辽宁省七校协作体2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省七校协作体2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求.1.直线的倾斜角为（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为直线斜率为，所以直线的倾斜角为，故选：D．2.已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为是焦点在坐标轴上的椭圆，所以，解得：且，所以“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件．故选：B．3.已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（）.A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】因为向量，，共面，所以存在实数，使得.则可得.由，可列出方程组.由可得，将其代入中，得到.去括号得，移项合并同类项得，解得.将代入，可得.将，代入，可得.故选：B.4.圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意分析可知，圆心在轴上，且在轴的正半轴上，设半径为，圆心坐标为，，则，解得，其圆心坐标为，则圆的方程为，即.故选：D.5.已知椭圆的方程为，且离心率与双曲线的离心率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率为，椭圆的方程为，则该椭圆的长、短半轴长分别为，离心率，解得，对于A，，符合；对于B，，不符合；对于C，，符合；对于D，，符合.故选：B.6.如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】四面体的棱长都是4，四面体的4个面均为边长是4的等边三角形，点M为棱的中点，，，故选：A．7.是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，圆的圆心为，半径.因为到直线的距离，当且仅当时，等号成立，所以直线与该圆相离，所以的最小值为.故选：C.8.如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C〖祥解〗设，则二面角的大小为，根据，展开计算可得，即可求解.【解析】设，则二面角的大小为，由题意，，则，所以，即，得，所以，即二面角的大小为.故选：C.二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.下列四个命题中正确的是（）A.向量是直线的一个方向向量B.直线在坐标轴上的截距之和为C.直线与直线之间的距离为D.直线的倾斜角的取值范围是【答案】BC【解析】对于A，由直线，可得直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，因为与不共线，所以不是直线的一个方向向量，所以A错误；对于B，当时，；当时，，可得直线在坐标轴上的截距之和为，所以B正确；对于C，由直线可化为，两平行直线间的距离为，所以C正确；对于D，直线的斜率为，因为，所以，故直线倾斜角的取值范围是，所以D错误.故选：BC.10.在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.直线平面B.三棱锥的体积不是定值C.若正方体的棱长为2，点M在线段BC上运动，则点M到平面的距离最小值为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ACD【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨取正方体的棱长为2，，，，，，，，，

对于A：，，，所以，，且，所以是平面的一个法向量，即直线平面，故A正确；对于B：因为，平面，平面，所以平面，因为点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值，故由等体积法可知三棱锥的体积为定值，故B错误；对于C：设，则，由A选项可知平面一个法向量为，故点M到平面的距离为，因为，所以．即点M到平面的距离最小值为，故C正确；对于D：设，则，，由A选项可知平面的一个法向量为，所以直线与平面所成角的正弦值为：，当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，且最大值为，故D正确.故选：ACD.11.已知椭圆的左焦点为，半焦距长为，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A.的最小值为B.椭圆的短轴长可能为2C.椭圆的离心率的取值范围为D.若，则椭圆的长轴长为【答案】CD【解析】因为半焦距长为，可得左焦点为，右焦点为，因为，所以轴，对于A：，当且仅当，，三点共线时取到最小值为，故A错误；对于B：因为在椭圆内所以，所以短轴长，故B不正确；对于C：因为在椭圆内，所以长轴长，所以离心率，所以，故C正确；对于D：因为，所以为的中点，而，，，所以，所以长轴长，故D正确；故选：CD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线与直线，若，则______.【答案】【解析】若，则，所以或．当时，，重合；当时，符合题意．故答案为：.13.已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为______________．【答案】【解析】，即，圆心为，半径，，即最小时，面积最小.，故四边形面积的最小值为.故答案为：.14.已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则________.【答案】6【解析】设，由于，而，则，所以，．故答案为：6.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，已知三点.（1）若直线过点C且与直线AB垂直，求直线的方程；（2）若直线经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.解：（1）由，得直线的斜率为，由，得直线的斜率为，所以直线的方程为，即（2）设直线在上的截距为，当时，直线过原点及点，方程为，即；当时，直线的方程为，而直线过点，则，直线的方程为，所以直线的方程为或.16.已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线（1）求点P的轨迹E的方程;（2）设点，点，求的最大值;解：（1）设，则，，由，得，整理得，故点P的轨迹方程E为.（2）由（1）知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，，故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为，因为，所以点N在椭圆内，由椭圆的定义得，当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号，所以的最大值为·17.如图，在四棱锥中，为正三角形，，，平面，与平面所成角为45°.（1）若为的中点，求证：平面；（2）若，求点到平面的距离.（1）证明：平面，与平面所成角为45°，，，又为中点，.平面，平面，.，，平面，平面，∵平面，，又，平面，平面，∵平面，，，，，平面，平面，∵平面，，，平面，平面.（2）解：平面，平面，.又，故两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵，为等边三角形，∴，∵，∴，，则，，，，，，设平面的法向量为，，即取，则，，，，点到平面的距离.18.已知圆，圆的圆心在直线上，且过点．（1）求圆的标准方程；（2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率；（3）判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由．解：（1）设圆的圆心为，由得，解得，故圆心为，半径为，故圆的标准方程为；（2）设，则，显然过点的切线斜率存在，过点的切线方程设为，圆心到切线的距离为1，即，即，又，故，即，解得，故，即，即，圆心到的距离为2，即，故或，解得或，若，联立，解得，与矛盾，舍去，若，联立，解得或0（舍去），故，所以，故的斜率为；（3）不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下：设的方程为，由题意得，圆心到的距离，解得，圆心到的距离，解得，故，由垂径定理得，解得或，均不满足要求，故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且.19.如图，在三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上.（1）求证：；（2）若平面，求的值；（3）在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值.（1）证明：过作直线于，连接.由题知，，即，又平面,平面，又