2019-2020学年山东日照市五莲县第高考模拟数学试卷

2020年高考数学（3月份）模拟测试试卷一、选择题（共8小题）1.集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（）A.1 B.0 C.－ D.－13.设为等差数列，p，q，k，l为正整数，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知，，，则（）．A. B. C. D.5.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级.现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分个（为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是（）A. B. C. D.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（）A. B. C. D.7.已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线为双曲线的一条渐近线，关于直线的对称点在以为圆心，以半焦距为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.38.已知为等边三角形，动点在以为直径的圆上，若，则的最大值为（）A. B. C. D.二、多项选择题（共4小题）9.已知，则（）A. B.C. D.10.如图，已知矩形中，，为边中点，将沿直线翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A.线段的长是定值B.存在某个位置，使C.点的运动轨迹是一个圆D.存在某个位置，使平面11.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是（）A.曲线经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）B.曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2C.曲线围成区域的面积大于D.方程表示的曲线在第一象限和第三象限12.已知函数满足，且上有最小值，无最大值.则（）A. B.若，则C.的最小正周期为3 D.在上的零点个数最少为1346个三、填空题13.为做好社区新冠疫情防控工作，需将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有_______种.（用数字作答）14.已知函数，在区间上任取三个数，，，均存在以，，为边长的三角形，则的取值范围是_______.15.设抛物线的焦点为，准线为1，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，若，则_________，三角形的面积为________.16.在三棱锥中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，，与底面所成的角的正弦值为，则三棱锥的外接球的体积为_______.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在中，，角平分线交于点，设，其中．（1）求；（2）若，求的长．18.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.已知：数列的前项和为，且，______.（1）求数列的通项公式；（2）对大于1的自然数，是否存在大于2的自然数，使得，，成等比数列.若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.19.如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）.（Ⅰ）证明：平面平面垂直；（Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.20.沙漠蝗虫灾害年年有，今年灾害特别大.为防范罕见暴发的蝗群迁飞入境，我国决定建立起多道防线，从源头上控制沙漠蝗群.经研究，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.，，，，，（其中，）.（1）根据散点图判断，与（其中…自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为.①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率.②当取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为，求的数学期望和方差.附：线性回归方程系数公式，.21.已知圆,定点,为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆，设动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程（2）过点的直线与交于两点，已知点，直线分别与直线交于两点，线段的中点是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.22.已知函数，其中.（1）求证：当时，无极值点；（2）若函数，是否存在，使得在处取得极小值？并说明理由.

2020年高考数学（3月份）模拟测试试卷一、选择题（共8小题）1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求解不等式化简集合、，然后直接利用交集运算得答案．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴.故选:A.点睛】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法．2.若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（）A.1 B.0 C.－ D.－1【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.【详解】设z＝bi，b∈R且b≠0，则＝bi，得到1＋i＝－ab＋bi，∴1＝－ab，且1＝b，解得a＝－1.故选：D.【点睛】本题考查复数的运算和纯虚数的概念.3.设为等差数列，p，q，k，l为正整数，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据不等式，得到等差数列公差正负性和p，q，k，l之间的关系，结合充分性、必要性的定义选出正确答案即可.【详解】设等差数列的公差为，或，显然由不一定能推出，由也不一定能推出，因此是的既不充分也不必要条件，故本题选D.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了充要条件的判断.4.已知，，，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为所以选C．考点：比较大小5.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级.现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分个（为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据等差数列列关于m以及首项的不定方程，根据正整数解确定m可能取法，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：设首项为，因为和为80，所以因为，所以因此“公”恰好分得30个橘子的概率是，选B.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】要求的值，需将角用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有，正五边形内角，，已知三角函数值有，所以，从而．【详解】由题可知，且，，则.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.7.已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线为双曲线的一条渐近线，关于直线的对称点在以为圆心，以半焦距为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根据对称性可得，可得，，渐近线的倾斜角为，即可得，即可求离心率．【详解】解：如图，根据对称性可得，∴，，所以渐近线的倾斜角为60°，，则双曲线的离心率为.故选:C.【点睛】本题考查了双曲线的性质、离心率，考查转化能力．8.已知为等边三角形，动点在以为直径的圆上，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设等边的边长为2，以边的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，通过向量的坐标运算，将、用表示出来，然后利用辅助角公可求出的最大值【详解】解：设的边长为2，不妨以线段的中点为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、，以线段直径的圆的方程为，设点，则，，，由于，则，解得，所以，，因此，的最大值为，故选:C.【点睛】本题考查平面向量的基本定理，涉及圆的参数方程、辅助角公式，关键在于引入合适的变量来表示问题涉及的参数．二、多项选择题（共4小题）9.已知，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据不等式的性质，逐一判断即可．【详解】解：，A错误，比如，，不成立；B，成立；C，由，故C成立，D，，故D不成立，故选:BC.【点睛】本题考查不等式比较大小，常利用了作差法，因式分解法等．10.如图，已知矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A.线段的长是定值B.存在某个位置，使C.点的运动轨迹是一个圆D.存在某个位置，使平面【答案】AC【解析】【分析】取中点，连接，，根据面面平行的判定定理可得平面平面，由面面平行的性质定理可知平面，可判断；在中，利用余弦定理可求得为定值，可判断和；假设，由线面垂直的判定定理可得平面，由线面垂直的性质定理可知，与矛盾，可判断．【详解】解：取的中点，连接，，∵，分别为、中点，∴，∵平面，平面，∴平面，∵且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面，又，、平面，∴平面平面，∵平面，∴平面，即D错误，设，则，，，∴，即为定值，所以A正确，∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即C正确，∵，，∴，∴，设，∵、平面，，∴平面，∵平面，∴，与矛盾，所以假设不成立，即B错误.故选:AC.【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题，涉及到线段长度的求解、直线与平面位置关系的判定、点的轨迹的求解、反证法的应用等知识点，考查学生的空间立体感和推理论证能力．11.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是（）A.曲线经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）B.曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2C.曲线围成区域的面积大于D.方程表示的曲线在第一象限和第三象限【答案】BD【解析】【分析】先确定曲线经过点，再将，的整点，和逐一代入曲线的方程进行检验即可判断；利用基本不等式即可判断；将以为圆心、2为半径的圆的面积与曲线围成区域的面积进行比较即可判断；因为，所以与同号，仅限与第一和三象限，从而判断．【详解】解：把，代入曲线，可知等号两边成立，所以曲线在第一象限过点，由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点，对于A选项，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把，和代入曲线的方程验证可知，等号不成立，所以曲线在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线只经过整点，即A错误；对于B选项，因为，所以，所以，所以，即B正确；对于C选项，以为圆点，2为半径的圆的面积为，显然曲线围成的区域的面积小于圆的面积，即C错误；对于D选项，因为，所以与同号，仅限与第一和三象限，即D正确.故选:BD.【点睛】本题考查曲线的轨迹方程，涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的面积等知识点，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识和方法的能力．12.已知函数满足，且在上有最小值，无最大值.则（）A. B.若，则C.的最小正周期为3 D.在上的零点个数最少为1346个【答案】AC【解析】【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断；根据已知三角函数值求角的方法，可得，，两式相减可求出，进而求得周期，从而可判断和选项；因为，所以函数在区间上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取，进而可判断．【详解】解：由题意得，在的区间中点处取得最小值，即，所以A正确；因为，且在上有最小值，无最大值，所以不妨令，，两式相减得，，所以，即B错误，C正确；因为，所以函数在区间上的长度恰好为673个周期，当，即时，在区间上的零点个数至少为个，即D错误.故选:AC.【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．三、填空题13.为做好社区新冠疫情防控工作，需将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有_______种.（用数字作答）【答案】660【解析】【分析】根据题意，分析可得甲、乙、丙、丁四个小区分配人数依次为3，1，1，1或2，2，1，1，据此分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，则甲、乙、丙、丁四个小区分配人数依次为：3，1，1，1或2，2，1，1，若甲小区分3人，甲小区有种情况，剩下的3个小区有种情况，此时有种分配方法，若甲小区分2人，甲小区有种情况，剩下的3个小区有种情况，此时有种分配方法，则有种不同的分配方法；故答案为：660.【点睛】本题考查排列组合的简单应用，涉及分步乘法和分类加法计数原理的应用．14.已知函数，在区间上任取三个数，，，均存在以，，为边长的三角形，则的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】由三角形中两短边之和大于第三边可知，原问题等价于函数在上的最小值的两倍大于最大值，由此利用导数求出最小值及最大值，进而建立不等式解出即可．【详解】解：由，得，，令，解得，易知函数在上单调递增，在上单调递减，故，，依题意，，且，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值，同时还涉及了三角形中三边的关系，考查转化思想及运算能力．15.设抛物线的焦点为，准线为1，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，若，则_________，三角形的面积为________.【答案】(1).2(2).5【解析】【分析】通过抛物线的焦点坐标，即可求解，利用抛物线的定义，结合，求出直线的斜率值，写出直线的方程，利用直线与抛物线方程联立求得的值，求解的面积．【详解】解：抛物线的焦点为，所以，所以；如图所示，过点作，交直线于点，由抛物线的定义知，，且，所以，，所以，，可知：，所以直线的斜率为，设直线的方程为，点，，由，消去整理得，所以，所以，所以；所以的面积为，故答案为：2；5.【点睛】本题考查抛物线的方程与性质的应用问题，涉及联立方程组、韦达定理、焦点弦和三角形面积的计算问题．16.在三棱锥中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，，与底面所成的角的正弦值为，则三棱锥的外接球的体积为_______.【答案】或【解析】【分析】如图所示，取的中点，连接，，由，，利用等腰三角形的性质，线面垂直的判定定理即可得出：平面，进而得出：平面平面，可得为与底面所成的角，其正弦值为．在中，设，利用余弦定理可得：，讨论当时，作平面，求得，根据三棱锥和外接球的性质，列式求出外接球的半径，即可求出外接球的体积；当时，取的中点，连接，利用余弦定理可得，可得点为三棱锥的外接球的球心，即可得出外接球的体积．详解】解：如图所示，取的中点，连接，.∵，，∴，，∴平面，又平面，∴平面平面，∴或的补角为与底面所成的角，其正弦值为，，，在中，设，由余弦定理可得：，解得：或，即或，当时，如下图所示，设中边上的高为，由于平面平面，则平面，则，解得：，所以，得，设底面圆的半径为，所以，设球心到底面外接圆圆心的距离为，球的半径为，则有：，即：，解得：，又因为，即：，所以外接球的体积为：.当时，取的中点，连接，则，解得，∴，∴，可得点为三棱锥的外接球的球心，其外接球的半径，外体积.综上得：三棱锥的外接球的体积为：或.故答案为：或.点睛】本题考查等腰三角形的性质、球的体积计算公式、余弦定理、线面、面面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在中，，角的平分线交于点，设，其中．（1）求；（2）若，求的长．【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）根据求出和的值，利用角平分线和二倍角公式求出，即可求出；（2）根据正弦定理求出，的关系，利用向量的夹角公式求出，可得，正弦定理可得答案【详解】解：（1）由，且，，，，则；（2）由正弦定理，得，即，，又，，由上两式解得，又由，得，解得【点睛】本题考查了二倍角公式和正弦定理的灵活运用和计算能力，是中档题．18.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.已知：数列的前项和为，且，______.（1）求数列的通项公式；（2）对大于1的自然数，是否存在大于2的自然数，使得，，成等比数列.若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）若条件①成立，由题意可发现数列是以1为首项，3为公差的等差数列，计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式；若条件②成立，通过递推关系得出是首项为1，公差为3的等差数列，即可求出通项公式；若条件③成立，通过和的关系即可求出的通项公式；（2）先假设存在大于2的自然数，使得，，成等比数列，根据等比中项的性质有，分三种情况讨论3个条件分别成立时，然后代入和，得出关于的表达式，用表示，通过数列的单调性和二次函数的性质，判断可得的最小值．【详解】解：若条件①成立，（1），，故数列是以1为首项，3为公差的等差数列.∴.∵，∴（2）由题意，假设对大于1的自然数，存在大于2的自然数，使得，，成等比数列，则，即，∵，∴，整理，得，构造数列：令且，∵，当且时，，即.∴数列是单调递增数列.当时，数列取最小值.∴对大于1的自然数，存在大于2的自然数，且的最小值为6.若条件②成立，（1），,，即：，，，是首项为1，公差为3的等差数列，.（2）若，，成等比数列，则，即，整理得：，且为整数，时，，即存在大于2的自然数，使得，，成等比数列，的最小值为6.若条件③成立，（1），，，所以，（2）若，，成等比数列，则，即：，整理得：，且为整数，时，，即存在大于2的自然数，使得，，成等比数列，的最小值为2.【点睛】本题主要考查数列由递推关系求通项公式，以及等比数列的性质应用．考查了转化思想，构造法，利用数列单调性和二次函数的性质求最值，逻辑思维能力和数学运算能力．19.如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）.（Ⅰ）证明：平面平面垂直；（Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）存在，此时为的中点.【解析】【分析】（Ⅰ）证明平面，得到平面平面，故平面平面，平面，得到答案.（Ⅱ）假设存在点满足题意，过作于，平面，过作于，连接，则，过作于，连接，是二面角的平面角，设，，计算得到答案.【详解】（Ⅰ）∵，，，∴平面.又平面，∴平面平面，而平面，，∴平面平面，由，知，可知平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）假设存在点满足题意，过作于，由知，易证平面，所以平面，过作于，连接，则（三垂线定理），即是二面角的平面角，不妨设，则，在中，设（），由得，即，得，∴，依题意知，即，解得，此时为的中点.综上知，存在点，使得二面角的余弦值，此时为的中点.【点睛】本题考查了面面垂直，根据二面角确定点的位置，意在考查学生的空间想象能力和计算能力，也可以建立空间直角坐标系解得答案.20.沙漠蝗虫灾害年年有，今年灾害特别大.为防范罕见暴发的蝗群迁飞入境，我国决定建立起多道防线，从源头上控制沙漠蝗群.经研究，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.，，，，，.（其中，）.（1）根据散点图判断，与（其中…自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为.①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率.②当取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为，求的数学期望和方差.附：线性回归方程系数公式，.【答案】（1）更适宜；回归方程为（2）①当时，②详见解析【解析】【分析】（1）由图象可知，更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型，对两边取自然对数，求出回归方程，再化为关于的回归方程；（2）①由对其求导数，利用导数判断函数单调性