湖南省株洲市2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版）

湖南省株洲市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案BCBDCBCABCCD题号11答案ACD1．B【分析】由复数的除法运算和虚部的概念即可求解；【详解】因为，所以复数z的虚部为．故选：B2．C【分析】对等式两边同时平方，即可求出结果.【详解】化简得，，，，，故选:C.3．B【分析】根据独立事件的乘法公式可求得结果【详解】由题意两人中至少一人命中的概率为.故选：B.4．D【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量.【详解】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示：易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、，则，设棱台的高为，体积为，则棱台的高为，设其体积为，则，则，所以，，所以，该“方斗”可盛米的总质量为.故选：D.5．C【分析】设圆锥的底面半径为，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得，由圆锥的体积公式可求体积.【详解】如图，设圆锥的底面半径为，由题意知圆锥轴截面为正三角形，则圆锥的高为，则，即，解得，则圆锥的体积为.故选：C．6．B【分析】设，则，结合二次函数性质求其最小值即可.【详解】因为，设，则，由二次函数性质可得当上单调递减，所以当，取最小值，最小值为0，故当时，函数取最小值，最小值为0，故选：B.7．C【分析】先通过弧长公式求出小扇形半径，再结合的长度得到大扇形半径，最后利用扇形面积公式计算两个扇形的面积差，得到扇面面积.【详解】设，因为圆心角，弧CD的长为，代入弧长公式可得，解得．所以．由扇形面积公式可得，，，所以此扇面的面积．故选：C.8．A【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可.【详解】因为，故，因为与为互斥事件，故，所以，故，故.故选：A9．BC【分析】根据象限角及锐角的概念即可判断出选项A；根据三角函数的求值及充分条件、必要条件、充要条件的概念即可判断出选项B；根据诱导公式即可判断出选项C；根据扇形弧长公式和面积公式即可判断出选项D.【详解】选项A：第一象限角的范围为，.如是第一象限角，但不是锐角，A错误；选项B：充分性：若，则，充分性成立；必要性：若，则或，故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件，B正确；选项C：因为，所以，C正确；选项D：设扇形的半径为，则，所以，所以该扇形的面积为，D错误.故选：BC.10．CD【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得.【详解】取的中点为，连接，，如图：

在中，，且，在中，，且，因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或，当时，由余弦定理得，，得.当时，由余弦定理得，，得.综上所述，或.故选：CD11．ACD【分析】对A，利用面面垂直的判定定理即可判断；对B，当点为的中点时，证明面面平行，即可判断；对C，当点为线段上靠近的四等分点时，利用线线角的定义求解判断；对D，当点为线段的中点时，此时平面截正方体所得的截面为正三角形.【详解】对于A，因为在正方体中，平面，又平面与平面是同一个平面，平面，所以无论点在线段（不含端点）上任何位置都有平面平面，故A正确；对于B，当点为的中点时，有，平面，平面，所以平面，同理，平面，且，平面，所以平面平面，故B错误；对于C，当点为线段上靠近的四等分点时，如图，连接，过点作，交于，则，又正方体中，，所以，则直线与所成角为，又，，所以为等边三角形，所以，故C正确；对于D，如图，当点为线段的中点时，此时平面截正方体所得的截面为正三角形，故D正确.故选：ACD.12．/【分析】利用诱导公式与和差公式计算即可.【详解】原式.故答案为：．13．【详解】正方体中，连接交于点M，连接，由题可得：，,所以直线平面,所以直线与平面所成的角等于,设正方体的边长为，所以，，所以,所以【点睛】本题主要考查了线面角知识，关键是作出线面角对应的平面角，然后再说明该角就是对应的线面角，根据图形解三角形即可．14．204【分析】设米，根据余弦定理列方程求解．【详解】设米，因为在点处测得点的仰角为，所以，所以米．因为在点处测得点的仰角为，所以米．在中，由余弦定理可得，即，解得．故答案为：204.15．(1)(2)(3)【分析】（1）直接根据投影向量的概念求解；（2）通过展开计算；（3）根据，且与不共线计算求解.【详解】（1）在方向上的投影向量为；（2）；（3）因为向量与的夹角为锐角，所以，且与不共线，对于，得，解得，若与共线，则存在，得，解得，所以若向量与的夹角为锐角，实数的取值范围为.16．(1)(2)平均数为，中位数为(3)【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，即可求出a，b；（2）根据频率分布直方图中各个数字特征的求法计算即可求解；（3）先分层抽样求出第四、五组抽取的人数，利用列举法求出古典概型的概率即可.【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，解得，所以前两组的频率之和为，即，解得；（2）由（1）知，平均数为；前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75，所以中位数位于组内，且，即中位数为69.4；（3）第四、五两组志愿者分别有20人、5人，故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为，这5人选出2人，所有情况有，共10种，其中选出的2人来自同一组的有，共6种，所以选出的2人来自同一组的概率为.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质和判定可得证；（2）如图，取的中点为，连接，，根据等体积法可求得答案.【详解】（1）在正中，为的中点，，平面平面，平面平面，且，平面，平面，又平面，，又，且，平面，平面，平面，；（2）如图，取的中点为，连接，，在正中，，平面平面，又平面平面，平面，平面，若，则，，由（1）知平面，，平面，平面，，设点到平面的距离为，而，由可得，，．18．(1)(2)(3)【分析】（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可；（2）通过三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理求解即可；（3）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可.【详解】（1）因为，由正弦定理得，即，因为在中，，所以，又，所以.（2）因为，，，所以，解得.由余弦定理得.（3）因为，，结合正弦定理，得，所以，.在中，,所以.因为为锐角三角形，所以，所以，则，所以，所以.19．(1)①证明见解析；②；(2).【分析】（1）①由已知得再根据面面垂直的性质、判定定理，即可证；②取的中点，连接，根据已知及二面角定义得为二面角的平面角，进而求其正切值；（2）过P点作，垂足为H，应用正弦定理、三角形面积公式、棱锥的体积公式得，令，结合同角三角函数关系及相关函数性质求体积的最大值.【详解】（1）①分别是边的中点，，在等腰直角，则，即因平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面平