2025-2026学年广东省东莞市大岭山中学、松山湖莞美学校、众美中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page22页，共=sectionpages22页2025-2026学年广东省东莞市大岭山中学、松山湖莞美学校、众美中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若复数z=1-2i,则的虚部为（）A.1 B.-2 C.-i D.-2i2.已知向量，且∥，则λ=（）A. B. C. D.23.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=2，O′B′=3，∠A′O′B′=45°，则原△AOB的面积为（）A.

B.

C.6

D.84.在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，则=（）A. B. C. D.5.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a,b,c,若a=3，，B=60°，则c=（）A.1 B.2 C.3 D.46.设a,b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若a∥α，b∥a,则b∥α

B.若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α

C.若α∥β，b∥α，则b∥β

D.若α∥β，a⊂α，则a∥β7.已知向量，，，则向量在上的投影向量为（）A. B.（-2，2） C.（2，-2） D.8.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B，现测得∠OBA=105°，∠OAB=45°，AB=45m，在点B处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为（）A.

B.

C.

D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列命题为真命题的是（）A.若z为纯虚数，则z2是实数

B.若i为虚数单位，则i23=i

C.复数-2-i在复平面内对应的点位于第三象限

D.复数的共轭复数为2+i10.已知平面向做=（3，4），=（7，1），则下列结论正确的是（）A. B.||=10||

C.⊥（-） D.与的夹角为45°11.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体.某半正多面体由6个正方形和8个正六边形构成，其也可由正八面体（由八个等边三角形构成，也可以看作上、下两个正四棱锥黏合而成）切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论正确的是（）

A.AB∥GF B.若平面ABDC∩平面EFG=l,则CD∥l

C.该半正多面体的体积为 D.该半正多面体的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BA1与直线AC所成角的大小为

.13.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为______．14.在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量与的夹角为，且，.

（1）求的值；

（2）求的值.16.(本小题15分)

已知复数z=（m2+m-2）+（4-m2）i,m∈R，i是虚数单位.

（1）若复数z是纯虚数，求m的值；

（2）当m=-1时，复数z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值.17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinC=c(1-cosA).

（1）求A.

（2）设△ABC的面积为S，且4S=b+c，bcosC+ccosB=.

①求a的值；

②求△ABC的面积.18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.

（1）求证：PA∥平面BDE；

（2）求证：F为PD的中点；

（3）在棱AB上是否存在点N，使得FN∥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19.(本小题17分)

在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a,b,c,sin2A+cos2B+cos2C+sinBsinC=2.

（1）求A；

（2）若b=1，c=2，D为线段BC内一点，且BD：DC=1：2，求线段AD的长；

（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的x1，x2，y1，y2∈R，都有被称为柯西不等式；若a=2，求：的最小值.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】AC

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】60°

13.【答案】2：3

14.【答案】

15.【答案】2

16.【答案】m=1；

4，13．

17.【答案】解：（1）由正弦定理=，可得asinC=csinA，

所以asinC=csinA=c(1-cosA)，化简得sinA+cosA=1，

即2(sinAcos+cosAsin)=2sin(A+)=1，可得sin(A+)=，

因为A+∈(，)，所以A+=，可得A=；

（2）①由余弦定理得bcosC+ccosB=b+c=a，

结合bcosC+ccosB=，可得a=；

②因为4S=b+c，所以4×bcsinA=b+c，即bc=b+c，

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=10，即b2+c2+bc=10，整理得(b+c)2-bc-10=0，

将b+c=bc代入上式，化简得3(bc)2-bc-10=0，解得bc=2（舍负）；

所以△ABC的面积S=bcsinA==．

18.【答案】证明：（1）连接AC交BD于G，连接GE，如下图：

由ABCD为平行四边形，则G为AC中点，又E为棱PC的中点，

所以GE为中位线，则GE∥PA，

又GE⊂面BDE，PA⊄面BDE，故PA∥平面BDE；

证明：（2）由题设知：CD∥AB，AB⊂面ABEF，CD⊄面ABEF，

所以CD∥面ABEF，

又CD⊂面PDC，面PDC∩面ABEF=EF，

所以CD∥EF，又E为棱PC的中点，即EF是△PDC的中位线，

故F为PD的中点；

解：（3）存在N使得FN∥平面BDE且，理由如下：

H为AB中点，连接FH