全品高考备战2027年数学一轮学生用书07培优专题(一)必要性探路法之端点效应、极点效应、特殊点效应【答案】听课手册

培优专题(一)必要性探路法之端点效应、极点效应、特殊点效应例1解:方法一(端点效应+分类讨论):由题知,f'(x)=-aln(x+1)+1-axx+1-1,令g(x)=-aln(x+1)+1-axx+1-1,则g'(令g'(0)=0,则a=-12当a≤-12,x≥0时,-a(x+1)-a-1≥-a-a-1=-2a∴g(x)在[0,+∞)上单调递增,又g(0)=0,从而f'(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,而f(0)=0,∴当x≥0时,f(x)≥0,故当a≤-12当a≥0时,g'(x)<0恒成立,∴g(x)在[0,+∞)上单调递减,∴当x≥0时,g(x)≤g(0)=0,即f'(x)≤0在[0,+∞)上恒成立,∴当x≥0时,f(x)≤f(0)=0,不满足题意;当-12<a<0时,令g'(x)=0,得x=-2-1则g(x)在0,-2-又f'(0)=0,∴当0<x<-2-1a时,f'(x)<f'(0)=0,f(x而f(0)=0,∴f(x)≥0不恒成立,不满足题意.综上可得a的取值范围为-∞,-1方法二(巧妙变形+分类讨论+数形结合):由题知当x≥0时,f(x)=(1-ax)ln(x+1)-x≥0,显然,当x=0时不等式成立.以下考虑当x>0时的情况:将(1-ax)ln(x+1)-x≥0变形为1-ax≥xln(x+1),令m(x则m'(x)=ln(令h(x)=ln(x+1)-xx+1(则h'(x)=1x+1-1(x+1)2=x(x+1)2>0,从而m(x)在(0,+∞)上单调递增,当x→+∞时,m(x)→+∞.当a≥0时,数形结合可知,当x∈(0,+∞)时,1-ax≥xln(当a<0时,将不等式变形为ln(x+1)≥x1-ax令n(x)=ln(x+1)+xax-1则n'(x)=1x+1-1(ax-当2a+1a2≤0,即a≤-12∴n(x)在(0,+∞)上单调递增,此时n(x)>n(0)=0,满足题意;当2a+1a2>0,即-12<a<0时,n(x)在0,2a+1a2上单调递减,在2a+1a【自测题】解:(1)当a=-32时,f(x)=-32x-lnx-12x,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-32-1x+令f'(x)>0得0<x<13令f'(x)<0得x>13故f(x)在0,13故f(x)在x=13处取得极大值,极大值为f13=-32×13-ln1(2)当x≥1时,不等式ax-lnx-12令g(x)=ax-lnx-12x,x≥1,则g(1)≥0,即a-12≥0,解得a当a≥12时,g(x)=ax-lnx-12x≥12x-ln令t(x)=12x-lnx-12x,x≥1,则t'(x)=12-1x+1故t(x)=12x-lnx-12x在[1,+∞)上单调递增,故t(x故ax-lnx-12x当a<12时,g(1)=a-12综上,a的取值范围是12例2解:由题可得f'(x)=aex-1-1.注意到f(1)=a-1-(a-1)=0,则当x=1时,函数f(x)取得最小值,同时取得极小值,所以f'(1)=a-1=0,所以a=1.当a=1时,f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1-1,当x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,此时f(x)>f(1)=0.当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,此时f(x)>f(1)=0.故f(x)≥0在R上恒成立,所以a=1.【自测题】解:方法一:构造函数+分类讨论因为f(x)=ax,所以ax≤11-2x对即xlna+ln(1-2x)≤0对x∈-∞,12令φ(x)=xlna+ln(1-2x),x∈-∞,12,则φ(0)=0,所以φ'(x)=lna-21-2令h(x)=φ'(x)=lna-21-2x,则h'(x)=-4(所以φ'(x)在-∞,12①当0<a<1时,φ'(x)<0,则φ(x)在-∞,12上单调递减,此时当x<0时,φ(x)>②当a>1时,由φ'(x)=lna-21-2x=0,解得x=12当a=e2时,12-1所以当x∈(-∞,0)时,φ'(x)>0,则φ(x)单调递增,当x∈0,12时,φ'(x)<0,则φ所以当x=0时,φ(x)取得极大值,则φ(x)≤φ(0)=0,所以a=e2;当1<a<e2时,12-1lna<0,因为当x∈12-1lna,所以当x∈12-1lna,0当a>e2时,12-1因为当x∈-∞,12-1lna时,φ'(所以当x∈0,12-1lna时,综上,实数a的取值集合为{e2}.方法二:利用极点效应+充分性证明令g(x)=f(x)-11易知g(0)=f(0)-11=0,所以对任意x∈-∞,12都有g(x)≤0=g(0),所以0为g又0∈-∞,1所以x=0也为g(x)的一个极大值点,所以g'(0)=0.因为g'(x)=ax·lna-2(所以g'(0)=lna-2=0,解得a=e2.证明充分性:当a=e2时,对任意x∈-∞,12都有g(x)=e2x-1综上,实数a的取值集合为{e2}.例3解:令f(x)=aex+a+1x-2a-2,由f(1)=ae+a+1-2a-2≥0成立,得到对任意的x>0,f(x)≥0恒成立的一个必要条件为a≥当a=1e-1时,f(x)=1e-1ex+1e-1+1x-2×1e-1-2=1e-1ex+ex-2e,易证ex≥ex恒成立,当且仅当x=1时取等号,故当x>0时,ex+【自测题】解:f(x)≥1-sinx,即aex-2x+sinx≥1.令x=0,则a≥1,下面证明:当a=1时,ex-2x+sinx≥1恒成立.设g(x)=ex-2x+sinx,则g'(x)=ex+cosx-2,当x<0时,ex<1,cosx≤1,故g'(x)<0,∴g(x)在(-∞,0)上单调递减.令m(x)=ex+cosx-2,则m'(x)=ex-sinx,当x>0时,ex>1,sinx≤1,∴m'(x)>0,∴g'(x)在(0,+∞)上单调递增,此时g'