贵州省遵义市第十二中学2025-2026学年第二学期 一模学业水平质量监测九年级数学试题卷

贵州省遵义市第十二中学2025-2026学年第二学期一模学业水平质量监测九年级数学试题卷一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）1．当x=2时，代数式x+1的值等于（）A．−1 B．1 C．2 D．32．五个小正方体堆成如图所示的几何体，它的俯视图为（）A． B． C． D．3．据统计，某日某搜索平台使用DeepSeek解决的问题超过9540000个，数字9540000用科学记数法表示是（）A．95.4×104 B．9.54×105 C．4．下列计算中，正确的是（）A．a2⋅a3=a5 B．5．下列调查中，最适宜采用普查的是（）A．调查某河流的水污染情况B．调查全国九年级中学生的睡眠情况C．调查某品牌圆珠笔的使用寿命情况D．检查“神舟十八号”载人飞船的各零部件6．我国北宋诗人欧阳修名言：“立身以立学为先，立学以读书为本”表达了学习和读书的重要性．为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆300人次，前三个月累计进馆1092人次，设进馆人次的月平均增长率为x，依题意可列方程（）A．3001+x2=1092C．3001+x+x27．如图，a∥b，将一个直角三角板的两个锐角顶点放在直线a，b上，若∠1=60°，则A．30° B．40° C．45° D．60°8．若方程x2−3x+1=0的两个实数根分别是x1A．7 B．9 C．11 D．139．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，连接AC，AD，若∠BAC=35°，则∠D的度数为（）A．35° B．55° C．60° D．70°10．一个圆锥的底面圆半径是1，高为22A．60° B．90° C．120° D．150°11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（）A．10 B．8 C．5 D．412．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BC⊥DC，∠BAD=60°，AD=3，DC=2．以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E；又以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AD、AB于点G、F；再分别以G、F点为圆心，大于2GF长为半径画弧，两弧交于点H．作射线AH交DC延长线于点M，连接ME交BC于点N，则BN的长是（）A．1 B．32 C．33 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．若x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.14．若x、y为有理数，且5−x2+y+5=015．如图，现有3张卡片，正面书写不同类型的变化，除此之外完全相同，把这3张卡片背面朝上洗牌，从中随机抽取1张卡片，则这张卡片呈现的变化是化学变化的概率是．16．如图，在平面直角坐标系中，已知点P−2，0，点M是直线AB：y=12x+2上的一个动点，连接PM，将PM绕点P逆时针旋转90°到三、解答题（本题共9小题，共98分）17．计算（1）计算：3.14−π（2）先化简，再求值．1−1a+1⋅18．如图，已知平行四边形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，连接DE，BF．（1）请选择下面的条件①或条件②，求证：四边形DEBF是平行四边形．条件①：E，F分别是AB，CD的中点；条件②：∠DEA=∠FBA．（2）若DE平分∠ADC，且AD=4，BE=3，求平行四边形19．随着人工智能（简称：AI）的发展，智能手机成为我们生活中最得力的助手和伙伴，为我们提供了便捷的信息获取方式、高效的工作工具和多样的娱乐选择，然而，在享受这些便利的同时，我们也逐渐面临着视力下降的问题．为此，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为：“非常重视”、“重视”、“比较重视”、“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为_____，并补全条形统计图．（2）学校安排专业人员检测了样本数据中“不重视”组别全部学生的视力情况（满分5.0），结果如表，计算该组别同学视力情况的平均值．视力情况4.24.34.44.5人数6541（3）已知该校参与调查的学生中，“非常重视”视力保护的有4人，其中男生2人，女生2人．从这4名“非常重视”的学生中随机抽取2人参加视力保护宣传活动，用树状图或者列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．20．如图，山坡上有一棵与水平面EF垂直的大树AB，一场暴风雨过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=30°，量得树干倾斜角∠BAC=22°，大树被折断部分CD和坡面所成的角∠ADC=37°,AD=5米．（1）求∠CAD的度数；（2）求这棵大树折断前AB的高度．（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈321．心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化、开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）．（1）求CD段反比例函数的解析式；（2）开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？22．2020年是极不平凡的一年，全国980多万绝对贫困人口按时脱贫．某校在扶贫中计划选购甲、乙两种化肥帮扶贫困户，已知甲种化肥的单价比乙种化肥的单价高10元，且用500元单独购买甲种化肥与用450元单独购买乙种化肥的数量相同．（1）求甲、乙两种化肥的单价各是多少元？（2）如果该校计划购买甲、乙两种化肥共55袋，总费用不少于5000元且不超过5050元，请通过计算得出共有几种选购方案？选择哪种方案更省钱？23．如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的弦，过点O作OC⊥AB交AE于点F，连接AC交⊙O于点D，若CE=CF．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）连接BE，过点A作AM∥BE交⊙O于点M，连接BM，根据题意，补全图形，猜想四边形AEBM的形状，并说明理由；（3）若AD=3,CF=10，求CD24．同学们在操场上玩跳长绳的游戏，跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线、如图、正在甩绳的甲、乙两名同学之间的水平距离OD为6米，到地面的距离AO与BD均为1米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为2.5m，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式．（2）如果身高为1.70m的小明站在OD之间，当绳子甩到最高处，小明站在距离点O的水平距离为2m时，绳子是否能刚好甩过他的头顶上方0.6m？请说明理由．（3）现在老师要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．某班挑选出身高都为1.50m的10个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米．那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，为了能顺利完成比赛（绳子超过头顶），求左边第一位同学离点O的水平距离d的取值范围．请说明理由．25．在△ABC中，AB=AC，点D为射线BA上一动点（不与点A，B重合），作∠ACD=∠ABE，并交射线CD于点E，连接AE，（1）【操作发现】如图（1），当∠ABC=45∘时，过点A作AM⊥AE，交CD于点①请补全图形；②CM，（2）【类比探究】如图（2），当∠BAC=120∘，且点D在线段BA上时，探究：线段AE，（3）【拓展延伸】当∠BAC=120∘，过点A作AN⊥CD于点N，若AB=11

答案解析部分1．【答案】D【知识点】求代数式的值-直接代入求值【解析】【解答】解：当x=2时，代数式x+1=2+1=3．

故答案为：D

【分析】本题考查代数式求值，把给定的数值代入代数式，按照有理数加法运算规则直接计算即可得到结果。2．【答案】C【知识点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解：从上面看的图形是三个正方形横着并排，即看到的图形如下：

故答案为：C

【分析】本题考查几何体的俯视图识别，俯视图是从几何体正上方观察得到的平面图形，只需确定从上方看到的正方形的数量和排列方式即可。3．【答案】C【知识点】科学记数法表示大于10的数【解析】【解答】解：9540000=9.54×106．

故答案为：C

【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为a×10n，其中1≤|a|4．【答案】A【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算【解析】【解答】解：A、a2a3=a5，故A符合题意；

B、（a3）2=a6，故B不符合题意；

C、（2a）5=32a5，故C不符合题意；

D、a4+a4=2a4，故D不符合题意；故答案为：A.【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用幂的乘方，底数不变指数相乘，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用合并同类项的法则，可对D作出判断.5．【答案】D【知识点】全面调查与抽样调查【解析】【解答】∵普查适合对全部考察对象做全面检查，适用于要求结果绝对准确，无破坏性，必须排查每一个对象的场景．A选项，调查河流污染范围广，无法完成全面普查，适合抽样调查．B选项，全国九年级中学生数量多，范围大，适合抽样调查．C选项，测试圆珠笔使用寿命具有破坏性，不能对所有产品进行测试，适合抽样调查．D选项，载人飞船零部件必须保证全部合格，不能出现误差，需要对所有零部件逐一检查，因此最适宜采用普查．

故答案为：D

【分析】本题考查普查与抽样调查的选择，普查适用于调查范围小、无破坏性、结果要求绝对准确的场景，抽样调查适用于范围广、有破坏性或工作量大的调查，结合各选项特点判断即可。6．【答案】D【知识点】列一元二次方程【解析】【解答】解：由题意，可列方程为300+3001+x+3001+x2=1092．

故答案为：D

7．【答案】A【知识点】平行公理及推论；平行线的应用-求角度【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CD∥a，∵a∥b，∴a∥b∥CD，∴∠ACD=∠1=60°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=30°，∴∠2=30°．

故答案为：A

【分析】本题考查平行线的性质与角的和差计算，过三角板直角顶点作平行于a、b的辅助线，利用平行线内错角相等的性质，结合直角为90°，通过角的相减运算求出8．【答案】A【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【解析】【解答】解：∵方程x2−3x+1=0的两个实数根分别是∴x1∴x12+x22=x1+x9．【答案】B【知识点】直角三角形的性质；圆周角定理的推论【解析】【解答】如图所示，连接BC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°∵∠BAC=35°∴∠ABC=90°−∠BAC=55°∵AC∴∠D=∠ABC=55°．故选：B．

【分析】本题考查圆周角定理的推论，包括“直径所对的圆周角是直角”和“同弧所对的圆周角相等”。首先连接BC，因为AB是⊙O的直径，根据推论可知∠ACB=90°。在RtΔABC中，利用直角三角形两锐角互余，可求出∠ABC=90°−∠BAC=55°。又因为∠D10．【答案】C【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算【解析】【解答】解：圆锥底面半径r=1，高h=22由勾股定理得圆锥母线长l=r∵圆锥底面圆周长C=2πr=2π×1=2π，且圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆周长，设扇形圆心角度数为n，则nπ×3180解得：n=120，即圆心角度数为120°．

故答案为：C

【分析】本题考查圆锥侧面积相关计算，先用勾股定理求出圆锥母线长，再利用圆锥侧面展开图弧长等于底面圆周长，结合扇形弧长公式nπl180列方程，求解圆心角n11．【答案】C【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=BC=4,∠A=∠B=90°∵E为AB的中点，∴AE=BE=2，∴CE=B∵EF⊥EC，∴∠AEF+∠BEC=90°，又∠BCE+∠BEC=90°，∴∠AEF=∠BCE，∴△AEF∽△BCE，∴AEBC=EF∴EF=5∴△CEF的面积=1故选：C．

【分析】本题考查正方形性质、相似三角形判定与性质及三角形面积计算，先由正方形性质和中点条件得边长关系，用勾股定理算CE，再通过角的互余证ΔAEF∽ΔBCE，求出EF，最后用直角三角形面积公式计算。12．【答案】B【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形；尺规作图-作角的平分线【解析】【解答】解：由作图可知，AM平分∠DAB，AE=AD=3∴∵AB∥DC∴∠BAM=∠DMA∴∠DAM=∠DMA∴DM=AD=3∵DC=2∴CM=DM−DC=3−2=1∵AE∥DM且AE=AD=DM=3∴四边形ADME是平行四边形又∵AD=AE∴四边形ADME是菱形∴ME∥AD，∠DME=∠DAE=60°∴在Rt△MCN中，∠MCN=90°，CM=1∴CN=CM⋅过点D作DQ⊥AB于点Q∵BC⊥DC，AB∥DC∴四边形BCDQ是矩形∴BC=DQ在Rt△ADQ中，∠A=60°，AD=3∴BC=DQ=AD⋅∴BN=BC−CN=332−3=32

故答案为：B

【分析】本题考查尺规作图、菱形判定与性质、三角函数应用，由作图知AM平分∠DAB，结合平行线性质证ΔADM等腰，求出CM，再证四边形ADME为菱形，得13．【答案】x≥3【知识点】二次根式有无意义的条件【解析】【解答】解：∵x−3在实数范围内有意义，∴x-3≥0∴x≥3故填：x≥3.【分析】由二次根式有意义的条件可得x-3≥0，求解即可.14．【答案】1【知识点】有理数的乘方法则；偶次方的非负性；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值【解析】【解答】解：∵5−x2+y+5∴5−x2=0,y+5∴x=5,y=−5，∴xy2026=5−52026=−1202615．【答案】2【知识点】概率公式；用列举法求概率【解析】【解答】解：“食物发霉”属于化学变化；“糖块融化”属于物理变化；“盐酸除锈”属于化学变化．∴在这3张卡片中，属于化学变化的卡片有2张，∴随机抽取1张卡片，是化学变化的概率是23故答案为：23．

16．【答案】6【知识点】三角形全等及其性质；解直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-AAS【解析】【解答】解：∵将PM绕点P逆时针旋转90°到PN，∴∠MPN=90°,MP=NP，∵点M是直线AB：设M如图，过点P作CD⊥x轴，过点M,N分别作CD的垂线于点C,D，设直线NE交y轴于点E，交AB于点F，∴∠C=∠D=90°∵∠MPN=90°∴∠MPC=90°−∠NPD=∠PND又∵MP=PN∴△MPC≌△PND∴CM=PD,CP=ND∵P−2,0，∴MC=−2−t，CP=∴N−2−1令x=−4−12∴y=−2x−6∴点N在直线y=−2x−6上运动，当ON⊥FE时，ON的值最小，联立y=12∴F∴BF2=16∴BF2+E∴△BEF是直角三角形，EF⊥AB，∴tanBEF=∴NE=2ON，∴NO∴5O∴ON=655，即线段ON的最小值是655．

【分析】本题考查坐标变换、全等三角形及点到直线距离，根据一次函数上的点设Mt,12t+2，过点P作CD⊥x轴，过点M,N分别作CD的垂线于点C,D，设直线NE交y轴于点E，交AB于点F，再根据三角形全等的判定与性质证明△MPC≌△PND17．【答案】（1）解：3.14−π=1+2=1+22（2）解：1−1a+1⋅a+1a2+2a=a+1a+1−1a+1⋅【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入【解析】【分析】（1）本题考查零指数幂、二次根式、特殊角三角函数及负整数指数幂运算，分别计算各项的值，再按有理数加减法则合并计算；（2）本题考查分式化简求值，先对括号内分式通分计算，再约分简化式子，最后代入a的值计算结果。（1）解：3.14−π=1+2=1+22（2）解：1−===1∵a=−3，∴原式=118．【答案】（1）选择条件①．证法一：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∵E，F分别是AB，CD的中点，

∴BE=12AB，DF=12CD，

∴BE∥DF，BE=DF，

∴四边形DEBF是平行四边形．

证法二：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=CB，∠A=∠C．

∵E，F分别是AB，CD的中点，

∴BE=12AB，DF=12CD，

∴BE=DF．

在△ADE和△CBF中，

∵AD=CB∠A=∠CAE=CF，

∴△ADE≌△CBFSAS，

∴DE=BF．

又BE=DF，

∴四边形DEBF是平行四边形．

选择条件②．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，

∴∠CDE=∠AED．

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE=∠CDE，

∴∠ADE=∠AED，

∴AE=AD=4，

∴AB=AE+BE=4+3=7．

∴平行四边形ABCD的周长=2AB+AD【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念【解析】【分析】（1）本题考查平行四边形的判定与性质，选①时，利用平行四边形对边平行且相等，结合中点性质得BE∥DF且BE=DF；选②时，由角相等证DE∥BF，结合DF∥BE判定平行四边形；（2）本题考查平行四边形性质与角平分线，由平行得内错角相等，结合角平分线证∠ADE=∠AED，得AE=AD，算出AB后求周长。（1）选择条件①．证法一：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵E，F分别是AB，CD的中点，∴BE=12AB∴BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形．证法二：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∵E，F分别是AB，CD的中点，∴BE=12AB∴BE=DF．在△ADE和△CBF中，∵AD=CB∠A=∠C∴△ADE≌△CBFSAS∴DE=BF．又BE=DF，∴四边形DEBF是平行四边形．选择条件②．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵∠DEA=∠FBA，∴DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDE=∠AED．∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∴∠ADE=∠AED，∴AE=AD=4，∴AB=AE+BE=4+3=7．∴平行四边形ABCD的周长=2AB+AD19．【答案】（1）162°重视人数：80×30%补全条形统计图如图：（2）解：x=答：该组别同学视力情况的平均值为4.3．（3）解：画树状图如图

共12种等可能性结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8次，

∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为812=【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算【解析】【解答】（1）解：参与调查的学生数=16÷20%比较重视人占参与调查的学生数的百分数：36÷80=45%比较重视人所对应的圆心角：360°×45【分析】（1）本题考查统计图表的应用，由“不重视”人数和占比求总人数，算出“比较重视”占比后乘360（2）本题考查加权平均数计算，用视力数值乘对应人数求和，再除以总人数得到平均值；（3）本题考查概率计算（树状图/列表法），列出所有抽取结果，统计符合条件的结果数，代入概率公式计算。（1）解：参与调查的学生数=16÷20%比较重视人占参与调查的学生数的百分数：36÷80=45%比较重视人所对应的圆心角：360°×45重视人数：80×30%补全条形统计图如图：（2）解：x=答：该组别同学视力情况的平均值为4.3．（3）解：画树状图如图共12种等可能性结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8次，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为81220．【答案】（1）解：∵EF⊥AB，∴∠AME=90°，

∴∠MAE=90°−∠AEF=90°−30°=60°，

∴∠CAD=180°−∠BAC−∠EAM=180°−22°−60°=98°；

（2）解：过点A作AP⊥CD于点P，如图

∴∠APC=∠APD=90°，

∴PD=AD⋅cos∠ADC=5×cos37°≈4，

AP=AD⋅sin∠ADC=5×sin37°≈3，

∠PAD=90°−∠ADC=90°−37°=53°，

∴∠CAP=∠CAD−∠PAD=98°−53°=45°，

∴AC=APcos∠CAP=【知识点】三角形内角和定理；解直角三角形的其他实际应用【解析】【分析】（1）本题考查三角形内角和及角度计算，由EF⊥AB算出∠MAE=60°，再用平角180（2）本题考查解直角三角形，过A作AP⊥CD，用三角函数算PD、AP，求出∠CAP=45°，再算AC、CP，最后将三段长度相加得（1）解：∵EF⊥AB，∴∠AME=90°，∴∠MAE=90°−∠AEF=90°−30°=60°，∴∠CAD=180°−∠BAC−∠EAM=180°−22°−60°=98°；（2）解：过点A作AP⊥CD于点P，如图∴∠APC=∠APD=90°，∴PD=AD⋅cosAP=AD⋅sin∠PAD=90°−∠ADC=90°−37°=53°，∴∠CAP=∠CAD−∠PAD=98°−53°=45°，∴AC=APCP=AP⋅tan∴这棵大树折断前AB的高度为AC+CP+PD=4.24+3+4≈11.2（米）．21．【答案】（1）解：设CD段反比例函数解析式为，把点C(25,40)代入得，解得k=25×40=1000，

∴CD段反比例函数解析式为：；

（2）解：设AB段解析式为y=ax+b，把A(0,20)，B(10,40)，代入得b=2010a+b=40​，解得a=2即AB段解析式为y=2x+20(0≤x≤10)，把x=6，代入AB段解析式得y1把x=32，代入CD段解析式得，因为y1因此开始上课后第六分钟时学生的注意力更集中．【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息【解析】【分析】（1）本题考查反比例函数解析式求解，设反比例函数y=kx，将点C坐标代入求出（2）本题考查一次函数与反比例函数的应用，先求AB段一次函数解析式，分别代入x=6和x=32算对应y值，比较大小判断注意力集中程度。（1）解：设CD段反比例函数解析式为，把点C(25,40)代入得，解得k=25×40=1000，∴CD段反比例函数解析式为：；（2）解：设AB段解析式为y=ax+b，把A(0,20)，B(10,40)，代入得b=2010a+b=40​，解得a=2即AB段解析式为y=2x+20(0≤x≤10)，把x=6，代入AB段解析式得y1把x=32，代入CD段解析式得，因为y1因此开始上课后第六分钟时学生的注意力更集中．22．【答案】（1）解：设甲种化肥的单价为x元，则乙种化肥的单价为(x−10)元，由题意得，500x解得x=100，经检验，x=100是原方程的解，x−10=90．答：甲种化肥的单价为100元，乙种化肥的单价为90元；（2）设甲种化肥购买y袋，乙种化肥购买(55−y)袋，由题意得，100y+90(55−y)≥5000100y+90(55−y)≤5050

解得5≤y≤10，

y可取5、6、7、8、9、10，

∴共有6种方案．

设总费用为w元，则w=100y+9055−y=10y+4950，

∵10>0，

∴当x=5时，总费用最少为5000元．【知识点】一元一次不等式组的应用；分式方程的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）本题考查分式方程的实际应用，设乙种化肥单价为x元，甲为(x+10（2）本题考查一元一次不等式组与一次函数应用，设购买甲种化肥y袋，列不等式组求y的整数解，确定方案数；再列总费用关于y的一次函数，根据函数增减性求最省钱方案。（1）解：设甲种化肥的单价为x元，则乙种化肥的单价为(x−10)元，由题意得，500x解得x=100，经检验，x=100是原方程的解，x−10=90．答：甲种化肥的单价为100元，乙种化肥的单价为90元；（2）设甲种化肥购买y袋，乙种化肥购买(55−y)袋，由题意得，100y+90(55−y)≥5000解得5≤y≤10，y可取5、6、7、8、9、10，∴共有6种方案．设总费用为w元，则w=100y+9055−y∵10>0，∴当x=5时，总费用最少为5000元．此时，购进甲种化肥5袋，乙种化肥50袋．23．【答案】（1）证明：连接EO，BE

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∴∠AEO+∠OEB=90°，∠EAO+∠OBE=90°，

∵OB=OE，

∴∠OEB=∠OBE，

∵OC⊥AB

∴∠EAO+∠AFO=90°，

∵∠AFO=∠CFE，

∴∠EAO+∠CFE=90°，

∵CE=CF，

∴∠CEF=∠CFE，

∴∠EAO+∠CEF=90°，

∵∠EAO+∠OBE=90°，

∴∠CEF=∠OBE，

∵∠OEB=∠OBE，

∴∠CEF=∠OEB，

即∠CEO=∠CEF+∠AEO=∠OEB+∠AEO=90°，

∵EO是半径，

∴CE是⊙O的切线；（2）证明：四边形AEBM是矩形，理由如下所示：依题意，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°=∠AMB，

∵AM∥BE，

∴∠EAM=90°，

∴∠EAM=∠AEB=∠AMB=90°，

∴四边形AEBM是矩形，（3）解：连接DE，∴CE=CF=10，

设CD=x，

由（1）得∠CEF=∠ABE，

∵四边形ABED是⊙O的圆内接四边形，

∴∠CDE=∠ABE，

∵∠ACE=∠ECD，

∴△ACE∽△ECD，

∴CECD=ACEC，

∴CE2=CD×AC，

则102=xx+3，

∴【知识点】矩形的判定；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【分析】（1）本题考查圆的切线判定，连接EO、BE，由直径性质得∠AEB=90°，结合等腰三角形性质和角的互余，证（2）本题考查矩形的判定，补全图形后，由直径性质得两个直角，结合平行线性质证第三个角为直角，根据三个角为直角判定四边形为矩形；（3）本题考查相似三角形判定与性质，连接DE，证ΔACE∽ΔECD，利用相似三角形对应边成比例列方程，求解CD。（1）证明：连接EO，BE∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEO+∠OEB=90°，∠EAO+∠OBE=90°，∵OB=OE，∴∠OEB=∠OBE，∵OC⊥AB∴∠EAO+∠AFO=90°，∵∠AFO=∠CFE，∴∠EAO+∠CFE=90°，∵CE=CF，∴∠CEF=∠CFE，∴∠EAO+∠CEF=90°，∵∠EAO+∠OBE=90°，∴∠CEF=∠OBE，∵∠OEB=∠OBE，∴∠CEF=∠OEB，即∠CEO=∠CEF+∠AEO=∠OEB+∠AEO=90°，∵EO是半径，∴CE是⊙O的切线；（2）证明：四边形AEBM是矩形，理由如下所示：依题意，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°=∠AMB，∵AM∥BE，∴∠EAM=90°，∴∠EAM=∠AEB=∠AMB=90°，∴四边形AEBM是矩形，（3）解：连接DE，∴CE=CF=10设CD=x，由（1）得∠CEF=∠ABE，∵四边形ABED是⊙O的圆内接四边形，∴∠CDE=∠ABE，∵∠ACE=∠ECD，∴△ACE∽△ECD，∴CECD∴CE则102∴x2∴x1∴CD=2．24．【答案】（1）解：依题意得：OD=6，AO=BD=1，最高点C纵坐标为2.5，∴A0,1，B∵绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线，∴C点是该抛物线的顶点，横坐标应为62∴C3,2.5设抛物线的函数表达式为y=ax−3将A0,1代入可得9a+解得a=−1∴该抛物线的函数表达式为y=−1（2）解：能，理由如下：依题意得，小明所站位置的横坐标为2，将x=2代入得，y=−1∴绳子能刚好甩过他的头顶上方2.33−1.7=0.63m>0.6m，∴当绳子甩到最高处，小明站在距离点O的水平距离为2m时，绳子能刚好甩过他的头顶上方0.6m．（3）解：当y=1.50时，即−1解得x1=3+6∴可以站立跳绳的距离范围为3−6∵10人队伍的总长度为10−1×0.5=4.5∴左边第一位同学离点O的水平距离d需满足d+4.5≤3+6，d≥3−综合可得，d的取值范围是3−6【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用【解析】【分析】（1）本题考查抛物线解析式求解，由题意确定顶点C和点A坐标，设顶点式解析式，代入点A坐标求系数，确定解析式；（2）本题考查二次函数的应用，将x=2代入解析式求对应y值，计算y值与小明身高的差，和0.6m比较判断；（3）本题考查二次函数与不等式应用，令y=1.5解方程得x范围，算出10人队伍总长度，结合范围列不等式，求（1）解：依题意得：OD=6，AO=BD=1，最高点C纵坐标为2.5，∴A0,1，B∵绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线，∴C点是该抛物线的顶点，横坐标应为62∴C3,2.5设抛物线的函数表达式为y=ax−3将A0,1代入可得9a+解得a=−1∴该抛物线的函数表达式为y=−1（2）解：能，理由如下：依题意得，小明所站位置的横坐标为2，将x=2代入得，y=−1∴绳子能刚好甩过他的头顶上方2.33−1.7=0.63m>0.6m，∴当绳子甩到最高处，小明站在距离点O的水平距离为2m时，绳子能刚好甩过他的头顶上方0.6m．（3）解：当y=1.50时，即−1解得x1=3+6∴可以站立跳绳的距离范围为3−6∵10人队伍的总长度为10−1×0.5=4.5∴左边第一位同学离点O的水平距离d需满足d+4.5≤3+6，d≥3−综合可得，d的取值范围是3−625．【答案】（1）CM=BE（2）3AE+BE=CE如图所示，将线段AE绕点A逆时针旋转120°交CE于点M，∵∠BAC=120∘，∴∠EAM−∠BAM=∠BAC−∠BAM，即∠EAB=∠MAC，∵AB=AC，∠ACD=∠ABE，∴△EAB≌△MACASA∴