2019-2020学年北京市大兴区高一下期末数学试卷

2019-2020学年北京市大兴区高一下期末数学试卷（2020·北京大兴区·期末）复数1+i2= A．0 B．2 C．2i D．1−（2020·北京大兴区·期末）在平行四边形ABCD中，AB+AD等于 A．AC B．CA C．BD D．DB（2020·北京大兴区·期末）某中学高一年级有280人，高二年级有320人，高三年级有400人，为了解学校高中学生视力情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，则高一年级应抽取的人数为   A．14 B．16 C．28 D．40（2020·北京大兴区·期末）若单位向量a，b的夹角为π3，则a⋅b A．2 B．12 C．32 D．（2020·北京大兴区·期末）若a和b是异面直线，a和c是平行直线，则b和c的位置关系是   A．平行 B．异面 C．异面或相交 D．相交、平行或异面（2020·北京大兴区·期末）甲、乙、丙、丁四组人数分布如图所示，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为   A．150 B．250 C．300 D．400（2020·北京大兴区·期末）已知复数z满足z−1i=1+i，则z=   A．−2−i B．−2+i C．2−i （2020·北京大兴区·期末）若长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是3，2，1，则这个球面的面积为   A．9π B．12π C．14π （2020·北京大兴区·期末）设a,b为非零向量，则“a+b=a+ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件（2020·北京大兴区·期末）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC=5，BC=6，点P在线段AC上运动，则PB+PC的取值范围是 A．3,4 B．125,6 C．6,8 D．（2020·北京大兴区·期末）设复数z=1+i，则z的模z=（2020·北京大兴区·期末）数据19，20，21，23，25，26，27，则这组数据的方差是．（2020·北京大兴区·期末）三棱锥的三条侧棱两两垂直，长分别为1，2，3，则这个三棱锥的体积为．（2020·北京大兴区·期末）已知a=1,2，b=2,y，a+（2020·北京大兴区·期末）在△ABC中，b=10，A=π①若a=5，则角B的大小为；②若角B有两个解，则a的取值范围是．（2020·北京大兴区·期末）已知复数z=m2−m(1)若m=2，求z⋅z(2)若点Z在直线y=x上，求m的值．（2020·北京大兴区·期末）已知三个点A2,1，B3,2，(1)求证：AB⊥AD；(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值．（2020·北京大兴区·期末）为了解某小区7月用电量情况，通过抽样，获得了100户居民7月用电量（单位：度），将数据按照50,100，100,150，⋯，300,350分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中x的值；(2)已知该小区有1000户居民，估计该小区7月用电量不低于200度的户数，并说明理由；(3)估计该小区85%的居民7月用电量的值，并说明理由．（2020·北京大兴区·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，且(1)求BD的长；(2)求sin∠BDC（2020·北京大兴区·期末）如图所示，在正方体ABCD−A1B(1)求证：BD⊥A(2)求证：平面BD(3)用一张正方形的纸把正方体ABCD−A（2020·北京大兴区·期末）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，BC∥平面PAD，BC=12(1)求证：BC∥(2)求证：CE∥(3)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥

答案1.【答案】A【解析】因为i2所以1+i故选：A．【知识点】复数的乘除运算2.【答案】A【解析】因为ABCD为平行四边形，故AB+【知识点】平面向量的加减法及其几何意义3.【答案】A【解析】该中学高中学生总人数为280+320+400=1000，设高一年级所抽取的学生人数为n，由题意可得n280解得n=14．故选：A．【知识点】分层抽样4.【答案】B【解析】单位向量a，b的夹角为π3a⋅【知识点】平面向量的数量积与垂直5.【答案】C【解析】考虑正方体ABCD−AʹBʹCʹDʹ中，直线AB看做直线a，直线BʹCʹ看做直线b，即直线a和直线b是异面直线，若直线CD看做直线c，可得a，c平行，则b，c异面；若直线AʹBʹ看做直线c，可得a，c平行，则b，c相交．若b，c平行，由a，c平行，可得a，b平行，这与a，b异面矛盾，故b，c不平行．故选：C．【知识点】直线与直线的位置关系6.【答案】B【解析】因为甲组人数为120人，占总人数的百分比为30%，所以总人数为120÷30%=400人，因为丙、丁两组人数和占总人数的百分比为1−30%−7.5%=62.5%，所以丙、丁两组人数和为400×62.5%=250人．【知识点】频率分布直方图7.【答案】C【解析】所以z−1i=1+i，所以z=【知识点】复数的乘除运算8.【答案】C【解析】长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是3，2，1，所以长方体的外接球的直径为长方体的对角线：32所以外接球的半径为：142则这个球面的面积为：4×14故选：C．【知识点】球的表面积与体积9.【答案】A【解析】若a+b=a+当a与b共线，方向相反时，a+【知识点】充分条件与必要条件、平面向量的数乘及其几何意义10.【答案】D【解析】以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，如图：可得B−3,0，C由∣AC∣=5，可得A0,4直线AC的方程为x3+y可设Pm,n0≤n≤4，即有PB+当n=3625∈0,4，可得当n=4时，可得PB+PC的最大值则PB+PC的取值范围是故选：D．【知识点】平面向量数量积的坐标运算11.【答案】2【解析】因为复数z=1+i，则z模z【知识点】复数的代数形式12.【答案】587【解析】根据题意，数据19，20，21，23，25，26，27，其平均数=19+20+21+23+25+26+27则其方差为s2【知识点】样本数据的数字特征13.【答案】1【解析】不妨设PA=1，PB=2，PC=3，且PA，PB，PC两两互相垂直，所以S△PAB又PC⊥PA，PC⊥PB，PA,PB⊂平面PAB，所以PC⊥平面所以VP−ABC【知识点】棱锥的表面积与体积14.【答案】−1【解析】a+b=因为a+所以9+y+22=1+【知识点】平面向量和与差的坐标运算15.【答案】π2；(5,10)【解析】①由正弦定理asinA=因为0<B<π，所以B=②在△ABC中，b=10，A=π若使得角B有两个解，则bsinA<a<b，即【知识点】正弦定理16.【答案】(1)因为m=2，所以z=2+5i所以z⋅z(2)若点Z在直线y=x上，则m2即m2−2m−3=0，解得m=−1或【知识点】复数的几何意义17.【答案】(1)由题知，AB=1,1，所以AB⋅所以AB⊥AD，所以(2)设点C的坐标为Cx,y则根据四边形ABCD为矩形得AB=DC，即：所以x+1=1,y−4=1,解得x=0，y=5，所以C所以AC=−2,4，所以cosAC矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值为45【知识点】平面向量数量积的坐标运算、平面向量的数量积与垂直18.【答案】(1)由频率分布直方图可得：0.0024+0.0036+0.006+x+0.0024+0.0012×50=1解得：x=0.0044．(2)由频率分布直方图可得，100户居民7月用电量不低于200度的频率为0.0044+0.0024+0.0012×50=0.4由此可以估计该小区有1000户居民7月用电量不低于200度的户数为1000×0.4=400．(3)由频率分布直方图可得，7月用电量低于250度的频率为0.0024+0.0036+0.006+0.0044×50=0.827月用电量低于300度的频率为0.82+0.0024×50=0.94，所以85%分位数a一定位于区间250,300内，由题意可得0.82+a−250×0.0024=0.85，解得由此估计该小区85%的居民7月用电量约为262.5度．【知识点】频率分布直方图19.【答案】(1)在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=4，则AC=3所以cos∠C=由AD=4DC，则AD=4，DC=1，在△BCD中，BD所以BD=4(2)由sin∠C=45，BD=在△BCD中，BDsin即410解得sin∠BDC=【知识点】正弦定理、余弦定理20.【答案】(1)连接AC，因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为AA1⊥所以BD⊥AA因为AA1,AC⊂所以BD⊥平面又A1所以BD⊥A(2)因为侧面BCC所以BC因为A1B1所以A1因为A1B1所以BC又BC所以平面BD(3)把5个边长为1的正方形组成十字形，并在四端加上四个斜边为1的等腰直角三角形，就可以包住此正方体，如图所示：这个形状可以用边长为22的正方形来覆盖，则所需纸的最小面积为8【知识点】棱柱的展开图、平面与平面垂直关系的判定、直线与平面垂直关系的性质21.【答案】(1)在四棱锥P−ABCD中，BC∥平面PAD平面ABCD∩所以BC∥(2)取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF∥AD，又