小波变换在数字图像处理中的应用 (一)

小波变换在数字图像处理中的应用

摘要:主要分析了基于小波变换的图像分解和图像压缩的技术,并运用Matlab软件对图像

进行分解，然后提取其中与原图像近似的低频信息，到达对图像进行压缩的目的.分别作第

一层分解和第二层分解，并比拟图像压缩的效果.

关键词:小波变换;多分辨分析;图像分解;图像压缩

Abstract:Thispaperanalysedthetechnologiesofthepicturedecompositionandcompression

basccdonwavelettrans2

form,anddecomposingthepictureusingMatlab,andthenpickedupthelowfrequency

informationofapproximatefor2

merpicture,andachievedgoalsofpicturewascompression.Thepictureisrespectively

decomposedtothefirstlayerand

thentothesecondlayer,andtheeffectofthecompressionofthepictureiscompared.

Keywords:wavelettransform;multiresolutionanalyse;picturedecomposition;picture

compression

小波变换的理论是近年来兴起的新的数学分支，素有“数学显微镜〃的美称.它是继1822

年傅立叶提出傅立叶变换之后又一里程碑式的领域，解决了很多傅立叶变换不能解决的困

难问题.小波变换可以使得信号的低频长时特性和高频短时特性同时得到处理，具有良好的

局部化性质，能有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂信号时存在的局限性,具有极强的自

适应性，因此在图像处理中具有极好应用价值.本文主要分析了基于小波变换的图像分解和

图像压缩技术，并运用Matlab软件对图像进行分解，然后提取其中与原图像近似的低频信息,

到达对图像进行压缩的目的.分别作第一层分解和第二层分解，并比拟图像压缩的效果.先

引入文中的有关根本理论.

1根本理论

小波是指函数空间Z3(R))中满足下述条件的一个函数或者信号中(X)

69<00

这里，/e3=R-｛0)表示非零实数全体.

对于任意的函数或者信号f(x)，其小波变换定义为

wf｛a,b)=£J\x)(p(ah)(x)dx=J\x)(pdx,

因此，对任意的函数£(x),它的小波变换是一个二元函数.

另所谓多分辨分析是指设｛Vj;jGZ)是Z?(R)上的一列闭子空间，其中的一个函数,如果它

们满足如下五个条件，即

(1)单调性:VjvVj+1,PjSZ;

⑵惟一性：、v广｛o｝；

(3)稠密性:丫V/L，K)；

(4)伸缩性:/(幻€匕牙(2幻€匕+1,PjeZ;

(5)Riesz基存在性:存在。⑺w%,使得,(2々一〃)；〃£2}构成匕的1^2基.称。(f)为尺度

函数.那么，称{|v“yz}必x)}是广(我)上的一个多分辨分析.

2

假设定义函数％〃(幻=29(2'"-〃)//,〃°2；那么由多分辨分析的定义，容易得到一个重要

结果,，即函数族

是空间Vj的标准正交基.关于多分辨分析，在这里以一个三层的分解进行说明，多分辨分

析只是对低频局部进行进一步分解，而高频局部那么不予考虑.分解具有关系

s=%+D3+D2+D],

另外强调一点，这里只是以一个层分解进行说明，如果要进行进一步分解，那么可以把低频局

部分解成低频局部和高频局部，以下再分解，依次类推.在理解多分辨分析时，必须牢牢把握

一点，即分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近空间的正交小波基，这些频率分

辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器.多分辨分析只对低频空间进行进一

步的分解，使频率的分辨率变得越来越高.

而关于Mallat算法是将炉(尺)上的多分辨分析记为{{匕；J£Z};°a)}“尺度方程和小波方程

为

0(x)=&X40(2x—〃)y/(x)=yfiZg4(2x-〃)

MGZ和nez,

其中，系数关系是对任意的整数j和k,沿用记号

匕={%“(.；〃wZ}

<W；={匕“(©；〃€Z}>

-L」.L2(R)=，W={Q)；〃wZ}

%〃(戈)=220(2，工一〃)匕,“(工)=22必23-口和〔j'eZ

对于任意信号在士⑻，引入记号

称为f(x)的尺度系数和小波系数，同时，将f(x)在闭子空间匕和叼上的正交投影汜为

右“)和孙⑴,这样

根据空间正交值和分解关系

展广匕，叱,可得力M=£G)+gj*),因此,信号的尺度变换系数和小波变换系数之间的关系

现在可以写成

2小波变换在图像压缩中的应用

二维离散小波变换后的系数分相

构成了信号f(x,y)的二维正交小波分解系数，它们每一个都可被看做一幅图像，

叫/(〃，机)给出了f(x,y)垂直方向的高频分量的小波分解系数，给出了f(x,y)

水平方向的高频分量的小波分解系数,咳八〃'加)给出了f(x,y)对角方向高频分量的小波

分解系数,⑼给出了f(x,y)的低频分量的小波分解系数.由此可见,假设用

既叼用,叫分别表示邑也叫喷也㈤%叫叫了(%㈤经2：1亚抽样后的变

换系数(简称为子图像)，那么任一图像都可以分解为,二一乙，一1之间的3J+1个离散子图

像:s，,Mw；卬；其中SJ是原图像的一个近似，吗('=123;/=一/…,-1)那么是图像在

不同方向、不同分辨率下的细节;如果原图像有N2个像素，那么子图像西,叼，湾，阳2，N个

像素，因面分解后总的像素数电为

7

J2j22

NT=4-N+3[^4]N=N

j=-l.

可见，分解后总的像素数不变.

二维数字信号也即数字图像，对它的处埋是基于图像的数字化来实现的.图像的数字化

结果就是一个巨大数字矩阵，图像处理就在这个矩阵上完成.所以，可将二维数字信号4”"看

做”了5，〃z),即

并采用与一维情况类似的Mallat算法.由于两次一维小波变换来实现一次二维小波变换，所

以先对该矩阵的行进行小波变换，再对列进行小波变换.

3运用Matlab小波工具箱进行图像分解并压缩

下面的实例是基于二维小波分析对图像进行压缩.一个图像作小波分解后，可得到一系

列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的.高分辨率(即高频)子

图像上大局部点都接近于0，越是高频这种现象越明显.对一个图像来说，表现一个图像最主

要的局部是低频局部，所以一个最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频H部而

只保存低频局部.

图像压缩可按如下Matlab程序进行处理.

loadwoman;

subplot(221);image(X);colormap(map);

title原始图像');

axissquare;

%=========================

[c,s]=wavedec2(X,2,*bior3.7');

cal=appcoef2(c,s,'bior3.7',1);

ch1=dctcocf2('h',c,s』)；

cv1=detcoef2('v',c,s』)；

cdl=detcoef2(Jd',c,s』)；

al=wrcoef2Ca',c,s,'bior3.7,,1);

hl=wrcoef2Ch',c,s,'bior3.7',1);

vl=wrcoef2Cv',c,s,'bior3.7J,1);

dl=wrcocf2Cd',c,s/bior3.7*,1);

cl=[al,hl;vl,dlJ;

subplot(222);image(cl);

axissquare

title(,分解后低频和高频信息');

%==—二

cal=appcoef2(c,s/bior3.7*,1);

ca1=wcodemat(ca1,440,'mat',0);

cal=0.53cal;

subplot(223);image(cal);colormap(map);

title(,第一次压缩图像');

axissquare

%============

ca2=appcoef2(c,s,'bior3.7,,2);

ca2=wcodemat(ca2,440,'mat',0);

ca2=0.253ca2;

subplot(224);image(ca2);colormap(map);

axissquare;

title(,第二次压缩图像');

在这里可以看出，第一次压缩我们是提取原始图像中小波分解第一层的低频信息,此时压

缩效果较好，压缩比拟小(约为1/3);第二次压缩是提取第一层分解低频局部的低频局部(即

小波分解第二层的低频局部)，其压缩比比拟大(1/12)，压缩效果在视觉上也根本过得去，它

不需要经过其他处理即可获得较好的压缩效果.

通过MATLAB仿真,所得图像如下所示：

4结论

图像压缩是一个很有开展前途的研究领域，它的研究就是寻找高压缩比的方法且压缩后

的图像要有适宜的信噪比，在压缩传输后还要恢复原信号，且在压缩、传输、恢复的过程中，

还要求图像的失真度小.而将小波分析引入图像压缩的研究范畴,当一个图像作小波分解后,

可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的.高分辨率

子图像上大局部点的数值都接近0，越高就越明显.而对于一个图像来说，表现一个图像的最

主要局部是低频局部.而且小波分析能使压缩比高、压缩