湖南省衡阳市2026年中考数学自检试卷附答案

中考数学自检试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列各数中，是无理数的是（）A． B． C．3.1415926 D．2．去年，江苏省城市足球联赛热度空前，赛事全程吸引现场总观众人数超2430000.将2430000用科学记数法表示，正确的是（）A．243×104 B．24.3×105 C．2.43×106 D．0.243×1073．下列各式计算正确的是（）A．a3•a2=a6 B．（a3）4=a7C．a6÷a2=a4 D．（2a2b）3=2a6b34．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光.以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）A． B．C． D．5．不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B．C． D．6．某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（）A．130 B．158 C．160 D．1927．若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜﹣2 B．m＜0 C．m＞﹣2 D．m＞08．如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C.若∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30° B．20° C．40° D．50°9．用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形ABCD，测得，活动学具成图（2）所示的四边形ABCD，测得∠A=120°，则图（2）中BD的长是（）A． B． C． D．10．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械.桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，AB=6米，OA：OB=2：1.当点A位于最高点时，∠AOM=120°.此时，点A到地面的距离为（）A．米 B．5米C．6米 D．7米二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．因式分解：=.12．分式方程的解为．13．计算：=.14．抛物线y=3（x+1）2+4的顶点在第象限.15．如图，在扇形纸扇中，若∠AOB=150°，OA=12，则的长为.16．如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC-CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP.设点P的运动时间为t（s），DP2为y.当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示.有以下四个结论：①AB=3；②当t=5时，y=1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC-CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2=6，则y1＞y2.其中正确结论的序号是.三、计算题：本大题共1小题，共9分。17．计算：四、解答题：本题共7小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18．先化简，后求值：（x+1）2-（x-2）（x+2），其中x=3.19．某校为了解学生寒假参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查，家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等.学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次被抽取的学生人数为；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是°；（4）若该校有学生2400人，请估计该校寒假参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数.20．春节贴春联的民俗起于宋代并在明代开始盛行.南宋诗人陆游在《己酉元日》中写道：“桃符呵笔写，椒酒过花斟.”这里的“桃符”就是春联.某超市在春节前夕欲购进A，B两种春联进行销售，已知购进1副A种春联与2副B种春联共需18元，购进2副A种和3副B种春联共需31元.（1）求A种春联和B种春联的单价分别为多少元？（2）该超市计划购买A种春联和B种春联共300副，总费用不超过2100元，那么最多能购买A种春联多少副？21．如图，点C为矩形ABCD和正方形CEFG的公共顶点，点E，F在矩形的边AD，AB上，FG交BC于点H.（1）求证：AE=CD；（2）连接GE，若CD=4，F是AB的中点，求GE和GH的长.22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=mx+n的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3）和点B（3，-1）.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若P是第四象限内双曲线上的点（不与点B重合），连接OP，过点P作y轴的平行线，与直线AB相交于点C，连接OC.若△POC的面积为，求点P的坐标.23．如图，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线PA，C是⊙O上一点（点C与点A不重合），且PC=PA，连接AC，BC，BP，BP交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，CD.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若BD＞AD，AB=4，，求∠PAD的度数；（3）记△PCE的面积为S1，△ABE的面积为S2，四边形PABC的面积为S，若满足，试证明：①PC∥AB；②PA•AD=AC•CD.24．中国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万乘休”.在函数的学习中，常常利用数形结合思想来探究函数的图象与性质.我们不妨约定：图象经过平面直角坐标系中三个象限的函数称为“之一函数”，例如一次函数y=5x+7经过第一、二、三象限，即属于“之一函数”.（1）在下列关于x的函数中，是“之一函数”的是（填序号）.①y=2x；②；③y=x2-4x+3；（2）①若关于x的二次函数y=mx2-4mx+m+2是“之一函数”，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（其中x1＜x2），与y轴交于点C，且mx1-x1+mx2-x2=0，求该二次函数的解析式.②在①的条件下，点P是二次函数y=mx2-4mx+m+2图象第一象限上的点，问是否存在点P，使得∠PCA=45°，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.（3）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c是“之一函数”，其图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是AB的中点，点O是坐标原点，已知c≥a＞0，且，试求：的最大值.

答案1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】B11．【答案】m(m-n)12．【答案】x=113．【答案】414．【答案】二15．【答案】10π16．【答案】①②④17．【答案】解：=1+3-+=418．【答案】解：(x+1)2-(x-2)(2+x)

=x2+2x+1-(x2-4)

=x2+2x+1-x2+4

=2x+5，

把x=3代入得：原式=2×3+5=1119．【答案】（1）100（2）解：“3项”的人数为100-3-30-42-10=15，

​​​​​​​（3）36（4）解：若该校有学生2400人，请估计该校寒假参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数为：

∵“3项及以上”的学生人数为15+10=25人，

∴(人)

答：估计该校寒假参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数为60020．【答案】（1）解：设A种春联单价为x元，B种春联单价为y元，

根据题意得

解得

∴A种春联单价为8元，B种春联单价为5元（2）解：设购买A种春联a副，则购买B种春联(300-a)副，

根据题意得，8a+5(300-a)≤2100

化简得3a≤600

解得a≤200

∴最多能购买A种春联200副21．【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=90°，∴∠AFE+∠AEF=90°．∵四边形CEFG是正方形，∴EF=CE，∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，∴∠AFE=∠DEC．在△AEF和△DCE中：，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE=CD（2）解：如图，过点G作GM⊥BC，交BC于M，

∴∠GMH=∠GMC=90°，

∵四边形ABCD是矩形，CD=4

∴AB=CD=4，∠B=∠D=∠GMC=∠BCD=∠GMH=90°

∵F为AB中点，

∴

由(1)得△AEF≌△DCE，

∴DE=AF=2.

在Rt△CDE中，

∵四边形CEFG是正方形，

∴，∠GCE=∠BCD=90°

∴∠GCM=∠ECD，

在Rt△GCE中，，

∵∠GMC=90°

∴∠CGM+∠GCM=90°

∵∠GCE=90°，

∴∠DCE+∠GCM=90°，

∴∠CGM=∠DCE

在△CGM和△CED中，

∴△CGM≌△CED(AAS)

∴GM=DE=2=BF

在△FBH和△GMH中

∴△FBH≌△GMH(ASA)，

∴FH=GH

∵

∴22．【答案】（1）解：由条件可得：，，

解得：k=-3，a=-1，

∴A(-1，3)，反比例函数的解析式为

把A(-1，3)，B(3，-1)代入y=mx+n得，

解得

∴一次函数的解析式为y=-x+2（2）解：如图，设

由条件可知C(m，-m+2)，

当点C1在点P1上方时，

，

∵P是第四象限内双曲线上的点

∴m>0，

∴

整理得，m2-2m+2=0，

∵Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0，

∴该方程无实数根，此种情况不存在；

当点C在点P下方时，

∴

整理得，m2-2m-8=0

解得：m1=4，m2=-2(舍去)

∴

∴23．【答案】（1）解：如图1，PA是⊙O的切线，连接OP，OC，∴OA⊥PA，即∠PAO=90°，在△APO和△CPO中，，∴△APO≌△CPO（SSS），∴∠PCO=∠PAO=90°，∴半径OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠PAO=90°，∴∠PAB=∠ADB=90°，∴∠PAD=90°-∠BAD=∠ABP，设∠ABP=∠PAD=θ，AD=b，DB=a，则，∴AP=ABtanθ=4tanθ，∵，，，则a＞b，∴，，又∵（a+b）2=a2+b2+2ab===，∴或（不合题意，舍去），又∵，∴，∵a＞b，∴，，∴，∴∠PAD=30°（3）解：①如图2，过点C作CF⊥PB于点F，记△PAE的面积为S3，△BCE的面积为S4，∴，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即．∴，∴S3=S4，∴S3+S2=S4+S2，即S△PAB=S△ABC，∴C到AB的距离和P到AB的距离相等，∴PC∥AB；②∵PA⊥AB，PC∥AB，∴∠APC=180°-∠PAB=180°-90°=90°，∴PA⊥PC，∵PA，PC是⊙O的切线，∴PA=PC，∴△PAC是等腰直角三角形，∴∠PAC=45°，∴∠CAB=90°-45°=45°，∴∠ABC=90°-45°=45°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC=180°-∠ABC=135°，又∵∠ADP=∠ADB=90°，∴∠PDC=360°-135°-90°=135°=∠ADC，∵，∴∠ACD=∠ABD，又∵PC∥AB，∴∠ABD=∠CPD，∴∠ACD=∠CPD，∴△ACD∽△CPD，∴，∴PC•AD=AC•CD，又∵PA=PC，∴PA•AD=AC•CD24．【答案】（1）③（2）解：①由题意可得：

即x1、x2为方程mx2-4mx+m+2=0的解，

∴

∵mx1-x1+mx2-x2=(m-1)(x1+x2)=0，即(m-1)·4=0，

解得m=1

∴二次函数的解析式为y=x2-4x+3；

②由二次函数的解析式为y=x2-4x+3，

当y=0时，x2-4x+3=0，

解得x1=1，x2=3，

故点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，

将点A(1，0)绕点C逆时针旋转90°得到点D(3，4)，连接AC、CD、AD，取AD中点为G，连接CG并延长，交抛物线与点P，如下图所示：

∵∠ACD=90°，AC=CD，

∴三角形ACD为等腰直角三角形，

即∠DCA=45°.

∵G为AD中点

故CG⊥AD，且G点坐标为，即G(2，2)，

∴∠CGA=90°

∴∠GCA=45°=∠PCA，

令直线CG函数表达式为yCG=kCGx+bCG，

将点C(0，3)，G(2，2)代入yCG=kCGx+bCG，

得

解得

故直线CG函数表达式为yC