2025-2026年济南高新区八年级第二学期数学期中考试试题以及答案

-2026学年第二学期期中八年级数学参考样题本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分。本试题共6页，满分为150分。考试时间为120分钟。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。本考试不允许使用计算器。第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.交通标志是实施交通管理，保证道路交通安全、顺畅的重要措施。以下交通标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）2.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A.x(x−2)=x2−2xB.(x+1)2=x2+2x+1C.x+2=x(1+1x)D.x23.下列分式是最简分式的是（）A.xxyB.x3x+1C.63y4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，请添加一组条件，使四边形ABCD是平行四边形，以下添加条件不正确的是（）A.AB=CD，AD=BCB.AB=CD，AB∥CDC.AO=CO，BO=DOD.AB∥CD，AD∥BC5.在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，若点A(2,−5)的对应点A′的坐标为(−1,−3)，则点B(−1,1)的对应点B′的坐标是（）A.(−2,3)B.(2,3)C.(−4,−1)D.(−4,3)6.已知点A(−6,−9)关于x轴的对称点为B(m,n)，则多项式x2+mx+n可因式分解为（）A.(x−3)2B.(x+3)2C.(x−6)2D.(x−2)(x−3)7.下列说法正确的是（）A.如果一个正多边形的边数增加1，内角和与外角和均增加180∘B.分式32x与1xy2C.当分式m2D.三角形的外角可能小于它的内角8.若多项式9x2+12x+m可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（）A.−4B.±6C.2D.49.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC边的中点，G、H两点在对角线BD上，且BG=DH，则下列结论中不正确的是（）A.FG⊥BDB.GF=EHC.EF与BD互相平分D.∠DEH=∠BFG10.如图，在Rt△ABC中，AC=BC，G为AB的中点，直角∠MGN绕点G旋转，它的两条边分别交CA、CB的延长线于点E、F，若AE=6，BF=10时，EF的长为（）A.10B.410C.234D.229第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.若分式xx+312.分解因式：a2−4b2=____________。13.如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若EF=5，CE=2，则AD的长为______。14.关于x的分式方程2x2−3x+m15.如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC=6，PQ=4，则PC+AQ的最小值为____________。三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（7分）分解因式：(1)8m2n+2mn(2)2x3y+4x2y2+2xy317.（7分）先化简，再求值：(2x−3x−2−1)÷x18.（7分）解方程：(1)1x−2+2=3x−2(2)2x2x−519.（8分）如图，点E、F在BD上，且AE=CF，BF=DE，∠AEB=∠CFD，连接AD、BC。求证：四边形ABCD是平行四边形。20.（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,2)，B(0,1)，C(1,−1)。(1)画出将△ABC向左平移4个单位后得到的图形△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转180∘后得到的图形△A2B2C；(3)若在平面内有一点D，当以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点D的坐标。21.（9分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，且点A,B,E在同一条直线上。(1)求证：DA平分∠BDE；(2)AC与DE交于点O，∠AOE=95∘，求旋转角α的度数。22.（10分）今年4月23日是第31个世界读书日。某中学举办“书香润心灵・阅读伴成长”的主题活动。学校图书馆计划订购一批鲁迅文集和四大名著套装。(1)管理员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元。花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同。求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？(2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？23.（10分）【阅读材料】我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式。如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解。例如：x2+4x+3=x2+4x+4−1（此处可看作在原式上添加“+4−4，也可看作将3拆分为“+4−1”）=(x+2)2−12=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1)。【解决问题】(1)根据材料，将x2−6x−16分解因式；(2)根据材料，将x2+2xy+y2+10x+10y+16分解因式；(3)已知a、b分别为等腰三角形的腰和底，且满足a2+b2−4a−2b+5=0，求该等腰三角形的周长。24.（12分）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“幸福分式”，常数k称为“幸福值”。如分式M=15xx+1，N=15x+1，M+N=(1)已知分式A=x−1x−2，B=x−3(2)已知分式C=5x−4x−2，D=M①求M=____________（用含x的式子表示）；②若x为正整数，且分式D的值为正整数，求x的值；(3)若分式E=(x−a)(x−5)4−x，F=(x−b)(x−c)x−4（b、25.（12分）阅读：材料一：含30∘角的直角三角形，30∘角所对的直角边等于斜边的一半；材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。完成以下问题：在△ABC中，∠BAC=120∘，点D是边BC上的一点。(1)已知AB=AC，将线段AD绕点A逆时针旋转120∘得到线段AE，连接CE、DE。①如图1，△ABD与△ACE是否全等？____（填“是”或“否”），若∠DEC=90∘，则BD=____；②如图2，以AD为边在其右侧作∠DAF=60∘，交边BC于点F，若CF=4，BC=10，求DF的长；(2)如图3，点D是边BC的中点，将线段AD绕点A逆时针旋转120∘得到线段AE，连接CE，点M是边AB上一点，连接CM，满足∠ACE=∠AMC，已知CE=6，AM=4，求BM的长。答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.交通标志是实施交通管理，保证道路交通安全、顺畅的重要措施。以下交通标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（B）2.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（D）A.x(x−2)=x2−2xB.(x+1)2=x2+2x+1C.x+2=x(1+1x)D.x23.下列分式是最简分式的是（B）A.xxyB.x3x+1C.63y4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，请添加一组条件，使四边形ABCD是平行四边形，以下添加条件不正确的是（B）A.AB=CD，AD=BCB.AB=CD，AB∥CDC.AO=CO，BO=DOD.AB∥CD，AD∥BC5.在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，若点A(2,−5)的对应点A′的坐标为(−1,−3)，则点B(−1,1)的对应点B′的坐标是（D）A.(−2,3)B.(2,3)C.(−4,−1)D.(−4,3)6.已知点A(−6,−9)关于x轴的对称点为B(m,n)，则多项式x2+mx+n可因式分解为（A）A.(x−3)2B.(x+3)2C.(x−6)2D.(x−2)(x−3)7.下列说法正确的是（D）A.如果一个正多边形的边数增加1，内角和与外角和均增加180∘B.分式32x与1xy2C.当分式m2D.三角形的外角可能小于它的内角8.若多项式9x2+12x+m可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（D）A.−4B.±6C.2D.49.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC边的中点，G、H两点在对角线BD上，且BG=DH，则下列结论中不正确的是（A）A.FG⊥BDB.GF=EHC.EF与BD互相平分D.∠DEH=∠BFG10.如图，在Rt△ABC中，AC=BC，G为AB的中点，直角∠MGN绕点G旋转，它的两条边分别交CA、CB的延长线于点E、F，若AE=6，BF=10时，EF的长为（C）A.10B.410C.234D.229第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.若分式xx+3有意义，则x应满足的条件是_____x≠﹣312.分解因式：a2−4b2=_____（a+2b）（a﹣2b）_______。13.如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若EF=5，CE=2，则AD的长为___3___。14.关于x的分式方程2x2−3x+m3x−2=2有增根，则m的值是______15.如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC=6，PQ=4，则PC+AQ的最小值为_____213_______。三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（7分）分解因式：(1)8m2n+2mn(2)2x3y+4x2y2+2xy3=2mn（4m+1）=2xy（x2+2xy+y2）=2xy（x+y）217.（7分）先化简，再求值：(2x−3x−2−1)÷x解原式=2x﹣3=1∵x﹣2≠0，x﹣1≠0∴x≠2且x≠1∴x=3代入得118.（7分）解方程：(1)1x−2+2=3x−2(2)2x2x−5解：（1）1+2(x−2)=31+2x−4=32x=6x=3检验：把x=3代入x−2≠0，∴方程的解为x=3。（2）2x(2x+5)−2(2x−5)=(2x+5)(2x−5)4x2+10x−4x+10=4x2−256x=−35x=−35检验：当x=−356时，(2x+5)(2x−5)≠∴x=−35619.（8分）如图，点E、F在BD上，且AE=CF，BF=DE，∠AEB=∠CFD，连接AD、BC。求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：∵BF=DE∴BF−EF=DE−EF∴BE=DF​在△ABE和△CDF中，AE=CF∴△ABE≌△CDF

(SAS)∴AB=CD,∠ABE=∠CDF∴AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形。20.（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,2)，B(0,1)，C(1,−1)。(1)画出将△ABC向左平移4个单位后得到的图形△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转180∘后得到的图形△A2B2C；(3)若在平面内有一点D，当以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点D的坐标。（1）（2）如图（3）(2,4),(4,0),(-2,-2)21.（9分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，且点A,B,E在同一条直线上。(1)求证：DA平分∠BDE；(2)AC与DE交于点O，∠AOE=95∘，求旋转角α的度数。(1)证明：∵△ABC

绕点

A

逆时针旋转得到

△ADE∴∠ADE=∠B,

AD=AB∴∠ADB=∠B∴∠ADE=∠ADB∴DA

平分

∠BDE(2)解：(2)解:∵∠AOE=95°∴在△AOE中,∠E+∠CAE=85∵∠CAE=∠C+∠B∴∠E+∠C+∠B=85由旋转得∠C=∠E，∴2∠E+∠B=85°①∵∠ADE=∠B,∠ADB=∠B在△BDE中，∠E+3∠B=180°②由①②解得，∠E=15∘，∠B=55∘∴∠CAE=70∘即旋转角α的度数是70∘。22.（10分）今年4月23日是第31个世界读书日。某中学举办“书香润心灵・阅读伴成长”的主题活动。学校图书馆计划订购一批鲁迅文集和四大名著套装。(1)管理员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元。花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同。求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？(2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？(1)设鲁迅文集（套）单价为x元，四大名著（套）单价为(x+25)元。得3000x=解得x=50​检验：x=50是方程的解，且符合题意。x+25=50+25=75答：鲁迅文集单价是50元，四大名著单价是75元。(2)设购买鲁迅文集a套，则购买四大名著(30−a)套。得50a+75(30−a)≤1960解得：11.6≤a≤13∵a为正整数，∴a=12或13。两种方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套。23.（10分）【阅读材料】我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式。如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解。例如：x2+4x+3=x2+4x+4−1（此处可看作在原式上添加“+4−4，也可看作将3拆分为“+4−1”）=(x+2)2−12=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1)。【解决问题】(1)根据材料，将x2−6x−16分解因式；(2)根据材料，将x2+2xy+y2+10x+10y+16分解因式；(3)已知a、b分别为等腰三角形的腰和底，且满足a2+b2−4a−2b+5=0，求该等腰三角形的周长。(1)x2−6x−16=(x2−6x+9)−25=(x−3)2−52=(x−3−5)(x−3+5)=(x−8)(x+2)(2)x2+2xy+y2+10x+10y+16=[(x+y)2+10(x+y)+25]−9=(x+y+5)2−32=(x+y+5−3)(x+y+5+3)=(x+y+2)(x+y+8)(3)a2+b2−4a−2b+5=0(a−2)2+(b−1)2=0∵(a−2)2≥0,

(b−1)2≥0∴a=2,

b=1若腰为1，底为2，不满足三角形三边关系，舍去；若腰为2，底为1，可构成三角形，周长为2+2+1=5。24.（12分）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“幸福分式”，常数k称为“幸福值”。如分式M=15xx+1，N=15x+1，M+N=(1)已知分式A=x−1x−2，B=x−3(2)已知分式C=5x−4x−2，D=M①求M=____________（用含x的式子表示）；②若x为正整数，且分式D的值为正整数，求x的值；(3)若分式E=(x−a)(x−5)4−x，F=(x−b)(x−c)x−4（b、(1)A+B=x−1x−2+x−3x−2=∴A与B互为“幸福分式”，k=2。(2)①M=−6x−12②D=−6x−12x2由D为正整数，得x−2是−6的正因数，解得x=1,0,−1,−4，又x为正整数，故x=1。(3)E+F=(x−a)(x−5)4−x+x−4∵a=b+c∴c=5,

a=4

或

16​25.（12分）阅读：材料一：含30∘角的直角三角形，30∘角所对的直角边等于斜边的一半；材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。完成以下问题：在△ABC中，∠BAC=120∘，点D是边BC上的一点。(1)已知AB=AC，将线段AD绕点A逆时针旋转120∘得到线段AE，连接CE、DE。①如图1，△ABD与△ACE是否全等？____（填“是”或“否”），若∠DEC=90∘，则BD=____；②如