浙江台州市2026届高三第二次教学质量评估数学试题

浙江台州市2026届高三第二次教学质量评估数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知an为等比数列，a3=2，aA．8 B．12 C．16 D．172．已知α为第二象限角，且tanα=−3，则A．12 B．−12 C．33．设一个随机事件的样本空间为Ω，事件A, B⊆Ω，则下列结论中不一定A．0≤PA≤1 C．若A⊆B，则PA≤PB D．若4．已知实数a>1，b>1，若logab=2，log2A．14 B．13 C．15．已知一个圆锥的底面半径为3，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（）A．体积为3π B．表面积为C．两条母线的夹角的最大值为π3 6．已知点A1,1，B1,−1，点P是抛物线C:y2=xA．k1−k2为定值C．1k1−1k7．设复数z1，z2是关于x的方程x2+mx+1=0m∈R的两个根，z1，z2A．z1⋅zC．z1≠z28．已知数列an共有5项，各项均为正整数，且对∀n∈1,2,3,4，满足an+1−an=1，若kk∈NA．12 B．14 C．16 D．18二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数fxA．fx的最小正周期为2π B．C．fx的值域为−2,4 D．π6,010．设x2+3x+23A．a0=8 C．a2+a11．已知正四面体A−BCD的棱长为4，顶点B,C,D在平面α的同侧，点A∈α，顶点B,C到平面α的距离分别为1，2，直线BC与平面α交于点E，则（）A．直线AC与平面α所成角为π6 B．平面ABC与平面α所成角为C．AC⊥AE D．点D到平面α的距离为1+2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知平面向量a=1,2，b=x,y−1，x,y∈R，若a//13．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>014．已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为X，则X的数学期望为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足3a（1）求角A的大小；（2）若a=2，bc=83，求16．如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，上、下底面均为正方形，AA1⊥底面ABCD（1）求证：AC1//（2）求平面ABC1与平面17．2016-2024年我国的国内生产总值（GDP）的数据（摘自《中国统计年鉴-2025》）如下：年份（x）201620172018201920202021202220232024GDP/万亿元（y）74.6483.2091.9398.65101.36114.92120.47129.43134.91由以上数据，得到x与y的9对样本数据为x1,y1，x2,y2，…，（1）证明：i=19（2）请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的误差.（注：从《中国统计年鉴-2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元.）附：一元线性回归方程y=bx+18．已知椭圆C:x2a2+y2（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P作椭圆C的两条切线l1，l2，过点T作椭圆C的切线l，l与l1（ⅰ）求切线l1，l（ⅱ）问∠MFN是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.19．已知a∈R，函数fx（1）当a=3时，求函数fx（2）证明：当a≤22−1时，对任意x1，x（3）若存在x1，x2∈0,+∞

答案解析部分1．【答案】A【知识点】等比数列的通项公式；等比中项【解析】【解答】解：由等比中项的性质，知a5若该数列的公比为q，则a5q2所以a5=8.

故答案为：A.

【分析】利用已知条件和等比中项公式以及等比数列的性质，从而得出2．【答案】B【知识点】同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：由α为第二象限角，知cosα<0因为tanα=−3，

所以cosα=−cos2α=−3．【答案】D【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；事件的包含与相等；并（和）事件与交（积）事件【解析】【解答】解：对于A，任意事件A的概率都满足0≤PA≤1，故对于B，因为A是事件A的对立事件，所以A∪A=Ω，

则P对于C，因为A⊆B，所以，事件B包含事件A所有的样本点，

则PA≤PB对于D，由A∪B=Ω，仅能说明事件A和事件B的并集为样本空间，

但并未说明事件A和事件B由概率的加法公式，得PA∪B=PΩ=PA+PB−PA∩B=1，

因此，只有当A∩B=∅时，即当PA∩B4．【答案】C【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则【解析】【解答】解：因为log2ba=1又因为logab=2，所以a2因为a>1，所以a=213则log4ab=log4215．【答案】D【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；三角形中的几何计算；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用【解析】【解答】解：对于A，因为圆锥的体积为13对于B，因为圆锥的母线长为3+1=2所以，圆锥的表面积为π×3对于C，设圆锥轴截面顶角为α，则tanα因为α2为锐角，所以α2=π3，

则α=对于D，设两条母线的夹角为θ，

则过顶点的截面面积为S=因为0<θ≤2π3，

则当θ=π2时，【分析】利用已知条件和圆锥的体积公式，则判断出选项A；利用勾股定理得出母线长，再结合圆锥的表面积公式，则判断出选项B；利用正切函数的定义和几何法求最值的方法，从而得出两条母线的夹角的最大值，则判断出选项C；利用三角形的面积公式和0<θ≤2π6．【答案】C【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：因为点P是抛物线y2=x上异于设P(y02则k1=y对于选项A，因为k1对于选项B，因为k1对于选项C，因为1k对于选项D，因为1k1+1k7．【答案】B【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模【解析】【解答】解：由题意知，方程x2+mx+1=0m∈R无实数根，

则两个复数根z1，因为z1+z又因为Δ=m2则z1∴Z由OZ1⋅OZ2=0，得14m28．【答案】C【知识点】数列的应用【解析】【解答】解：当k=1时，把数列an当数列an只有一个1时，当a1=1时，12345,12343,12323共3种，

当a2=1时，21234,21232共2种，

同理可得当a3=1时，当数列an仅有两个1时，12123,21212,32121,12321当数列an仅有三个1时，12121综上所述，A1当k=2时，当数列an只有一个2时，当a1=2时，23456,23454,23434共3种，

当a2=2时，12345,12343,32345,32343共4种，

同理可得当a3=2时，当数列an仅有两个2时，当a1=2,同理可得a3当a2=2,a当a1=2,a当数列an仅有三个2时，21212,21232,23212,23232综上所述，A2∴A2−A1=32−16=16．

故答案为：C.9．【答案】B,C【知识点】函数的值；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性【解析】【解答】解：因为函数fx=3sin2x−π3+1因为fπ3=3sin2×因为sin2x−π3∈−1,1，3sin2x−当x=π6时，2x−π3=0所以π6,1是fx【分析】由正弦型函数的最小正周期公式，则判断出选项A；利用代入法计算函数值，则判断选项B；利用已知条件和正弦型函数求值域的方法，则判断出选项C；利用已知条件和正弦型函数判断对称性的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.10．【答案】A,B,D【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】解：因为x2对于x+13，因为展开式的通项为Tr+1=对于x+23，因为展开式的通项为Tk+1=所以a0因为a4令x=−1，则a0令x=1，则a0所以2(a0+a2因为2(a1+【分析】利用已知条件和两个二项式乘积以及其展开式的通项，从而求出对应项的系数，则判断出选项A和选项B；利用赋值法求出奇数项和偶数项的和，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.11．【答案】A,C,D【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算；二面角及二面角的平面角【解析】【解答】解：设C在平面α内的射影为G，B在平面α内的射影为H，连接AG,AH,HE，则CG=2,BH=1.对于A，因为CG⊥α，所以∠CAG为直线AC与平面α所成的角，又因为sin∠CAG=CGAC=1对于B，因为BH⊥α，所以CG//BH，则四边形CGHB为梯形，又因为BH⊥α，GH⊂α，所以BH⊥GH，则四边形CGHB为直角梯形，同理可得CG⊥AG,BH⊥HA，因为BC=4,CG=2,BH=1，所以GH=4在△AGH中，AG=4则S△AGH因为S△ABC=34×42则cosθ=S△AGHS△ABC=643对于C，由题意，则点E∈平面CGHB，又因为E∈α，

所以E∈平面α∩平面CGHB=GH，则E,G,H三点共线，

因为BH=12CG,BH//CG，所以H为EG的中点，则EH=GH=15，

所以EH=GH=AH，连接AE，则AG⊥AE，

因为CG⊥α，又因为AG∩CG=G,AG,CG⊂平面AGC，所以AE⊥平面CGA，

因为AC⊂平面CGA，所以AE⊥AC，故C正确；对于D，由选项C的分析，可得AE⊥AC，

则AE=2由BH=12CG,BH//CG，可得B为CE的中点，

则BC=BD=BE=4，连接DE，则CD⊥DE，

过A作平面α的垂线z，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A0,0,0,E43,0,0设Dx,y,zz>0，

则所以4−3y−z=08−23x−3y−z=0故答案为：ACD.

【分析】根据正四面体的结构特征和线面角的定义，从而得出直线AC与平面α所成角，则判断出选项A；求出S△AGH,S△ABC的面积，利用射影面积法求出二面角的余弦值，则判断出选项B，利用三点共线和中点的性质得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，再根据线面垂直的定义证出AE⊥AC，则判断出选项C；利用勾股定理和中位线的性质，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标，再利用解方程的方法得出点12．【答案】1【知识点】函数的最大（小）值；平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】解：∵a//b，∴y−1=2x∴x∵x∈R，∴当x=−25时，x2+y2取得最小值【分析】利用向量平行的坐标表示可得x,y之间的关系式，则将问题转化为二次函数求最小值的问题，进而得出x213．【答案】6【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理的应用【解析】【解答】解：由题意，如图：因为PF1=2则2a=PF1又因为OF1=在△POF1中，由余弦定理，可得在△POF2中，由余弦定理，可得因为∠POF1+∠PO则17+c2−32217则e=ca=32=62.

【分析】先根据已知条件和双曲线的定义求出a的值，再利用余弦定理分别用c表示出cos∠PO14．【答案】23【知识点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：由题意，设袋中的白球个数X可取0,2,4，则PX=0=2PX=4所以，EX=0×118+2×111815．【答案】（1）解：已知3a由正弦定理中边角关系，得3sinAsinB+sin由辅助角公式，可得sinA+π6=1，

因为（2）解：由余弦定理a2=b2+c2−2bccos所以a+b+c=2+23，

则△ABC的周长为2+2【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理、辅助角公式以及三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.（2）利用余弦定理得出b+c的值，再利用三角形的周长公式得出△ABC的周长.（1）已知3a由正弦边角关系得3sinAsin应用辅助角公式可得sinA+π6=1，而（2）由余弦定理a2=b2+所以a+b+c=2+23，故△ABC的周长为2+216．【答案】（1）证明：连接AC交BD于点M，如图所示：由ABCD是正方形，得点M为AC的中点，因为E为CC1的中点，

所以ME为则ME//AC1，

又因为ME⊂平面BDE，AC所以AC1//（2）解：因为AA1⊥平面ABCD则以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为如图所示：因为AB=2,A所以A0,0,0又因为点E为棱CC1的中点，所以设平面ABC1的一个法向量为因为AB=则n1·AB令z1=−1，则x1设平面BDE的一个法向量为n2又因为BD=则n2·BD令x2=1⇒y记平面ABC1与平面BDE的夹角的大小为cos由图可知，平面ABC1与平面则sinθ=【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角【解析】【分析】（1）利用三角形中位线性质以及线面平行的判定定理证明即可；（2）利用线面垂直和线线垂直，从而建立空间直角坐标系，则求出相应的点的坐标和向量坐标，求出平面ABC1的法向量和平面BDE的法向量，再利用数量积求向量夹角公式以及同角三角函数基本关系式得出平面ABC（1）证明：连接AC交BD于M点，如图所示：由ABCD是正方形得M为AC的中点，因为E为CC1的中点，所以ME为于是ME//AC1，又因为ME⊂平面BDE，AC所以AC1//（2）由已知，AA1⊥平面ABCD所以以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为如图所示，因为AB=2,A所以A0,0,0因为点E为棱CC1的中点，所以设平面ABC1的一个法向量为又AB=则n1·AB令z1=−1，则x1设平面BDE的一个法向量为n2又BD=则n2·BD令x2=1⇒y记平面ABC1与平面BDE的夹角的大小为cosθ=由图可知平面ABC1与平面故sinθ=17．【答案】（1）证明：因为左边=====i=19x（2）解：设一元线性回归方程为y=则b=将x,y代入回归方程，可得105.5=7.552×2020+a，

所以，一元线性回归方程为y=7.552x−15149.54当x=2025时，则y=143.26，

因为2025年GDP的实际值为140.19万亿元，所以，误差为143.26−140.19=3.07【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程；回归分析的初步应用【解析】【分析】（1）先将原式左侧展开，再根据平均数公式，从而变形证出i=19（2）由最小二乘法求出b,a的值，从而可得一元线性回归方程，将x=2025代入回归方程求出预测值（1）左边=====i=1（2）设一元线性回归方程为y=则b=将x,y代入回归方程可得105.5=7.552×2020+a所以一元线性回归方程为y=7.552x−15149.54当x=2025时，求得y=143.26而2025年GDP的实际值为140.19万亿元，故误差为143.26−140.19=3.0718．【答案】（1）解：由题意，得ca=22，c=1，

解得a=2，b=1（2）解：（ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为y=kx−2−1，

联立x2+2由Δ=16k22k+12−41+2k2所以，切线方程分别为l1:y=−1，（ⅱ）设Tx0,y0且x0>0>y0所以x2+2y0+t(x−由相切关系知Δ=16t2(y0−tx0)2由x02+2所以t=−x02y0，则直线l:y−所以直线l:x0x+2由直线l1:y=−1，联立直线l得xM由直线l2:y=−2x+3，联立直线l，得xN=2−6y0因为FM→=2+2y0−x所以FM⋅FN=2−x所以∠MFN为定值，且定值为90°.【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式、焦点坐标和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出a，b的值，进而得出椭圆C的标准方程.（2）（i）设过点P的直线方程为y=kx−2−1，联立直线方程和椭圆方程，再利用直线与椭圆相切得出Δ=0，进而求出直线的斜率，则得出切线l1方程和切线l2的方程.

（ii）利用直线与椭圆相切位置关系判断方法，从而得出直线l:x0x2（1）由题意得ca=22，c=1，解得a=2（2）（ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为y=kx−2−1，联立消去y并整理得1+2k由Δ=16k22k+12−41+2所以切线方程分别为l1:y=−1，（ⅱ）设Tx0,y0且x0>0>所以x2+2y由相切关系知Δ=16t2所以x02t由x02+2所以t=−x02y0所以l:x0x+2由l1:y=−1，联立直线l得xM由l2:y=−2x+3，联立直线l得xN=2−6因为FM→=2+2y0所以FM⋅FN=故∠MFN为定值，且定值为90°.19．【答案】（1）解：由a=3，得f'令f'x=0，解得x当x∈0,12时，f'x当x∈1,+∞时，所以fx在0,12、1,+因此，fx的极小值为f（2）证明：当a≤22−1时，f'x=1x对任意的x1，x2∈0,+∞，不妨设因为fx所以y=fx−x为增函数，则fx1−则fx（3）解：由题意