全品高考备战2027年数学一轮学生用书01第36讲数列的概念与简单表示法【答案】听课手册

第六单元数列第36讲数列的概念与简单表示法●课前基础巩固【知识聚焦】1.确定的顺序每一个数序号na1+a2+…+an2.有限无限><=3.序号n数列的第n项an【对点演练】1.12n-1[解析]因为12×1-1=1,12×2-1=13,12×3-1=12.2n+2[解析]∵a1=S1=1+3=4,an=Sn-Sn-1=(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)]=2n+2(n≥2),当n=1时,2n+2=4=a1,∴an=23.70[解析]∵5-1=4,12-5=7,22-12=10,∴相邻两个图形的小石子个数的差值依次增加3,∴第5个五边形数是22+13=35,第6个五边形数是35+16=51,第7个五边形数是51+19=70.4.22[解析]由题意可得数列的通项公式为an=2n-1,由43=2n-15.30[解析]因为an=-n2+11n=-n-1122+1214(n∈N*),所以当n6.an=6,n=1,2n+2,n≥2[解析]当n=1时,a1=S1=6;当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+3(n-1)+2,所以an=Sn-Sn-1=(n2+3n+2)-[(n-1)2+3(●课堂考点探究例1(1)D(2)B[解析](1)数列{an}的前几项可化为a1=35=1+22×1+3,a2=47=2+22×2+3,a3=59=3+22×3+3,…,则其通项公式为a(2)对于A,当n=1时,(-1)n+2=(-1)3=-1,故A错误;对于B,当n为奇数时,n-1为偶数,cos[(n-1)π]=cos0=1,与数列奇数项为1相符,当n为偶数时,n-1为奇数,cos[(n-1)π]=cos(-π)=-1,与数列偶数项为-1相符,故B正确;对于C,当n=2时,1-(-1)n2=1-12=0,故C错误;对于D,当n例2[思路点拨](1)利用an=S1(2)先将n=1代入表达式计算出a1的值,当n≥2时,由a1+3a2+9a3+…+3n-1an=n+13,可得a1+3a2+9a3+…+3n-2an-1=n3,两式相减进一步计算即可推导出数列{a(1)5(n=1),2n[解析](1)当n=1时,a1=S1=8-3=5;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+2-3)-(2n+1-3)=2n+1.所以an=5(2)当n=1时,a1=23,当n≥2时,由a1+3a2+9a3+…+3n-1an=n+13,可得a1+3a2+9a3+…+3n-2an-1=n3,两式相减得3n-1an=n+13-n3=13,解得an变式题(1)2n+1(2)an=23[解析](1)由Sn+1=Sn+2an-1,可得Sn+1-Sn=2an-1,即an+1=2an-1,则an+1-1=2(an-1),所以数列{an-1}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an-1=2×2n-1=2n,所以an=2n+1.(2)∵3Snn+n=3an+1,∴3Sn+n2=3nan+n①,当n≥2时,3Sn-1+(n-1)2=3(n-1)an-1+(n-1)②,由①-②得3(Sn-Sn-1)+2n-1=3nan-3(n-1)an-1+1,∴3(n-1)an-3(n-1)an-1=2(n-1),∴an-an-1=23,∴{an}是等差数列,又a1=23,∴例3[思路点拨](2)由已知递推公式求出数列的前7项,结合y=cosnπ3的周期,确定数列{an(1)BD(2)20292[解析](1)an=n-22n-15=12(2n-15)+152-22n-15=12+112(2n-15),易知f(n)=12+112(2n-15)在(0,7]上单调递减,在[8,+∞)上单调递减,且当1≤n≤7时,f(n)<12,当n≥8时,f(n)>12.对于A,因为a7=7-22×7-15=-5,a8=8-216-15=6,所以a7<a8,所以数列{an}不是递减数列,故A错误;对于B,因为a7<a6<…<a1<12,a8>a9>…>12,所以当n=7时a(2)因为a1=1,所以a2=1+cosπ3=1+12=32,a3=a2+cos2π3=32-12=1,a4=a3+cos3π3=1-1=0,a5=a4+cos4π3=0-12=-12,a6=a5+cos5π3=-12+12=0,a7=a6+cos6π3=0+1=1,又y=cosnπ变式题(1)12[解析](1)由a1=12,得a2=22-12=43,则a3=22-43=3,则a4=22-3=-2,则a5=22+2=12(2)对于A,若{an}为等差数列,则Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+a1-d2n,所以-k+2=0,解得k=2,Sn=2n2+n,故A正确;对于B,由题知Sn-1=k(n-1)2+(n-1)-k+2(n≥2),则an=Sn-Sn-1=2kn-k+1(n≥2),又a1=S1=k+1-k+2=3,所以an=3,n=1,2kn-k+1,n≥2,因为{an}不是递增数列,所以k≤0或k>0,3≥2k·2-k+1,解得k≤23,故B正确;对于C,若Sn<Sn+2,则kn2+n-k+2<k(n+2)2+(n+2)-k+2,整理得k>-12(n+1),又y例4[思路点拨]化简递推公式,然后利用累加法求解数列的通项公式即可.C[解析]由an+1=an+ln2n+12n-1,得an+1-an=ln2n+12n-1=ln(2n+1)-ln(2n-1),所以当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+(ln3-ln1)+(ln5-ln3)+…+[ln(2n-1)-ln(2n-3)]=1+ln(2n例5[思路点拨]根据累乘法,可求得数列{an}的通项公式.D[解析]∵an+1=nn+1an,∴an+1an=nn+1,∴an=anan-1×an-1an-2×…×a3a2×a2a1例6[思路点拨]先由递推公式证明{an+3}是等比数列,再利用{an+3}的通项公式写出{an}的通项公式即可.A[解析]由an+1=2an+3,得an+1+3=2(an+3),又a1=1,∴a1+3=4≠0,∴数列{an+3}是以4为首项,2为公比的等比数列,∴an+3=4·2n-1=2n+1,∴an=2n+1-3.故选A.例7[思路点拨]本题中数列{an}的递推公式满足an=pan-1+qn(n≥2)(p,q均不为0和1且p≠q),求通项公式的方法较多.思路一:可以先两边同除以3n构造新数列an3n,再利用累加法求通项公式;思路二:可以先两边同除以2n构造等比数列an2n+2,再利用等比数列的性质求通项公式;思路三:设an+λ2n=p(an-1+λ2n-1)(n≥2),可以利用待定系数法求得p=3,λ=2,则{an+25×3n-1-2n+1[解析]方法一:因为an=3an-1+2n(n≥2),所以an3n=an-13n-1+23n(n≥2),利用累加法可得an3n=a13+232+233+…+23n=13+2321-23方法二:因为an=3an-1+2n(n≥2),所以an2n=32·an-12n-1+1(n≥2),所以an2n+2=32an-12n-1+2(n方法三:设an+λ2n=p(an-1+λ2n-1)(n≥2),则an=pan-1+pλ2-λ2n(n≥2).因为an=3an-1+2n(n≥2),所以p=3,λ=2,所以an+2n+1=3(an-1+2n)(n≥2),所以{an+2n+1}是首项为a1+22=5,公比为3的等比数列,所以an+2n+1=5×3n-1,所以an=5×3n-1-2例8[思路点拨]由递推关系证明数列1an是以12为公差,12为首项的等差数列,从而得1an=nB[解析]由an+1=2anan+2,整理得1an+1=1an+12,又1a1=12,所以1an【应用演练】1.A[解析]由an+1=an+1n2+n,得an+1-an=1n2+n=1n-1n+1,则an-an-1=1n-1-1n,…,a2-a1=1-12,a1=12,所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=12+1-12+12-13+…+1n-2.A[解析]由an+1=2an+1,得an+1+1=2(an+1),∵a1+1=2≠0,∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an+1=2n,∴an=2n-1.故选A.3.B[解析]因为(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2),所以anan-1=n+1n-1,又因为a1=2,所以an=a1·a2a1·a3a2·…·anan-1=2×31×42×…×n+1n-1=n2+n,又4.an=n·3n[解析]由