小升初数学几何数论攻略深度解析与高效学习策略全方位解析

目录

小升初行程专题班...........

行程问题的学习措施..........................................

1.学习行程问题时有哪些坏毛病会阻碍你进步？.........

2.怎样学好行程问题..................................

行程的分类解析...............................................

1.直线上的相遇与追及..................................

2.火车过人、过桥与错车问题..........................

3.多种对象间的行程问题..............................

4.坏形问题与时钟问题................................

5.流水行船问题.......................................

行程问题学习时的详细操作方案与提议.........................

小升初•数论专题班.........

学习措施.....................................................

分类解析.....................................................

1.数论学习与几何、行程的区别在哪里？...............

2.数论学习需要我们具有的四种能力和意识............

3.小升初数论知识点梳理与总结.......................

详细操作方案与提议..........................................

小升初•几何专题班.........

学习措施.....................................................

1.为何有的人学不好几何？..............................

2.学好几何首先要养成那些学习习惯？...................

分类解析.....................................................

几何问题学习时的详细操作方案与提议.........................

小升初•行程专题班

小升初行程专题班：

据记录，假如一张试卷题目按10道题来计算，行程问题平均占1.5道，按100分来计

算，行程问题占其中15-20分。在近几年的考试中，行程问题往往作为能否进入重点中学最

重要的一道分层题目。因此在十一短训课程中，我们将会对“火车问题”、“多人问题”、“环

形问题”、“时钟问题”、“流水行船”、“变速问题”等重点专题进行详细分析工

行程问题的学习措施

在各类小升初考试与各大杯赛的命题中，行程问题历来就是出题人的最爱。巨人学校小学数

学教材研发中心记录了从起年至今共9年的各校小升初试题及杯赛试题，其中有99.26%的

试卷都包括行程问题；假如把记录范围缩小到近5年，那这一比例则到达了100%.可以说，

行程问题已经成为各校小升初考试与各大杯赛的必考题！

不过，对于众多面临小升初的同学而言，行程问题却又是学习上无法逾越的一道障

碍。诸多同学在行程问题上饱受挫折，在考试时行程问题既是必考题，也是必错题，以至于

有的同学主线无心花力气在行程问题上，只要一碰到行程问题就会积极躲开、积极放弃！这

一点，无论家长还是学生都感到很无奈。

莫非行程问题真的那么难学吗？

莫非行程问题真的就没有措施学好了吗？

你与否在为学习行程问题而烦恼？

你是不是一见到行程问题就只想躲、不想做？

你与否总为求解行程问题不得要领而一筹莫展？

你父母在给你辅导行程问题时，是不是常常自己也想得一头雾水？

下面的学习指南招会一一解开你心中的疑惑，传授给你攻克小升初行程问题的独门

秘籍!

行程问题学习措施综述

1.学习行程问题时有哪些坏毛病会阻碍你进步?

（1）不画线段图学习行程问题最重要的当属面图！诸多同学不喜欢画图、没习惯

画图，甚至懒得画图，这是阻碍一种人学习行程问题最普遍的问题。诸多同学在处理行程问

题时，往往是简朴题目不屑于画，难题却又不会画，成果学了半天也没有机会用上线段图，

而这恰恰是行程问题的基本功。试想一下，连线段图都不去用，怎么也许学好行程问题？！

那么为何诸多同学在画图时，感觉难如下笔、不知所措呢？这就波及到了下一种问

题。

（2）缺乏对机械运动的想象力行程问题无一例外都是考察一系列物体的机械运动，

因此对整个运动过程的想象和把握就显得格外重要。在读题过程中，诸多人仅仅只是把题目

像流水账同样的过目一遍，很少有在脑子里想象运动场景的习惯，虽然会去想象的，也往往

没怎么想清晰就草草了事，这样一来，看似读了半天题，其实也还是一头雾水。就凭这样的

读题效果，怎么也许下手画图？就算画出来，也不是线段图，而是〃鬼画符”！

相反，有想象力的人在读题时，往往能像放电影同样在脑子里想象整个行程过程，

在读完题目后就对整个行程过程有了一种大体的把握，再下手画图自然能组织好图形的构

造，画得比较到位。

机械运动想象力的重要性从另一种侧面也体现得很明显，一般男生做行程问题要比

女生强，其实就在于男生对于机械运动的兴致高于女生。平常喜欢的车、船、炮、球等等事

物都和机械运动有关，因此男孩子在处理行程问题时会比女孩子更能想象。从某种程度上说，

男孩子对机械运动的想象力是在平时生活中“玩〃儿出来的，而至于女孩子，那就必须加强在

机械运动方面的想象力才行。

（3）缺乏耐性诸多同学在面对过程有点儿复杂的行程问题时，不是静下心来好好

想，而是满脑子只想尽快把问题搞定。为了能尽快处理问题，稀里糊涂地在那里乱凑一通一

一这样的解题习惯极具破坏性。不仅破坏了自己的解题品味，也破坏自己的做事习惯。无论

从学习数学的角度讲，还是从学习做事的角度讲都是百害而无一利。

（4）缺乏勇气由于在行程问题的学习上屡遭挫败，诸多同学已经认定自己在行程

问题上不也许有所作为。只要一碰到行程问题，主观上就在退却，成果明明能做的题目也给

放弃了。常常听有人在感慨：〃早懂得这道行程问题那么简朴，我就多想想了。“正是由于缺

乏面对问题的勇气，才使得诸多得分机会与自己失之交臂。可以说，克服对行程问题的恐惊

是攻克行程问题这座堡垒必须迈出的第一步！

2.怎样学好行程问题

（1）鼓起勇气，树立信心要想学好行程问题，首先得相信自己能学好！行程问题不

是尝试着学一下，看能不能学好的问题，而是必须学好的问题！它太重要了，假如你没有信

心和勇气攻克它，就意味着你的小升初已经输掉了二分之一。莫非你乐意接受自己作为半个

失败者吗？！假如不乐意，那就鼓起勇气，相信自己能行！

行程问题由不得你对自己没信心！一定要勇敢些，不要怕！

（2）培养自己的想象力在阅读行程问题时，一定要同步在脑子里不停的想象行程

过程，在读完题目之后就像看了场电影同样，而电影里放的就是题H里的情节。

（3）勤动手画图、列表不管题目是简朴还是难，在通过对行程过程的想象后，都

要认真规范的将图画出。简朴题目不能不屑于画，复杂题目也决不能画几下就放弃了，耐心

点揣摩，耐心点画，画着画着就柳暗花明又一村了。

有的行程问题，题目较长、内容较多。为了能更好的把握题意，应当采用列表整顿

的方式来缕清思绪，绝不能在读完题目之后，任由自己的大脑一团浆糊。假如感觉到糊涂，

就一定要想法子缕清晰。

学数学要牢记一点，那就是：时刻保证自己头脑清醒、思绪清晰。

（4）要有耐性不要总想着赶紧做完、赶紧做完。但愿问题赶紧处理和但愿问题积

极消失同样，都是不切实接的一厢情愿。今天哪怕只做这一道题，把这道题目攻克，那也是

莫大的收获！虽然今天没有做出来，也没关系，只要去认真思索、动手分析，就一定有收获。

平时练习和考试不一样样，只要竭力去做就是好样的，即便没做出来也同样有价值、故

意义。

行程的分类解析

行程问题从运动形式上分可以分为五大类:

，第一、直线上的相遇、追及问题（含多次往返类型的相遇、追及）

第二、火车过人、过桥和错车问题

<第三、多个对冢间的行程问题

第四、环形问题与时钟问题

【第五、流水、行船问题

而从题目的解题方法上分又可以四大类：

[第一、利用设数法、设份数处理

第二、泳帏速度变化情况进行分段处理

<

第三、利用和差倍分以及比例关系，将行程过程进行对比分析

【第四、禾I用方程方法进行求解

五大题型、四大措施互相交错，就构成了整个小学行程问题的知识架构。这其中的交错

与综合不仅仅是题型与措施之间的交错，也有题型之间的重叠，例如环形问题就可以有环形

路线上的流水行船,而火车问题也可以有多辆火车之间的错车问题……至于解题措施的重叠

那更是比比皆是，一道稍有分量的行程问题就需要运用至少两种解题措施……诸如此类的综

合，既是行程问题变化多端的原因，也是行程问题难学的原因。想要将上述题型与措施融会

贯穿、运用自如，首先得分门别类的把各类问题学好，并穿插以各类解题措施的训练，然后

在此基础之上再进行综合。

下面我们就以五大题型为主线，以经典例题的形式对行程问题的整个知识架构做一

种系统性梳理，并在例题的讲解中穿插解题措施的总结，让大家对小学阶段行程问题的题型

与措施有一种总体把握。每道例题的关键思绪都已给出，大家顺着这些思绪可以自行求得答

案。每道例题的原则答案都附在手册的最终，大家可以对照参照。

1.直线上的相遇与追及

I路程和=速度和X时间|[

I路程差=速度差霸商1

上述两个公式大家都很熟悉，对于相遇、追及问题的理解，就是从它们开始的。

般状况下，我们会把速度和、旅程和与相遇问题联络在一起，而把速度差、旅程差与追及问

题联络在•起。这样的理解过于表面化，真正体现这两个公式本质的字眼儿是〃和〃与"差”：

只要波及到速度和、旅程和的问题就应当用第一种公式，虽然题目的背景是追及：而只要波

及到速度差、旅程差的问题就应当用第二个公式，虽然题目的背景是相遇。

例题L甲、乙两辆汽车同步从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小

时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。问：东西两地间的距离是多少千米？（某

重点中学小升初考题）

「思绪解析」本题表面上看是•种经典的相遇问题，其实里面暗藏了旅程差的关系。

那旅程差的关系究竟藏在哪个条件中呢？就在条件〃两车在离两地中点32千米处相遇”这句

话中。大家不妨自己动手试着做一做。

除了像刚刚例题1那样一次性的追及与相遇过程外，尚有诸多相遇与追及问题是在

来回过程中多次发生的。下面就是一道这样的例题：

例题2.两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，

乙的速度是每秒游0.6米，他们同步分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。假如

不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？（某重点中学小升初考题）

「思绪解析」相遇次数与两人的旅程和有关.如卜图所示

全长3Q.米

'------------------------------<-----------乙

当甲、乙两人的路程和等干1个全程（3Q米.）时，恰好第一次相遇（图中

细线）；如果还想再次相遇，甲、乙两人就必须再游2个全程（6Q米）的路程

和（因中粗线）……按照这个规律进行下去，每当甲、乙两人走完2个全程的

路程和时就会相遇一次.有了［“路程和”与“相遇次数”只要求出

路程和就能求出相遇次数了.大家不妨自己动手做做看.

直线上的相遇、追及是行程问题中最基本的两类问题，这两类问题的处理可以说是绝大

多数行程问题处理的基石,只要是两个物体在同步运动，它们之间的关系•般都可以表达为

相遇或追及.而众多丰富多彩、妙趣横生的行程过程，均是以此为蓝本而展开的.

2.火车过人、过桥与错车问题

在火车问题中，速度和时间并没有什么需要特殊处理的地方，特殊的地方是旅程。由于

此时的旅程不仅与火车前进的距离有关，还与火车长、隧道长、桥长这些物体长度有关。就

拿火车过桥来说，假如题目考察的是火车过桥的整个过程，那么就应当从“车头上桥”开始到

“车尾下桥〃结束，对应的旅程就等于〃车长桥长〃；假如题目考察的是火车停留在桥上的过

程，那就应当从“车尾上桥〃到〃车头下桥〃结束。对应的旅程就应当是〃火车车长桥长〃.详细

如下所示：

火车停留在桥上

由上面这个通单的例子不难看出，火车问题与其它行程问题最大的区别就

在于路程的分析和计算上，而要考虑清楚路程，就必须回答下面两个最根本的

问题：

||整个过程是从什么时候开始，到什么时候结束的二J

||整个过程的路程又是从哪里开始，到那里结束的？|

例题3.一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。己

知在客车的前方有一列行驶方向与它相似的货车，车身长为320米，速度每秒17米。求列

车与货车从相碰到离开所用的时间。（仁华学校五年级上学期期末考试试题）

「思绪解析」本题包括了两个基本类型的火车问题，一是火车过隧道问题，二是火

车错车问题。而这两者之间最关键的是第一种过程的分析，分析措施就是前面所说的四大措

施中的第三点一一〃运用和差倍分关系进行对比分析•〃：250米的隧道比210米的隧道多40

米，从而使得客车通过前者的时间比后者多了秒，由此即可得出客车的速度。有了客车速

度，再求客车长度以及错车时间就非常轻易了。大家不妨自己动手算算。

当然，火车问题并非只有火车，一种有长度的队列也是此类问题的常客。下面这道

题目就是一种队列问题，有爱好的同学不妨自己动手尝试一下。在必要时，还可以借助于方

程进行求解。

例题4.某解放军队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。一战士以每秒3米的

速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？（某重点中学小升初考题）

3.多种对象间的行程问题

虽然此类问题波及的对象至少有三个，但在实际分析时不会同步分析三、四个对象，而

是把这些对象两两进行对比。因此，求解此类行程问题的关键，就在于能否将某两个对象之

间的关系，转化为与其他对象有关的结论。

例题5.有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走

75米。目前甲从东村，乙、丙两人从西村同步出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后,

甲又与丙相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米？（〃港澳数学奥林匹克公开赛〃试

题）

「思绪解析」本题最关键的一段旅程，就是甲、乙相遇之后6分钟内，甲、乙两人

的旅程和。这段旅程既是甲、乙的旅程和，又是乙、丙的旅程差。只要明白了这一旅程的双

重身份，就能很快求出此题。大家不妨画出图来，自己分析一下。

4.环形问题与时钟问题

环形问题与其他行程问题相比，最大的特点就在于"周期性〃与〃对称性〃.这是由环形跑

道自身的特点决定的。大家再分析环形问题时，一定要用心〃周期性〃与〃对称性〃在题目中的

体现。

例题6.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同步出发，背向而行。目前已

知甲走一圈的时间是70分钟，假如在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时

间是多少分钟？（第十六届〃全国小学数学奥林匹克〃竞赛初赛试题）

「思绪解析」本题从头到尾都只有时间：给的条件是时间，问的问题也是时间。像

这种只给时间、求时间的问题，一般的做法就是一一设数。把旅程或速度这两个未知量中的

某一种量随便设个数，然后再进行求解。本题就可以设环形公路的全程为630（）米，接着便

可求甲、乙两人的速度了，接下来的过程，大家不妨自己动手试一试。

例题7.有一座时钟目前显示10时整。那么，通过多少分钟，分针与时针第一次

重叠；再通过多少分钟，分针与时针第二次重叠？（北京市第十一届〃迎春杯〃决赛试题）

「思绪解析」时钟问题本质上说就是一种环形问题，只要给出合适的速度、旅程、

时间的表达，求解过程与一般环形问题没什么两样。大家不妨自己动手做一做。

5.流水行船问题

流水行船问题与其他行程问题相比，特殊的地方在于速度。由于有水流的原因，船的速

度有顺流、逆流的区别，因此在流水行船问题中，船的速度有三种：逆水速度、静水速度、

顺水速度。在分析流水行船问题时，一定要把水流的原因考虑到位，诸多题目分析的关键自

身就在水流上！

例题&甲、乙两船分别在一条河的A,B两地同步相向而行，甲顺流而下，乙逆

流而上。相遇时，甲乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲抵达B地、乙抵达A地

后，都立即按本来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1000米。假如从第一次

相碰到第二次相遇时间相隔1小时20分，那么河水的流速为每小时多少千米？（某重点中

学小升初考题）

「思绪解析」甲、乙两船刚出发时行驶速度相似，但一种顺流、另一种逆流，阐明

两船静水速度差了两倍的水速（甲慢乙快）。调头之后，甲变为逆流，乙变为顺流，此时两

船行驶速度应当差几倍的水速？考虑清晰这点，你就懂得怎样运用甲、乙的速度差来求水速

了。

例题9.甲、乙两名选手在一条河中进行

BI------------------iC

划船比赛，赛道是河中央的长方形XBCQ,pl

其中40=80米，加=60米.已知水流从左水总

幺1---------1。

到右，速度为每秒1米，甲乙两名选手从A----------------

处同时出发，甲沿JI就寸针方向划行，乙沿逆时针方向划行，已知甲比

乙的静水速度诲秒快1米C4B,8边上的划行速度视为静水速度），

两人第一次相遇在C。边上的尸点，CD=3CP,那么（1）甲选手划

行一圈用多少分钟？（2）在比赛开始的10分钟内，两人一共相遇了

多少次？（仁华学校2005年六年级上学期期末试题；

「思绪解析」本题是一道环形跑道上的流水行船问题，是一道综合性很强的行程问

题。本题的分析关键也在于速度，假如甲、乙两人的速度已知，那本题的求解就没有任何悬

念了。因此，分析求解的重点就落在了甲、乙两人的速度上。大家只要注意到甲、乙的速度

差恰好等于水速这一点，就不难进行分析了。大家不妨动手试试。

上述9道例题可以说只是小升初行程问题的•种掠影，虽然每•道都是其所在类别

里最为经典的例题，但稍加变化都会变出来诸多新的模样。并且，题目除了会在每一类中发

生变化外，还会发生类与类之间的交叉与综合，不仅在运动形式上变化多端，并且在分析措

施上也是把戏迭出。

不过，我们需要关怀的绝对不是变化，而是在千变万化中不变的东西。行程问题当然变

化多端，但无论怎么变，也逃不出本文一开始提到的那〃五大题型〃与〃四大措施”，只是在题

型上会愈加综合，在题解上用到的措施会更多某代。但只要这"五大题型〃和〃四大措施''掌握

好，题目再怎么综合、措施再怎么多，也同样是小菜一碟。

行程问题学习时的详细操作方案与提议

1.假如你能在"思绪解析”的提醒下，做出上述9道例题中的至少7道，就阐明你对行

程问题的基本知识掌握的还算扎实，在平时练习时就应当以中、而难度的题目为主。智泉数

学工作室新编的《数学思维训练导引》中的拓展篇、超越篇就比较适合你，你可以挑选其中

难度在三星或三星以上的题目来练习。在平时报专题班学习时，也应当选择难度档次较高的

班级，以使得自己有更大的提高。

2.假如上述9道例题在〃思绪解析”的提醒下，你能做出的题目不超过2道，则阐

明对行程问题基本知识的掌握还很不够，必须加强基本题的训练。《数学思维训练导弓》中

的爱好篇就是最理想的练习题来源。大家可以挑难度在三星或三星如下的题目来练习。在平

时报专题班时，也应当尽量选择基础班型，切忌拔苗助长。

3.对于绝大多数介于上述两种状况之间的，可以两者兼顾。一般做对5道或5道

以上的同学可以采用第一种提议，但也要注意基本功的训练。而做对5道如下的同学，更多

的得采用第二种提议，在基础砸牢了之后，再去做难度较高题、上难度较高的班。

小升初-数论专题班

小升初数论专题班：

在历年的小升初选拔考试中，数论与行程问题不仅占据着最大的篇幅，并且新占着几乎

所有的难点。因此在十一短训课程中，我们将会从“整除求和”、“分解质因数及其实际应用”、

“约数与倍数”、“数论中的代数措施”四个方面对数论问题进行全方位的扫描，深刻理解整

数的分拆分解问题，从而在实际应用与小升初考试中傲视群雄。

学习措施

与行程、几何两库大山相比，数论问题在小学阶段显得并不那么威武。原因有三个：首先，

数论作为一种数学门类，其主流的分析措施基本上是代数措施，在愈加重视算术措施的小学

阶段，不也许对数论问题有太深入的讨论；另一方面.，到了中学阶段后，数论并非正规中学

课堂教学内容，除了数学竞赛会考数论外，中考、高考都不考数论，因此各重点中学在挑选

学生时，也不会尤其强调学生的数论基础；最终，从小升初考试命题人的角度来说，各重点

中学的命题老师往往都是本校的骨干教师，既然中、高考不考数论，那些老师自身对数论知

识也就不太熟悉，因此一般也不怎么出数论题。

数论题分值比例

各大杯赛小升初

西城实验

走美

华杯赛迎春杯希望杯仁华老教协

2006年27%17%11%8%15%8%

2007年19%14%13%7%10%8%

2008年25%16%13%8%9%9%

平均24%16%16%8967%8%

但话又说回来，由于数论是专属于竞赛数学范围的教学内容，在竞赛命题人那里，

数论却又是一种扛大梁的侑色。在各大赛事的命题中，数论的比重历来不低，甚至超过几何

与行程。下面是近来3年各大杯赛和小升初考试中数论题所占的分值比例。从中大家可以很

清晰地看到小升初考试和各大杯赛命题中，数论知识所占比重的差异。

仁华学校前些年的试卷均由数学竞赛背景很深的资深教师，或在国际数学竞赛上拿

奖的金牌选手命题，因此试卷风格偏竞赛，数论比重较大。而近些年来，人本不从事竞赛教

育的一线教师参与命题的比重越来越大，数论知识的含量也就随之减少。至于试验中学的考

题，数论知识一贯不多。但〃华杯〃、“迎春杯〃这些以难度著称高水平比赛，数论的比重就比

较大。因此数论知识的多少可以说是试卷难度的一种风向标。

既然杯赛和小升初考试对数论知识的难度规定有所差异，那我们究竟应当以一种什

么样的态度来看待小升初的数论学习呢？我们的提议是：

牢固掌握基础，难题量力而行

毕竟小升初考试是各中学挑选学生的直接手段，杯赛成绩只作参照。假如为了简历上的

一纸证明而狂做难题，也许时间会花的很不值。并且不管要不要狂做难题，学好数论都得先

打牢基础，因此不管奥数学的好坏，都得重视基础。并且，数论可以说是小学奥数中最强调

基本功的一种门类，诸多看似花里胡哨的技巧其实都源自基本功的纯熟，而基本功纯熟的同

学不需要老师教，自己都能发现诸多巧妙的解法。因此数论学习必须把基本功的训练放在最

最重要的位置！

分类解析

1.数论学习与几何、行程的区别在哪里？

数论比几何、行程更强调基本功的训练，更强调知识点之间的前后联络。几何与行

程也许从半路开始学也能学好，毕竟几何与行程的各知识点独立性较强，前后之间的关联度

不算太高，例如你不懂直线形比例同样能学立体几何，不懂火车过桥也同样能学流水行船。

但数论知识就不一样，它的知识构造是一种非常系统的链状构造，假如前面的某一环断了，

背面的就会所有散落。也正由于它的知识点是环环相扣的，想要学好背面的内容就一定要把

前面的基础打牢，否则进入卜一种环节就会举步维艰。

此外，想要学好几何、行程，常常解某些难题是少不了的，但学习数论却未必如此。

诸多时候，纯熟的基本功就是处理难题的法宝。并且只要基本功纯熟了，某些很复杂的解题

技巧也会变得异常好懂。可以说，在数论中，基本功的纯熟自身就是解题技巧！

2.数论学习需要我们具有的四种能力和意识

(1)对整数进行分拆、分解的观念与意识之因此要把分拆、分解卜升到〃观念〃和〃

意识〃的高度，并不是为了说着好听，而是一种实实在在的规定。具有分拆、分解的观念和

意识并不仅仅指会分拆，会分解，而是有更深层的含义。假如给你一种整数，让你把它分解

质因数，你按部就班的将其分解，这只能说你会分解：所谓具有分拆、分解的意识，是指题

目中每出现一种数，你就能积极地用分解的观念来看待它。例如当你看到60,你脑子里就

不能只一种60,而必须能同步想到2、2、3、5四个质因数，能同步想到4、5、6、10、12、

15、20、30这些60的约数……到达这样的境界才能称之为具有分解和分拆的观念与意识。

(2)分类讨论的能力分类讨论的重要性相信大家均有体会。诸多数论问题均有多

种也许状况，必须一一讨论，好些时候尚有多种答案。这就规定我们必须不重不漏的把所有

也许状况讨论清晰，把所有对的的解都找到，而分类讨论能力的高下就决定了你能否做到这

一点。

（3）初步的代数分析能力

前面也提到，数论问题的解决方法绝大多数是代数方法，因此小学阶段也会出

现一些需要用到简单代数式的问题.比如下面这个例题就是一个、这样的简单例子

三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.

这个例题必须用字母设出三个质数来，比如分别设为4、b、C,于是有算式

々xbxc=llxia+b+et

不难看出4、b、C中必然有一个是11,不妨设。为11,于是上述算式又可化简

为

axb=a+b+ll

接着求a和匕就需要用到简单的因式分解的方法.将算式变形为

ixib-li=12

这样一来，4与。的大小就很快求出来了.大家不妨自己动手试一试.

（4）让数论成为一种思考方式

用数论方法来解决问题并不仅仅只有在做数论题是才有用，在处理很多问题时

都可以用到数论.下面这个例题就是一个典型代表：

一个自然数减去它的数字和得一个十二位数997237801^4,那么方

框中应该填哪个数字？

这道题目乍一看是个数字谜，诸多同学都没故意识到可以用数论来做。可假如这题

用数字谜来做就会非常繁琐。相反，假如你能故意识的运用同余的知识来处理这个问题，这

道题io秒钟就能搞定，不知大家想到了没有。假如想不出怎样用数论来处理这个问题，可

以自己去本手册背面翻看解答。看完之后，你一定会惊叹数论措施的巧妙。

数论顾名思义是有关数字的学问，因此只要是和整数有关的问题都可以从数论的角

度来思索。这也是数论措施无孔不入的主线原因。数论措施并不仅仅在数论问题中出现，在

数字谜、应用题等其他题目类型中也会出现。这就规定大家必须积极地用数论的观念和意识

来思索问题。用一句来概括就是故意识地从数论角度来思索问题！

3.小升初数论知识点梳理与总结

（1）若干常见整数的整除性判断法则

1.2、5、4、25、8、125；

2.3、9；

3.11；

4.99；

5.7、13.

（2）质数与合数

1.100以内的25个质数；

2.判断一种较大的数与否是质数；

3.可以纯熟地分解质因数，并能运用分解质因数的措施构造符合题意的自然数。

（3）约数倍数

1.最大公约数、最小公倍数的概念和算法；

2.约数个数公式、约数和公式的运用：

3.结合质因数分解的措施，运用最大公约数、最小公倍数还原出本来的自然数。

（4）余数

1.与整除性判断法则类似的常见整数余数计算:2、5、4、25、8、125、3、9、11、

99、7、13；

2.运用替代法对算式求余数：

3.中国剩余定理；

4.同余的概念和运用

详细操作方案与提议

a）上面总结的这些数论基础知识要点，假如有二分之一以上你看了标题后不能立即

说出对应的内容和措施，就阐明你对数论知识体系还不够熟悉，必须先强调基本功的训练，

在平时练习时，一定多练基础题。并且很有必要报一种六年级复习性质的数论短训班，帮你

把这些基本知识点梳理一下。有关的练习题，可以从智泉数学工作室新编的《数学思维训练

导引》五年级四讲数论问题中挑选。由于调的是基本功，因此就不要做超越篇的题目了，把

题目难度限制在三星及三星如下。

b)假如你对上述知识点中的绝大部分，都能做到看了标题立即说出其中的含义，

并能用某些简朴的例子加以阐明，那阐明你对数论基础知识已经掌握的很纯熟了。对于这样

的同学，假如想要深入提高自己数论方面的解题水准，就必须强化代数方面的能力。数论假

如只用纯算术措施分析，那是走不远的。有关这方面的练习题，在《数学思维训练导引》六

年级中有三讲〃数论综合〃，里面的内容一定能满足你的胃口。不过，不管成绩多么好，也应

当时不时回过头去做一下五年级那四讲数论基本知识，可以不做爱好篇，但拓展篇和超越篇

还是值得一做的。

小升初•几何专题班

小升初-几何专题班

几何问题考察的是学生对图形的想象能力以及多角度思索问题的能力，在小升初的考试中属

于必考题目。因此在十一短训课程中，我们将会对“长度、角度、面积的基本计算”、“直线

型计算中的各类比例关系”、“曲线形计算”、“几何变换”、“立体几何”等常常考的重点专题

进行详解，培养孩子从多种角度理解问题的能力，不让几何问题成为小升初升学之路的绊脚

石。

学习措施

几何问题是继行程问题之后，小升初考试又一大热门专题。巨人学校小学数学教材研发中心

记录了从起年至今共9年的各校小升初试题及杯赛试题，其中有99.10$的试卷都包括行程

问题；假如把记录范围缩小到近5年，那这一比例也和行程问题同样，到达了100%.由于几

何学自身从数学上讲就是非常重要的一种数学门类，并且从教学上讲，也是中学常规数学教

学中的一大块，因此考试题中具有几何问题是再自然不过的事情。相反，不含几何题的数学

卷子反而显得不正常。

由于篇幅所限，我们将近来三年，各校小升初考试以及六年级各大赛事中几何题所占的

分值比例一一列举出来，让大家对几何的重要性有一种更为清醒的认识。

几何题分值比例

各大杯赛小升初

西城实

华杯赛

迎春杯希望杯走美仁华验

老教协

2006年20%15%13%7%18%12%

2007年20%16%10%8%14%11%

2008年30%12%15%17%19%16%

平均23%14%13%11%17%13%

从三年的平均数据上看，“华杯赛”是各大赛事中最看重几何的，而仁华考试中几何

的重要性紧随其后，再接下来便是〃迎春杯〃、〃但愿杯〃以及试验中学的考题。分值比重最低

的是走美，但“走美"近来一年（）几何题的分值比例已经提高到了17%,和上一年比增长了

一倍尚有多。可以说即便是最不重视几何的杯赛，目前也在增长几何的分量！儿何的重要性

由此可见一斑！

那怎样才能提高几何问题的解题能力？

小升初几何部分的知识构造究竟怎样？

小升初的几何学习究竟应当注意哪些方面？

卜面的内容将会协助你梳理清晰小升初几何问题的知识要点，着重简介给你学习和

处理几何问题的措施和窍门，让你在小升初几何学习中可以脱颖而出、所向无敌。

一、几何问题学习措施综述

1.为何有的人学不好几何？

（1）思绪单一，不善于从多种角度思索

诸多人在平时练习几何题时，不管题目难易，只要解出之后就把它在扔一边一一这是一

种非常坏的习惯。但凡与图形紧密有关的问题，都要注意从多种角度进行思索。假如你的解

题思绪太单一，即便能顺利得处理某些问题，也不能保证题目稍有变化后你还能处理。假如

做几何题不善于转换角度、另辟蹊径，那面对丰富多彩的几何世界时，你就只有干瞪眼的份

了。

(2)对图形缺乏想象力

有诸多几何问题并不是给你•种静态的图形来求解，而是给出了•种图形的运动过程，

需要你凭借想象力将所需求解的图形画出来，才能深入分析、求解的。例如像下面这道题目，

考察的就是一种三角形的运动过程

如下图所示，直线上有一个边长为3cm的等边三角形，让它沿

着顺时针方向漆动一

周，那么三角形的三

个顶点各自经过多少—L——'---------------------------

厘米的距离？

不难看出，本题需规定解的距离主线没在图上圆出米，要想求解就必须自己动手。

可要画的轨线究竟长啥样呢？这就要靠我们的想象力了。我们必须先想明白曲线的位置和形

状，然后才能动手画，有的时候还需要边画边想，假如画不出图形，就没法计算！由此可见

想象力有多重要。

刚刚的问题对于想象力的规定还是比较明显的，由于题目明确规定图形得运动。但

有的题目你甚至都想不到需要将图形动一动，下面这个问题就是一种经典的例子

如右图所示，M3CDE是一个五边

形，其中ZA=ZB=ZE=90°，

4C=4口，五边形的三条边.43、CD、

ME的长度分别为7、6、8,求五边形

的面积.(仁华学校2003年初一

新生入学分班考试题)

不知大家看出这个问题的解法没有，假如没有就再仔细想想。其实这道题目假如能

换个角度看极为简朴，问题就在于你有无想象力，能不能想得到。本题的解法与答案附在书

的最终，实在想不出来的可以自己去看看。

平面几何对想象力的规定尚且如此，那立体几何就更不用说了。最基本的立体几何

问题都需要空间想象的支持。由此可见，假如缺乏对图形的想象，想要学好儿何学几乎是不

也许的。

(3)瞎蒙乱凑，败坏解题品味

有诸多人在对几何问题百思不得其解时，就开始走〃歪门邪道〃：拿尺子量，在图形上Iffl

拼瞎凑、胡乱比划，蒙个答案了事。这种亳无逻辑的做法不仅不能帮你理解几何问题，时间

长了反而让你养成了-种亳无逻辑的做事习惯。长此以往，不仅败坏你的解题品味，更会败

坏你的思索品质。

其实在处理几何问题时，合乎逻辑的假设与特殊化处理是容许的，并且这样做还能

协助你深刻地理解几何问题。至于怎样假设、怎样特殊化，怎样运用这一措施更为深刻地理

解图形，是有一套专门的措施和方略的，并不是像一般所说的纯粹在〃蒙

2.学好几何首先要养成那些学习习惯？

(1)要习惯于一题多解，哪怕题目再简朴也要逼自己一题多解

儿何考察的就是你看问题、看图形的角度，假如你总是非常死板的从一种角度思索问题，

那做几何题永远都是在碰运气：运气好思绪对了就能做出来，运气不好思绪不对，就没法换

个角度思索，而只能对着图形发愣。在平时练习几何题时，绝对不要追求题目数量，而要强

调措施数量，一道题哪怕再简朴，也应当用尽量多的措施来解！

(2)张开想象的翅膀，哪怕是^态的图片也要动态得来想

纸面上的图片永远是齐止的，假如你的大脑跟图片同样静止，那就只能愣头愣脑的处理

几何问题，简朴或许还行，稍有变化就“死机〃了！上一页中那道五边形的题目，假如缺乏对

图形的想象力，只懂得在静态的图形上七拼八画，那最终的成果只能是一团乱麻。

(3)平面几何要勤于画图，立体几何要勤于动手

要建立其对几何图形的感觉，就必须从基本功着手。当你动手画了诸多图片，甚至动手

剪了诸多立体图形的展开图，并把它们拼成立体图形，那么你对图形的感觉就会提高诸多档

次。因此，在平时就多动手画一画，不管是为了做题还是为了画着好玩，拿起直尺、圆规、

二角板，尽情地画，画得越多，图感就越能得到加强！

分类解析

小升初几何问题知识点梳理

几何问题要按考察对象分，就是两大块:

\第一、平面几何

［第二、立体几何

这两块知识中，平面几何所包含的内容显得尤为丰富.它可以分为以下三个方面：

'第一、利月公式和基本性质计算长度、角度和面积

V第二、直线形中的比例关系

、第三、平面图形的运动、割补与几何变换

而立体几何的知识要点就显得单薄很多，小学立体几何所要掌握的知识要点加在一

起跟上述三类中的任何一类都差不多.这也就是为什么在绝大多数小升初考试中，难住

孩子、考倒孩子的都是平面几何问题，而不是立体几何.当然，这并不意味着立体几何

比平面几何简单，只是在小学阶段立体几何比平面几何简单很多罢了.

下面，我们就对小升初考试中所要涉及的平面几何知识做一个系统性板理，并对学

习方法、知识要点作一些画龙点睛式的点评.至于立体几何，由于内容相对较少，只做

一个简要的概述和总结.

1.平面几何中的若干基本性质和常用计算公式

(1)基本性质

1.三角形中“等边对等角，等角对等边”

2.〃边形内角和等于5-21x180。

3.平行四边形对角线互相平分

(2)基本计算公式

1.|一本周长、面积计算公式||

名称图影面积公式周长公坎

a

长方形baxb(a+b)x2

a□

正方形q.，4a

A

平行四边

axh—

形a

axh

三角形—

ZK2

a

a

Lh\

(a+b)x力

梯形b—

_/2

J

圆(万

、2xy

n、

扇形-----x万xy-—x2>zxr+2xr

-r360360

需要提一句的是扇形，扇形要作为国的一部分来理解和计算

2.IL^^I

a）正方形格点公式

S=（内点+边点+2-1]X单位正方形面积

b）三角形格点公式

S.=已X内点+边点-2仅单位三角形面积

格点公式在运用时，一定要注意在最后乘上单位面积，因为题

目中的单位图形面积未必是1!

3.||勾股定理||

直角三角形中，斜边的平方等于直角边的平

方•和•.如右叁所示，写成算式就是：〃+b，=/

2.直线形中的比例关系

（1）三角形内的比例关系

1.||等息二角形||（图形特征是：三角形或梯形被一分为二）

2.||平行线截三角形||：中位线，比例关系的转移

4.||燕尾定埋||：专门用来解决三角形被交叉线分割的问题

ab

京F=Sq+s,=b

(2)四边形内面积比例关系

1.||四边形被内部线段四分的情形||

ABCD是任意四边影月38是任意四边影

而和3。都是对角线8。是对角线，点。在5。上,

/0C是一条折线

3.平面图形的运动、割补与几何变换

这部分内容更多的不是知识性的，而