即可判断ABD错误；再由数学归纳法证明C选项正确.【详解】因为数列满足，，若，则，不满足，故A错误；若，则，，，不满足，故D错误；又此时，不满足，故B错误；因为，所以，当且仅当，即时，等号成立；构造函数，，，所以，则在上显然恒成立，所以在上单调递增；因此在上单调递增，所以，猜想，对任意恒成立；下面用数学归纳法证明：（1）当时，，显然成立；（2）假设当时，不等式成立，即恒成立；则时，，因为函数在上单调递增；所以，即成立；由（1）（2）可得；，对任意恒成立；故C正确.故选：C.【点睛】本题主要考查数列递推式的应用，涉及数学归纳法证明不等式，属于常考题型.第II卷（非选择题满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是，则在这段时间内吊灯能照明的概率是_______．【答案】【解析】【分析】用减去三个灯泡都不能照明的概率，由此求得吊灯能照明的概率.【详解】依题意可知在某段时间内每个灯泡不能正常照明的概率都是，由于线路是并联电路，所以在这段时间内吊灯能照明的概率是.故答案为：【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算公式，属于基础题.14.已知随机变量，则当时，=_________．【答案】【解析】分析】根据，求得，之后应用得到结果.【详解】因为，所以，又因为，所以，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关离散型随机变量的方差问题，涉及到的知识点有二项分布的方差，以及方差的性质，属于基础题目.15.已知关于某设备的使用年限（单位：年）和所支出的维修费用（单位：万元）有如下的统计资料：234562.23.85.56.57.0由上表可得线性回归方程，若规定当维修费用时，该设备必须报废，据此模型预报该设备最多可使用_________年（取整数）.【答案】9【解析】【分析】利用样本中心点求得，再由求出结果.【详解】，所以，所以，由解得，所以该设备最多可使用年.故答案为：【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，属于基础题.16.已知函数，若函数的图象与轴有且只有两个不同的交点，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】利用导数求得在区间上的单调性和最值，对分成三种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.【详解】当时，，所以在区间上递减，最大值为，最小值为.当时，在区间上没有零点，在区间上递增，而，所以在区间上没有零点.所以不符合题意.当时，，所以在区间上有唯一零点，所以不符合题意.当时，在区间和区间上递减，要使的图象与轴有且只有两个不同的交点，则需，解得.综上所述，的取值范围是.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的:①;②;③.（1）已知∈(1.41，1.42)，∈(1.73，1.74)，∈(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围验证其正确性(注意不能近似计算)；（2）请将此规律推广至一般情形，并加以证明.【答案】（1）答案见解析；（2）若n∈N*，则，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用题目所给数据，验证正确性.（2）根据①②③，猜想若n∈N*，则，利用分析法证得不等式成立.【详解】（1）验证①式成立：∵<1.74，∴<2.74.∵>1.41，∴>2.82，∴.同理可验证②③正确.说明：若用分析法证明（不用近似计算），也认为是对的.（2）一般结论为:若n∈N*，则.证明如下：要证，只需证，即证，即证，只需证，即证0<1，显然成立，故.【点睛】本小题主要考查合情推理，考查不等式的证明方法（分析法），属于中档题.18.某单位组织开展“学习强国”的学习活动，活动第一周甲、乙两个部门员工的学习情况统计如下：学习活跃的员工人数学习不活跃的员工人数甲1812乙328（1）根据表中数据判断能否有的把握认为员工学习是否活跃与部门有关；（2）活动第二周，单位为检查学习情况，从乙部门随机抽取2人，发现这两人学习都不活跃，能否认为乙部门第二周学习的活跃率比第一周降低了？说明理由.参考公式：，其中.参考数据：，，.【答案】（1）没有的把握认为员工学习是否活跃与部门有关；（2）活跃率降低了，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用公式求得，由，得到结果；（2）设事件为“第二周从乙部门随机抽取2人，这两人学习都不活跃”，若第二周保持第一周的活跃情况，利用概率公式求得，利用小概率时间在一次试验当中不会发生得到结果.【详解】（1），因为，所以没有的把握认为员工学习是否活跃与部门有关；（2）设事件为“第二周从乙部门随机抽取2人，这两人学习都不活跃”，若第二周保持第一周的活跃情况，则，因为很小，所以事件一般不容易发生，现在发生了，则说明学习不活跃的人数增加了，即活跃率降低了.【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立性检验，小概率事件在一次试验当中不会发生，属于简单题目.19.已知函数在处取得极值.（1）求和的值以及函数的极大值和极小值;（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程.【答案】（1），极大值2，极小值-2；（2）.【解析】【分析】（1）利用是导函数的零点，结合根与系数关系求得的值，再求得的极大值和极小值.（2）设出切点坐标，根据斜率列方程，解方程求得，由此求得切线的斜率，进而求得切线方程.【详解】（1），由题意可知是方程的两根，所以，解得，，所以，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增，所以在处取得极大值，在处取得极小值.（2）易知点不在曲线上，设切点坐标为，即，对应的斜率为.则有，解得，所以切线的斜率为，切线的方程为.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数求解有关曲线切线的问题，属于中档题.20.为虚数单位，是虚数，是实数，且，.（1）求及的取值范围；（2）求的最小值.【答案】（1）；；（2）1.【解析】【分析】（1）化简得到，利用是实数，得到，解得，得到，从而求得，进而求得，根据，得到；（2）各年级题意可知，进一步转化，利用基本不等式求得其最值.【详解】（1），因为是实数，所以，又，所以，所以因为，且，所以.（2）由题意知，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为1.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的分类，复数的乘法除法运算，基本不等式求最值，属于简单题目.21.2019年10月，工信部颁发了国内首个无线电通信设备进网许可证，标志着基站设备将正式接入公用电信商用网络.某手机生产商拟升级设备生产手机，有两种方案可供选择，方案1：直接引进手机生产设备；方案2：对已有的手机生产设备进行技术改造，升级到手机生产设备.该生产商对未来手机销售市场行情及回报率进行大数据模拟，得到如下统计表：市场销售状态畅销平销滞销市场销售状态概率预期年利润数值（单位：亿元）方案17040-40方案26030-10（1）以预期年利润的期望值为依据，求的取值范围，讨论该生产商应该选择哪种方案进行设备升级？（2）设该生产商升级设备后生产的手机年产量为万部，通过大数据模拟核算，选择方案1所生产的手机年度总成本（亿元），选择方案2所生产的手机年度总成为（亿元）.已知，当所生产的手机市场行情为畅销、平销和滞销时，每部手机销售单价分别为0.8万元，（万元），（万元），根据（1）的决策，求该生产商所生产的手机年利润期望的最大值？并判断这个年利润期望的最大值能否达到预期年利润数值.【答案】（1）；选择方案见解析（