全品高考备战2027年数学一轮备用题库04重点强化练(四)【答案】

重点强化练(四)1.C[解析]由y'=3x2-1,得y'|x=0=-1,即直线l的斜率为-1,根据倾斜角与斜率关系及其范围知,l的倾斜角为3π4.故选C2.A[解析]由f(x)=x2+lnx,得f'(x)=2x+1x,所以f'(1)=2+1=3,所以f(x)=x2+lnx的图象在点(1,1)处的切线方程是y-1=3(x-1),即3x-y-2=03.A[解析]由y=ex+a,得y'=ex,设切点坐标为(t,et+a),由et=1,得t=0,∴切点坐标为(0,1+a),代入y=x-1,得1+a=-1,即a=-2.4.B[解析]由f(x)=xex+1,得f'(x)=(x+1)ex.设切点坐标为(x0,x0ex0+1),则切线方程为y-x0ex0-1=ex0(x0+1)(x-x0),把(2,1)代入可得-x0ex0=ex0(x0+1)(2-x0),即x02-2x05.B[解析]由给定定义得,将xy+lny=2的两边同时对x求导,可得y+xy'+1y×y'=0,将(2,1)代入,得1+2y'+y'=0,解得y'=-13,故切线斜率为-13,则切线方程为y-1=-13(x-2),即x+3y-5=06.D[解析]设直线y=mx与y=x2+5x(x≥0)的图象相切于点P(x0,y0)(x0≥0),y'=2x+5,则m=2x0+5,所以切线方程为y=(2x0+5)x,又切线过P(x0,y0),所以x02+5x0=(2x0+5)x0,解得x0=0,所以P(0,0),m=5.作出y=f(x)的图象及直线y=5x,如图,由图象可知,当0≤k≤5时,f(x)≥kx恒成立7.D[解析]因为y=lnx-n+4,所以y'=1x,令1x=1e,可得x=e,结合题设,将x=e代入,得1e·e+m=lne-n+4,即m+n=4,则1m+1n=1m+1n·m+n4=142+nm+m8.B[解析]依题意,设切点坐标为(t,(t+1)et),由y=(x+1)ex,得y'=(x+2)ex,则函数y=(x+1)ex的图象在点(t,(t+1)et)处的切线方程为y-(t+1)et=(t+2)et(x-t),由切线过点(1,m),得m=(t+1)et+(t+2)et(1-t)=(-t2+3)et,令g(t)=(-t2+3)et,依题意,直线y=m与函数y=g(t)的图象有三个交点,g'(t)=(-t2-2t+3)et=-(t+3)(t-1)et,当t<-3或t>1时,g'(t)<0,当-3<t<1时,g'(t)>0,所以函数g(t)在(-∞,-3),(1,+∞)上单调递减,在(-3,1)上单调递增.当t=-3时,函数g(t)取得极小值g(-3)=-6e-3,当t=1时,函数g(t)取得极大值g(1)=2e,当x→-∞时,g(x)<0且g(x)→0,当x→+∞时,f(x)→-∞,因此当-6e-3<m<0时,直线y=m与函数y=g(t)的图象有三个交点,所以实数m的取值范围是(-6e-3,0).故选B.9.BCD[解析]因为f'(x)=3x2-6x=3(x-1)2-3≥-3,所以lm的斜率的最小值为-3,故A错误,B正确.因为f'(0)=0,f(0)=1,所以l0的方程为y=1,故C正确.因为f'(-1)=9,f(-1)=-3,所以l-1的方程为y+3=9(x+1),即y=9x+6,故D正确.故选BCD.10.ABC[解析]在同一坐标系中作出曲线y=ex与直线y=kx(k>0),如图所示.当直线y=kx(k>0)与曲线y=ex相切时,设切点坐标为(a,ea),因为y'=ex,所以k=eaa=ea,解得a=1,k=e,因为直线y=kx(k>0)交曲线y=ex于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,所以有k>e,故A正确;当k从e开始增大时,观察图象可知从|OB|<2|OA|变化到|OB|>2|OA|,故必存在一个k,使得|OB|=2|OA|,即A为OB的中点,故B正确;由题得0<x1<x2,所以y1+y2=ex1+ex2>2ex1·ex2=2ex1+x22,故C正确;k1=ex1>0,11.ACD[解析]f'(x)=2x-1,所以f(x)的图象在点(xn,f(xn))处的切线方程为y-f(xn)=f'(xn)(x-xn),令y=0,得xn+1=xn-f(xn)f'(xn)=xn-xn2-xn-62xn-1=xn2+62xn-1,故A正确;xn+1+2xn+1-3=xn2+62xn-1+2xn12.x-πy+π=0[解析]y'=xcosx-sinxx2,可得曲线在点M(-π,0)处的切线斜率k=-πcos(-π)-sin(-π)(-π)213.-2ln2[解析]设直线y=kx+b与函数y=ex-1和y=ex-2的图象的切点分别为P1(x1,ex1-1),P2(x2,ex2-2),令f(x)=ex-1,g(x)=ex-2,因为f'(x)=ex-1,g'(x)=ex,所以曲线y=ex-1在点P1处的切线方程为y-ex1-1=ex1-1(x-x1),整理得y=ex1-1x+(1-x1)ex1-1,曲线y=ex-2在点P2处的切线方程为y因为直线y=kx+b是两函数图象的公切线,所以k由①可得x1-1=x2,代入②得-x2ex2=(1-x2)ex2-2,整理得ex2=2,所以x2=ln2,代入②得b=(1-ln2)eln14.355[解析]设直线y=2x+c与曲线y=lnx-1x相切,切点坐标为t,lnt-1t(t>0),由y=lnx-1x,求导得y'=1x+1x2,由1t+1t2=2,即2t2-15.解:(1)由f(x)=f'(1)x2-x+2lnx,求导可得f'(x)=2f'(1)x-1+2x所以f'(1)=2f'(1)-1+2,解得f'(1)=-1,则f(x)=-x2-x+2lnx.(2)g(x)=12[f(x)+x2+x]+a=lnx+a,求导可得g'(x)=1x.由y=ex+2x得y'=ex+2,故曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线斜率k=e0+2=3,所以曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),化简可得y=3x+1.令g'(x)=1x=3,解得x=13,将其代入切线方程y=3x+1,可得y=2,又g13=ln13+a,所以ln13+a16.解:(1)f(1)=0-13+1-1=-13,f'(x)=2lnx+2-x2+1=2lnx-x2+3,则所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y+13=2(x-1),即y=2x-7(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),令h(x)=2lnx-x2+3,则h'(x)=2x-2x=2(1+x)(1-x)x.当0<x<1时,h'(x)>0;当x>1时,h'(x)<0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以h(x)=2lnx-x2+3在x=1g'(x)=ex+e-x≥2ex·e-x=2,当且仅当x=0时,等号成立,所以g'(x)的最小值为2.因为l1∥l2,所以f'(x1)=g'(x2)=2,得x1=1,x2=0,所以A1,-13,B(0,0),所以直线AB的方程为y-0=-17.解:(1)设切点为(x0,y0),则y0=2ex0,g'(x)=2ex,则切线方程为y-2ex0=2ex0(x-x0),整理可得y=2ex0x-2ex0x0+2ex0,可得k=2ex0,b=-2ex0x0+2ex0,则x0=ln(2)f'(x)=1x,则过点(m,f(m))的曲线y=f(x)的切线方程为y-lnm=1m(x-m),整理可得y=1mx+ln设直线l与曲线y=g(x