新疆多校2026届高三上学期12月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1新疆多校2026届高三上学期12月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为集合，所以.故选：C.2.在等差数列中，，则（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】A【解析】由等差数列的性质可知，又，所以，则.故选：A.3.在中，是线段的中点，点E满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为是线段的中点，所以.因为，所以，则.故选：A.4.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选：D.5.某品牌酒产自陕西省宝鸡市．一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高．已知一箱原价800元的该品牌酒，储存年后的收藏价值（单位：元）满足函数关系式（m为常数）．若储存6年的此种品牌酒整箱的收藏价值为1200元，则此种品牌酒储存12年后整箱的收藏价值为（）A.元 B.元C.元 D.元【答案】B【解析】由，得.当时，，代入，得.故选：B.6.已知递增的等比数列满足，，则的公比（）A.6 B.3 C.2 D.【答案】B【解析】由，，解得或，因为是递增数列，所以，则，又为递增的等比数列，所以.故选：B.7.已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，因为，，所以；当时，因为，，所以.故“”是“”的充要条件.故选：B.8.函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，，故当，即时，，此时；当，即时，，此时；故，作出函数图象：由图象可得：当，即时，；当，即时，；当，即时，；当，即时，；故直线与的图像有且仅有两个不同交点，需满足：．故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A.B.的虚部为C.D.在复平面内对应的点位于第四象限【答案】ABD【解析】因为,所以，故A正确；的虚部为，故B正确；，故C错误；在复平面内对应的点为，在第四象限，故D正确.故选：ABD.10.如图，这是某十字路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口，，，的机动车辆数如图所示，例如：路口中的数字“55”表示单位时间驶入路口的机动车辆数，数字“50”表示单位时间驶出路口的机动车辆数.图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数(假设单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】依题意，有，所以，同理，，所以，同理，，所以，同理，，所以，所以．故选：AC．11.如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（）A.B.三棱锥体积的最大值为C.若，则三棱锥外接球的表面积为D.存在，使得平面【答案】ABD【解析】对A，，，，即，故A正确；对B，过作于，因为平面平面，平面平面，所以平面，即三棱锥的高为，，，当时，，故B正确；对C，当时，，故为中点，又为中点，所以，所以到距离都为，即外接球的球心为，球半径为1，所以外接球表面积，故C错误；对D，在正方体中，，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，当时，是的中点，此时平面，所以平面，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量，且，则__________.【答案】【解析】由题意可得，则，解得.故答案为：.13.一个装有水的圆柱形容器，水面与容器口的距离为9厘米，该容器的底面圆的直径为4厘米.现往该容器中放入一个半径为厘米的小球，该小球放入水中后直接沉入容器底部，此时容器内的水没有溢出，忽略容器壁的厚度，则该小球的半径的最大值是________.【答案】2【解析】要使小球沉入容器底部，且水没有溢出容器，只需小球的体积不大于容器剩余的容积，由题意知小球体积为，容器剩余的容积为，由，解得，又圆柱底面半径为2，所以该小球的半径的最大值是2.故答案为：2.14.若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为__________.【答案】【解析】因为对任意的，不等式恒成立，所以恒成立．令函数，因为在上均单调递增，则在上单调递增，则，即，则，又，因为，所以．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若的面积为，求的周长.解：（1）因为，所以，则，即.又，所以，解得.（2）因为的面积为，所以.又，所以，则，解得，所以的周长为.16.如图，在长方体中，.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求到平面的距离；（3）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则，.因为，所以，即异面直线与所成角的余弦值为.（2）设平面的法向量为，则，令，得.设到平面的距离为，则，即到平面的距离为.（3）设直线与平面所成的角为，∵，∴，即直线与平面所成角的正弦值为.17.记为等差数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）由数列为等差数列，则，解得，可得等差数列的公差，可得所以等差数列的通项公式为..（2）由等差数列易知，则，设数列的前项和为，可得，当时，；当时，.综上可得数列的前项和为.18.如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，是棱的中点.（1）设.①证明：平面平面.②求点到平面的距离.（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角.（1）①证明：取棱的中点，连接，.因为，且是棱的中点，所以.因为，且是棱的中点，所以.因为，所以.因为，所以，所以.因为平面，平面，且，所以平面.因为平面，所以平面平面.②解：由①可知，，两两垂直，则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图1所示的空间直角坐标系.由题中数据可得，，，，则，，.设平面的法向量为，则令，得，故点到平面的距离为.（2）解：以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图2所示的空间直角坐标系.设（），则，，，，故，，.设平面的法向量为，则令，得.因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得.因为，所以，则，.因为，，，所以，.设平面的法向量为，则令，得.设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面的夹角为.19.已知函数.（1）若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值.（2）设是的三个零点.（i）求的取值范围；（ii）证明：.（1）解：，所以，则.因为曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，所以，解得.（2）（i）解：令，则，令，则，所以，则的单调递增区间为，单调递减区间为，当，，当，，又，，有三个零点，所以的取值范围为.（