2019-2020学年海南省高三年级第二次模拟考试数学试题

第页，共页海南省2019-2020学年高三年级第二次模拟考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1.已知集合，则（

）A． B．C．或 D．或2.在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.的展开式中的系数为A． B． C．64 D．-1284.已知向量，，且，则（

）A．-4 B．1 C．4 D．75.设，则（

）A．2 B．4 C．8 D．-2或46.为了丰富教职工业余文化生活，某校计划在假期组织全体老师外出旅游，并给出了两个方案(方案一和方案二)，每位老师均选择且只选择一种方案，其中有50%的男老师选择方案一，有75%的女老师选择方案二，且选择方案一的老师中女老师占40%，那么该校全体老师中女老师的比例为（

）A． B． C． D．7.用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．8.古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示.若实数满足，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题）9.如图所示的统计图记录了2015年到2019年我国发明专利授权数和基础研究经费支出的情况，下列叙述正确的是（

）A．这五年发明专利授权数的年增长率保持不变B．这五年基础研究经费支出比发明专利授权数的涨幅更大C．这五年的发明专利授权数与基础研究经费支出成负相关D．这五年基础研究经费支出与年份线性相关10.下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．11.已知双曲线的离心率为，则（

）A．的焦点在轴上 B．的虚轴长为2C．直线与相交的弦长为1 D．的渐近线方程为12.已知函数，则（

）A．是奇函数 B．是周期函数且最小正周期为C．的值域是 D．当时三、填空题（本大题共4小题）13.已知等比数列满足，则.14.函数的零点个数为.15.已知抛物线的焦点为，点，在上，满足，且，点是抛物线的准线上任意一点，则的面积为.16.如图，位于山西省朔州市应县佛宫寺内的释迦塔，俗称应县木塔，是我国现存最高最古老的木结构塔式建筑，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为，则该正八棱锥的高和底面边长之比为.(参考数据：)四、解答题（本大题共6小题）17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出其面积；若不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角，，所对的边分别为，，，且，，？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.已知公比大于0的等比数列的前项和为，，是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.19.甲､乙两人进行投篮比赛，要求他们站在球场上的，两点处投篮，已知甲在，两点的命中率均为，乙在点的命中率为，在点的命中率为，且他们每次投篮互不影响.（1）若甲投篮4次，求他至多命中3次的概率；（2）若甲和乙每人在，两点各投篮一次，且在点命中计2分，在点命中计1分，未命中则计0分，设甲的得分为，乙的得分为，写出和的分布列，若，求的值.20.如图所示，四棱柱的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点，分别在棱，上，且满足，，平面与平面的交线为.（1）证明：直线平面；（2）已知，，设与平面所成的角为，求的取值范围.21.已知函数，.（1）若，求的极值；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.22.已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点(与轴不重合)，，的周长分别为12和8.（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在一点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案1.【答案】A【详解】根据函数补集的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】因为集合或，所以.故选：A2.【答案】D【详解】根据复数的除法运算，化简得到，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数的运算法则，可得，对应的点位于第四象限.故选：D.3.【答案】D【详解】先求得展开式的通项公式，再令x的次数为3求解.【详解】展开式的通项公式为，令，则，所以的展开式中的系数为.故选：D4.【答案】C【详解】先根据，求得m，再利用平面向量的数量积运算求解.【详解】因为，所以，所以.故选：C5.【答案】B【详解】直接利用对数的换底公式求解.【详解】条件中的等式左边，所以，解得或(舍去).故选：B6.【答案】B【详解】设该校男老师的人数为，女老师的人数为，根据题意分别求出男女教师选择方案一和二的人数，再结合方案一的老师中女老师占40%，求出，进而得出全体老师中女老师的比例.【详解】设该校男老师的人数为，女老师的人数为，则可得如下表格：方案一方案二男老师女老师由题意，，可得，所以.故选：B7.【答案】C【详解】根据球与圆锥的结构特征，结合体积与表面积的计算公式进行求解即可.【详解】设球的半径为，圆锥的底面半径为，因为球心到截面的距离为1，所以有：，则题中圆锥体积，解得，故球的表面积为.故选：C8.【答案】A【详解】利用二倍角公式可求三角函数的值．【详解】根据题中的条件可得.故选：A．9.【答案】BD【详解】直接利用统计图中的条形图和折线图的数据判断.【详解】由条形图可看出发明专利授权数每年的涨幅不一致，故A错误；2019年的发明专利授权数约450千项，2015年的约为360千项，涨幅约为25%，2019年的基础研究经费支出约为1200亿元，2015年的约为700亿元，涨幅约为71%，故B正确；这五年的发明专利授权数与基础研究经费支出都是逐年增加，因此两者是正相关，故C错误；由折线图可以看出基础研究经费支出与年份有较强的线性相关性，故D正确.故选：BD10.【答案】AD【详解】利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性.【详解】A，因为，是偶函数，在区间上为增函数，符合题意；B，因为，是奇函数，且在区间上为减函数，不符合题意；C，因为，是偶函数，当时，单调递减，不符合题意；D，因为，是偶函数，且在区间上为增函数，符合题意.故选：AD11.【答案】BC【详解】由双曲线的方程可判断A；由的离心率求得解得可判断B；把代入双曲线的方程求得可判断C；由B选项得且，且焦点在x轴上可判断D.【详解】由可知双曲线的焦点在轴上，A错误；的离心率，解得，的虚轴长为，故B正确；由B选项知，把代入双曲线的方程得，故弦长为1，C正确；由B选项知且，且焦点在x轴上，双曲线的渐近线方程为，故D错误.故选：BC.12.【答案】ABD【详解】A.按照奇函数的定义判断即可；B.分别求出两部分的周期，再求出最小公倍数即周期；C.分析与不可能同时取得，故C错；D.将计算，整理可得出结论.【详解】A.，故是奇函数，故A正确；B.因为的最小正周期是，的最小正周期为，二者的“最小公倍数”是，故是的最小正周期，故B正确；C.分析的最大值，因为，，所以，等号成立的条件是和同时成立，而当即时，，故C错误；D.展开整理可得，易知当时，，故D正确.故选：ABD13.【答案】4【详解】直接利用等比数列的性质求解.【详解】因为，所以，解得.所以.故答案为：414.【答案】1【详解】根据函数零点的定义，结合导数进行判断即可,.【详解】因为，所以单调递增，又因为，所以有且仅有1个零点.故答案为：115.【答案】16【详解】设抛物线（），因为，所以是线段的中点，易得与轴垂直，继而可得，求出p的值，再由，点到的距离为计算的面积即可.【详解】不妨设抛物线（），因为，所以，所以是线段的中点，则与轴垂直，所以，所以，，点到的距离为，所以.故答案为：16.16.【答案】【详解】设底面边长为a，根据正八棱锥底边所对的圆心角为，求得圆心到底边的距离，再由侧面与底面成求解.【详解】如图所示:点是正八棱锥的顶点，点是底面的中心，是底面的一条边，是的中点,根据题意知，因为，设，则，又因为二面角的大小为，即，所以，即正八棱锥的高和底面边长之比为.故答案为：17.【答案】答案见解析【详解】选择条件①：由余弦定理可求出角，再根据条件可求出，即得面积；选择条件②：由正弦定理可求出角，进而求出，即得面积；选择条件③：先由二倍角公式化简可得，进而由余弦定理得出，求得可判定三角形不存在.【详解】选择条件①：由余弦定理得，因为，所以.结合，，可得，所以，，因此.选择条件②：由正弦定理得，所以，又，所以，所以.由，解得，，所以.选择条件③：因为，又，所以，因此.由余弦定理可得，得，从而，显然不成立，因此，不存在满足条件的.18.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）设数列的公比为，依题意得到方程，求出，从而求出数列的通项公式；（2）由（1）可得的通项公式，再利用错位相减法求和即可；【详解】解：（1）设数列的公比为.由题意知，即，化简得，因为，所以.所以.（2）由（1）可知.所以，①，②由，可得，所以.19.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，.【详解】（1）根据相互独立事件的概率计算“甲4次全部命中”的概率，用1减去“甲4次全部命中”的概率即可得出答案；（2）由题意得的可能取值均为0，1，2，3，依据题意算出其概率，列出其分布列分布列，根据数学期望公式算出，由建立方程解出.【详解】解：（1）“甲至多命中3次”的对立事件为“甲4次全部命中”，所以甲至多命中3次的概率为.（2），的可能取值均为0，1，2，3.的分布列为0123所以.的分布列为0123.由，解得.20.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）连接，与交于点，根据题中条件，由线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，得到是平面的一个法向量，再得到，根据向量夹角公式，即可求出线面角的正弦值.【详解】（1）如图，连接，与交于点.由条件可知，且，所以，因为平面，所以平面.因为平面平面，所以.因为四棱柱的底面是菱形，且侧棱垂直于底面，所以，，又，所以平面，所以平面.（2）如图所示，以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向建立空间直角坐标系.设，因为，所以.则，.所以，，.由（1）可知是平面的一个法向量，而，所以，当时，，即.21.【答案】（1）极小值为，没有极大值；（2）.【详解】（1）当时，求得函数的导数，根据导数的符号，求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解；（2）根据题意，转化为，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）若，则，定义域为，可得.令，解得，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增.所以的极小值为，没有极大值.（2）由，即，因为当时，有(等号不同时成立)，即，所以原不等式又等价于，要使得对任意，都有成立，即，令，，则，当时，，可得，所以