全品高考备战2027年数学一轮学生用书01第60讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理【答案】听课手册

第十单元计数原理、概率、随机变量及其分布第60讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理●课前基础巩固【知识聚焦】m+nm×n【对点演练】1.21[解析]依题意知,共有10+8+3=21(种)不同的选法.2.36[解析]依题意得,选择大荤菜有3种方法,小荤菜有3种方法,素菜有4种方法,汤有1种方法,根据分步乘法原理可得,一共有3×3×4×1=36(种)不同的搭配方式.3.321024[解析]若每位同学限报其中一个小组,则每位同学都有2种报名方法,由分步乘法计数原理知,不同的报名方法共有2×2×2×2×2=32(种).若没有任何限制,则每位同学可以都不报,可以报一个,也可以都报,则每位同学有1+2+1=4(种)报名方法,由分步乘法计数原理知,不同的报名方法共有4×4×4×4×4=1024(种).4.15120[解析]从书架上任取1本书,有三类方案:第1类,从第1层取1本语文书,有6种方法;第2类,从第2层取1本数学书,有5种方法;第3类,从第3层取1本外语书,有4种方法.根据分类加法计数原理,不同取法的种数为6+5+4=15.从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书,可以分三步完成:第1步,从第1层取1本语文书,有6种方法;第2步,从第2层取1本数学书,有5种方法;第3步,从第3层取1本外语书,有4种方法.根据分步乘法计数原理,不同取法的种数为6×5×4=120.5.20[解析]由三位“凸数”的特点知,中间的数字只能是3,4,5,即分三类.第一类,当中间数字为“3”时,此时有2个“凸数”,即132,231;第二类,当中间数字为“4”时,个位数字有3种选择,百位数字有2种选择,则“凸数”有2×3=6(个);第三类,当中间数字为“5”时,个位数字有4种选择,百位数字有3种选择,则“凸数”有4×3=12(个).由分类加法计数原理得,由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是2+6+12=20.6.(1)60(2)125[解析](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列,因此不同送法的种数是5×4×3=60.(2)由于有5种不同的书(每种不少于3本),故每名同学都有5种不同的送法,因此送给3名同学,每人各1本书的不同送法的种数是5×5×5=125.●课堂考点探究例1[思路点拨](1)利用分类加法计数原理,当个位数字分别为9,7,5,3时,考虑数字的组成情况.(2)根据空间中点、线、面的位置关系,和正四棱锥的几何性质,分平面ABC为正四棱锥的侧面与截面两种情况讨论,求出不同的取法种数.(1)10(2)B[解析](1)要组成十位数字小于个位数字的两位数,可分如下情况:当个位数字为9时,十位上的数字有4种取法,能组成4个十位数字小于个位数字的两位数;当个位数字为7时,十位上的数字有3种取法,能组成3个十位数字小于个位数字的两位数;当个位数字为5时,十位上的数字有2种取法,能组成2个十位数字小于个位数字的两位数;当个位数字为3时,十位上的数字有1种取法,能组成1个十位数字小于个位数字的两位数.所以组成的十位数字小于个位数字的两位数有1+2+3+4=10(个).(2)任取2个不同的点P,Q.如图①所示,当△ABC为正四棱锥的侧面时,平面ABC的两侧分别可以作以四边形ABPQ为底面的正四棱锥,有2种情况.同理以四边形BCPQ、四边形ACPQ为底面各有2种情况,所以共有6种情况.如图②所示,当△ABC为正四棱锥的截面时,P,Q位于AB两侧,四边形APBQ为正四棱锥的底面,只有1种情况.同理以四边形BPCQ、四边形APCQ为底面各有1种情况,所以共有3种情况.综上,共有6+3=9(种)不同的取法.故选B. 变式题(1)A(2)18[解析](1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以m>n.以m的值为标准分类,可分为四类:第一类,当m=5时,使m>n的n有4种选择;第二类,当m=4时,使m>n的n有3种选择;第三类,当m=3时,使m>n的n有2种选择;第四类,当m=2时,使m>n的n有1种选择.故符合条件的椭圆共有4+3+2+1=10(个).故选A.(2)公差为0的情况有6种:1,1,1;2,2,2;3,3,3,4,4,4;5,5,5;6,6,6.公差为±1的情况有8种:1,2,3;2,3,4;3,4,5;4,5,6;3,2,1;4,3,2;5,4,3;6,5,4.公差为±2的情况有4种:1,3,5;2,4,6;5,3,1;6,4,2.综上可得,3次骰子的点数按抛掷顺序构成等差数列的情况有6+8+4=18(种).例2[思路点拨](1)可分两步完成:第一步,确定哪个盒子的编号与放入的小球的编号相同;第二步,确定其他盒子放球的方法种数.最后根据分步乘法计数原理求解即可.(2)根据题意,先排男生再排女生,由分步乘法计数原理求解可得答案.(1)B(2)C[解析](1)根据题意,先确定一个与小球编号相同的盒子,有3种情况.假设选的是1号球,则剩下的2个小球都没有放到对应的盒子有2→3,3→2;2→3,3→4;2→4,3→2,共3种情况.所以共有3×3=9(种)不同的放法.故选B.(2)第一步,男孩选座位,第1个男孩在第1行选1个位置有3个位置可选,另一个男孩有2种坐法,由于2个男孩可以互换,故男孩的坐法有3×2×2=12(种),第二步,女孩选座位,若2个男孩选A,F,则2个女孩可排在B,D;C,D;C,E.由于女孩可以互换,因此女孩的坐法有2×3=6(种).根据分步乘法计数原理可知,共有12×6=72(种)不同的坐法.故选C.变式题(1)D(2)48[解析](1)先涂中间三角形,有5种涂色方案,再逐个涂旁边部分,都有4种涂色方案.由分步乘法计数原理得,不同的涂色方案种数为5×4×4×4=320.故选D.(2)甲、乙两人先选,则有4×3=12(种)选法.丙、丁两人后选,则每人均有2个选法,所以有2×2=4(种)选法.所以共有12×4=48(种)选法.例3[思路点拨](1)由于0不能为百位数字,故分2种情况讨论:0在个位和0不在个位,再由分类加法计数原理计算可得答案.(2)先考虑居中色块E,由于相邻区域不同色,则可分类讨论C,D同色和C,D不同色,最后考虑A,B.(1)C(2)A[解析](1)根据题意,分2种情况讨论:①若0在个位,此时只需从1,2,3,4,5中任取2个数字,作为十位和百位数字即可,有5×4=20(个)没有重复数字的三位偶数;②若0不在个位,此时必须从2和4中任取1个数字作为个位数字,有2种取法,0不能作为百位数字,则百位数字有4种取法,十位数字也有4种取法,此时有2×4×4=32(个)没有重复数字的三位偶数.综上可得,共有20+32=52(个)没有重复数字的三位偶数.故选C.(2)先涂E,有4种选择,接下来涂C,有3种选择,再涂F,有2种选择.①当C,D颜色相同时,涂色方法种数是4×3×2×1×2=48;②当C,D颜色不相同时,涂色方法种数是4×3×2×1×(1+2)=72.故满足题意的涂色方法种数是48+72=120.故选A.变式题(1)B(2)84[解析](1)按照S→A→B→C→D的顺序进行染色,按照A,C是否同色分类:第一类,A,C同色,由分步乘法计数原理,有5×4×3×1×3=180(种)不同的染色方法;第二类,A,C不同色,由分步乘法计数