广东省中山市2026年中考数学诊断试卷附答案

中考数学诊断试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列银行图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A． B． C． D．2．一个不透明的袋中，装有1个黄球、2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同.从袋中任意摸出一个球，是红球的概率是()A． B． C． D．3．将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定能与原图形重合的是()A．平行四边形 B．长方形 C．正六边形 D．正方形4．如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是()A． B．C．∠A=∠D，∠B=∠E D．∠A=∠B，∠D=∠E5．下列现象中，不属于中心投影的是()A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子C．阳光下窗框的影子 D．探照灯下物体的影子6．如图，△ABD内接于⊙O，连接OA，OB，若∠AOB=70°，则∠D度数是()A．50° B．25° C．40° D．35°7．若方程的两根分别为x1，x2，则A．-1 B．-2 C．-3 D．-48．反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是()A．k>0B．y随x的增大而减小C．若矩形OABC面积为2，则k=-2D．若图象上点B的坐标是(-2，1)，则当x<-2时，y的取值范围是y<19．2025年9月13日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力.如图，乐器上的一根弦AB长为80cm，两个端点A，B固定在乐器的板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点(即)，则支点C到端点B的距离为()A． B．C． D．10．图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题.二次函数与其图象，由图象可以看出函数的开口方向、对称轴以及y随x的变化规律，也可以看出x取某个值时，y的取值情况.已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①ab>0；②a-b>0；③a+b+1<0；④9a-3b+1>0.其中所有正确结论的序号是()A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11．若关于x的方程有一根是x=3，则另一个根是.12．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为.13．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE＝.14．如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°，弧长为6π的扇形，则圆锥的高h为.15．如图，矩形ABCD的边AB=4，AD=3，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠APD=90°，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为.三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．计算：17．如图，直线y=x+5与反比例函数的图象交于点A(a，6).（1）求a的值和反比例函数的表达式.（2）直线y=x+5向下平移后与反比例函数的图象交于点B(b，2)，求直线y=x+5向下平移的距离.18．亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红.据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件.（1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少?（2）若增长率不变，则该吉祥物“江南忆”公仔11月份的销售量是多少?19．2022年11月21日，卡塔尔足球世界杯正式开赛，本届世界杯口号是“此刻即所有(NowisAll)”.某校为了了解学生对各类体育运动的喜爱程度，随机抽取部分学生进行问卷调查(每个被调查学生只能选择其中一种项目)，对调查结果统计后，绘制了如下统计图：根据统计图提供的信息，回答下列问题：（1）此次调查抽取的学生人数为人；（2）补全条形统计图；（3）学校准备从每一项运动中选择一位学生，并在他们中任意抽取两人进行体能测试，请用画树状图或列表的方法求正好抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的概率.20．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点C的直线MN∥AB，∠C=75°，∠D=45°.（1）求证：MN是⊙O的切线；.（2）若AC=12，求CD的长.21．【问题情境】在我们的生活中，处处都蕴含着数学.小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究.他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁(如图①)，另一类是洗手间内的旋转门锁(如图②).【问题提出】数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图.图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由和矩形ABCD组成，且圆心是倒锁按钮点F，若的弓形高EG=2cm，CD=8cm，此时可求出图③中圆心F到AB的距离.图④是图②门锁的工作简化图，锁芯O固定在门边RP右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达K处，把手绕锁芯O旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边N点处，此时∠NOS=20°.将ON绕点O顺时针旋转90°得到OQ，过点Q作QM⊥PR于点M.若(QN所在圆的半径ON=10cm，此时可求出MN的长度.(参考数据：【问题解决】（1）请求出图③中圆心F到AB的距离；（2）请求出图④中MN的长度(结果保留小数点后一位).22．如图，直线与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B.抛物线经过点A，B.（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M(m，0)为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标.23．我们约定：如图1，与x轴相交于A(xA，yA)、B(xB，yB)两点，顶点为M，而抛物线的顶点恰好为上的点B，且经过的顶点M，那么我们将抛物线称为抛物线的“兄弟函数”.（1）填空：抛物线的“兄弟函数”为；（2）若抛物线存在“兄弟函数”，求c的取值范围；（3）已知点P是正比例函数上一点，抛物线从点O出发，在射线OP上移动，运动t秒后，移动距离为得到抛物线G2，抛物线G2的“兄弟函数”为G3.①当t=3时，抛物线G2的解析式为▲；②当t=4时，求抛物线G3的解析式；③设抛物线G3与G1的另一交点为D，当OM=MD时，求t的值.

答案1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】-212．【答案】y=(x-2)2+413．【答案】100°14．【答案】615．【答案】3.516．【答案】解：解：

=

=17．【答案】（1）解：∵点A在直线y=x+5上，

∴6=a+5，

∴a=1；

∵点A在反比例函数的图象上，

∴k=1×6=6，

∴反比例函数的表达式为：y=（x＞0）；（2）解：∵点B(b，2)在反比例函数y=（x＞0）的图象上，

∴2b=6，

∴b=3，

设直线y=x+5向下平移后的解析式为y=x+m，

∵点B在直线y=x+m上，

∴2=3+m，解得：m=-1，

∴直线y=x+5向下平移后的解析式为y=x-1，

∵5-（-1）=6，

∴直线y=x+5向下平移的距离为6.18．【答案】（1）解：设月平均增长率是x，

根据题意，得：5（1+x）2=7.2

解方程。得：x1=0.2=20%；x2=-2.2（舍去）

答：月平均增长率为20%。（2）解：7.2×（1+20%）=8.64（万件）

答：11月份的销售量是8.64万件19．【答案】（1）100（2）解：参加乒乓球的人数为：100-（10+40+20）=30（人）

补全条形统计图如下：

（3）解：设足球、篮球、羽毛球和乒乓球运动分别记为A、B、C、D，

画树状图为：

由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽到两人是喜爱"足球”和“乒乓球”运动的结果有2种，所以概率为：。20．【答案】（1）证明：AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点C的直线MN∥AB，连接OC，∵∠BDC=45°，∴∠BAC=∠BDC=45°，∴∠BOC=2∠BAC=90°，∵MN经过点C，且MN∥AB，∴∠OCM=∠BOC=90°，∴MN是⊙O的切线（2）解：如图，过点O作OF⊥CD于点F，

∵∠A=∠BDC=45°，OA=OC

∴∠AOC=90°，

∵AC=12

∴2OA2=122

∴OA=OC=6，

∵∠ACD=75°，

∴∠OCF=30°，

∴OF=，

∴CF=

∴CD=2CF=2×=。21．【答案】（1）解：连接AF，延长FH交圆弧AB于点T，

∵AB=DC，弓形高EG=2cm，

∴弓形高TH=2cm。

∵矩形ABCD，CD=8cm，

∴AB=8cm，AH=-AB=4cm。

设AF=xcm，则FH=(x-2)cm。

在△AFH中，由勾股定理：

(x-2)2+42=x2

x2-4x+4+16=x2

-4x=-20

x=5

∴FH=5-2=3cm。

答：圆心F到AB的距离为3cm.（2）解：延长QM与KO交于点W。

∵∠WMN=∠MNS=∠NSO=90°，

∴∠W=90°。

∵ON绕点O顺时针旋转90°得OQ，

∴OQ=ON=10cm，∠QON=90°。

∴∠QOW+∠NOS=90°。

∵∠NSO=90°，

∴∠NOS+∠ONS=90°。

∴∠ONS=∠QOW.

在△QWO和△OSN中：

∠W=∠OSN=90°

∠QOW=∠ONS

OQ=ON

∴△QWO≌△OSN(AAS)

∴WO=NS.

易证四边形MNSW是矩形，

∴MN=WS=OW+OS。

在Rt△ONS中：

NS=ON.sin∠NOS=10.sin20°≈10x0.342≈3.42

OS=ON·cos∠NOS=10.cos20°≈10x0.940≈9.40

∴MN=3.42+9.40=12.82≈12.8cm。

答：MN的长度约为12.8cm。22．【答案】（1）解：∵直线与x轴交于点A(3，0)，

∴0=

解得：c=2，

∴直线的解析式为：y=

令x=0，则y=2，

∴点B的坐标为（0，2）

∵抛物线经过点A，B.

∴

解得：

∴抛物线的解析式为：（2）解：(2)由(1)可知直线解析式为y=：

∵M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，

∴P(m，），N(m，），

∴PM=，AM=3-m，PN=-()=

∴△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM

∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，

当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，

∴N点的纵坐标为2，

∴=2，解得m=0(舍去)或m=

∴M(，0）

当∠NBP=90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，

则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=-2=，

∵∠NBP=90°，

∴∠NBC+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠BNC，

∴RtRtBOA，

∴

∴

解得m=0(舍去)或m=

∴M(，0），

综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为(，0），（）23．【答案】（1）y=2x2-4x+2（2）解：存在“兄弟函数”，理由如下：

令y=-x2+2x+2=0，

当△=b2-4ac=4+4c>0时，

抛物线与x轴有2个交点，

解得：c>-l；（3）解：由题可得，移动速度为每个单位长度，射线OP是角平分线，

抛物线y=-沿射线OP的方向运动，t秒钟向右移动了t个单位，向上移动了t个单位，

此时，G2：y=(x-t)2+t，顶点M为(t.t)，

令y=0，则x=1+2，点B的坐标为(t+2.0)，

同理可得：G3：y=(x-t-2)2，

①当t=3时，G2：y=-(x-t)2+t=-(x-3)2+3

②当t=4时，G3：y=(x-t-2)