2025年辽宁锦州一模数学试卷及答案

2025年辽宁锦州一模数学试卷及答案一、单选题1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=|x|【答案】A【解析】一次函数y=kx+b（k≠0），当k>0时，函数为增函数，A选项中k=-2<0，函数为减函数；B选项为二次函数，开口向上，在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；C选项为反比例函数，在定义域内单调递减；D选项为绝对值函数，在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。只有A选项满足在其定义域内单调递增。2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则集合A∩B为（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{-1,2}【答案】B【解析】解方程x^2-3x+2=0，得x=1或x=2，即A={1,2}。B为奇数集，包含所有形如2k+1的整数。A∩B={x|x∈A且x∈B}，故A∩B={2}。3.函数f(x)=sin(π/2+x)的图像关于哪个点中心对称？（）（1分）A.(0,0)B.(π/2,0)C.(π,0)D.(π/4,0)【答案】C【解析】函数f(x)=sin(π/2+x)=cosx，其图像关于(π,0)中心对称，因为cosx在x=π时取得最小值-1。4.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则角C的度数为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】由勾股定理a^2+b^2=c^2，可知△ABC为直角三角形，且∠C=90°。5.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2，则f(-1)的值为（）（1分）A.-2B.2C.0D.1【答案】A【解析】奇函数满足f(-x)=-f(x)，故f(-1)=-f(1)=-2。6.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei<=5dos=s+i;i=i+1;endA.1B.3C.10D.15【答案】C【解析】程序执行过程：i=1,s=0+1=1；i=2,s=1+2=3；i=3,s=3+3=6；i=4,s=6+4=10；i=5,s=10+5=15；i=6退出循环。最终s=15。7.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名，现要随机抽取5名学生参加活动，则抽到3名男生和2名女生的概率为（）（2分）A.1/50B.3/50C.1/8D.3/10【答案】D【解析】P(3男2女)=C(30,3)×C(20,2)/C(50,5)=3/10。8.方程x^2+px+q=0的两根为α、β，且α+β=3，αβ=-2，则p、q的值分别为（）（2分）A.p=3，q=-2B.p=-3，q=2C.p=3，q=2D.p=-3，q=-2【答案】B【解析】由韦达定理α+β=-p=3，αβ=q=-2，解得p=-3，q=2。【答案】B【解析】由韦达定理α+β=-p=3，αβ=q=-2，解得p=-3，q=2。二、多选题（每题4分，共20分）1.以下命题中，正确的是（）A.若a>b，则a^2>b^2B.若a>b，则|a|>|b|C.若a>b，则1/a<1/bD.若a>b>0，则√a>√b【答案】C、D【解析】A选项错误，如a=2，b=-3，则a>b但a^2<b^2；B选项错误，如a=2，b=-3，则a>b但|a|<|b|；C选项正确，a>b>0时，1/a和1/b均为正数，分子越大分母越小，分数值越小；D选项正确，a>b>0时，函数y=√x在(0,+∞)上单调递增。2.以下函数在其定义域内为奇函数的是（）A.y=x^3B.y=1/xC.y=sin(x)D.y=ln(x)【答案】A、B、C【解析】奇函数满足f(-x)=-f(x)。A选项中f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)；B选项中f(-x)=1/(-x)=-1/x=-f(x)；C选项中f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)；D选项ln(x)为非奇非偶函数。3.以下不等式成立的是（）A.2^100>3^50B.10^10>2^100C.2^(1/2)>3^(1/3)D.5^(-1)>2^(-1)【答案】A、B【解析】A选项，两边取对数得100log2>50log3，即2log2>log3，成立；B选项，两边取对数得10log10>100log2，即log10>10log2，成立；C选项，两边取对数得(1/2)log2>(1/3)log3，即3log2>2log3，不成立；D选项，5^(-1)=1/5，2^(-1)=1/2，显然1/5<1/2，不成立。4.以下图形中，是轴对称图形的是（）A.等腰梯形B.平行四边形C.圆D.角【答案】A、C、D【解析】等腰梯形关于上底中点所在的直线对称；圆关于任意一条过圆心的直线对称；角关于其平分线所在的直线对称；平行四边形不是轴对称图形。【答案】A、C、D【解析】等腰梯形关于上底中点所在的直线对称；圆关于任意一条过圆心的直线对称；角关于其平分线所在的直线对称；平行四边形不是轴对称图形。三、填空题1.若f(x)=2x-1，则f(f(2))的值为______。（2分）【答案】7【解析】f(2)=2×2-1=3，f(f(2))=f(3)=2×3-1=6。2.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，则角C的正弦值为______。（4分）【答案】√3/2【解析】角C=180°-45°-60°=75°，sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√2/2×√3/2+√2/2×1/2=√6/4+√2/4=√3/2。3.函数y=2cos(π/3-x)的最小正周期为______。（2分）【答案】2π【解析】函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|，此处ω=1，故T=2π。4.某校高三（1）班有60名学生，其中优等生20名，普通生40名，现要随机抽取3名学生参加竞赛，则抽到至少2名优等生的概率为______。（4分）【答案】1/3【解析】P(至少2优)=P(2优1普)+P(3优)=C(20,2)×C(40,1)/C(60,3)+C(20,3)/C(60,3)=1/3。5.若直线l:ax+by+c=0与圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=5相切，则a、b、c的关系为______。（4分）【答案】a^2+b^2=20【解析】圆心(1,2)到直线ax+by+c=0的距离等于半径√5，即|a×1+b×2+c|/√(a^2+b^2)=√5，化简得a^2+b^2=20。四、判断题1.若α是锐角，则tanα>sinα（）（2分）【答案】（×）【解析】设α=30°，则tan30°=1/√3≈0.577，sin30°=1/2=0.5，tanα<sinα。2.样本容量为50，样本平均数为20，则样本方差s^2=400时，样本标准差s=20（）（2分）【答案】（×）【解析】样本方差s^2=400，则样本标准差s=√400=20。3.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f(x)在(a,b)上连续（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增不一定连续，如分段函数f(x)在(a,b)上单调递增，但可能在(a,b)上存在间断点。4.若a、b、c为正数，且a+b+c=1，则(a+b)(b+c)(c+a)的最大值为1/8（）（2分）【答案】（×）【解析】(a+b)(b+c)(c+a)=abc+ab^2+ac^2+bc^2+2abc+2bc^2+2abc+2ac^2+2ab^2=3abc+2(ab+ac+bc)。由均值不等式，abc≤(a+b+c)^3/27=1/27，故最大值不为1/8。5.复数z=1+i的模为√2（）（2分）【答案】（√）【解析】|z|=√(1^2+1^2)=√2。五、简答题1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1。（4分）（1）求函数f(x)的极值点；（2）判断函数f(x)在(-∞,1)上的单调性。（4分）【答案】（1）f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，得3x^2-6x+2=0，解得x=1±√(1/3)。当x=1-√(1/3)时，f'(x)由正变负，为极大值点；当x=1+√(1/3)时，f'(x)由负变正，为极小值点。（2）在(-∞,1)上，f'(x)=3x^2-6x+2<0，故f(x)在(-∞,1)上单调递减。2.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为30元，求该工厂的盈亏平衡点。（5分）【答案】设生产x件产品，总收入为30x，总成本为10+20x，盈亏平衡时总收入=总成本，即30x=10+20x，解得x=5。故盈亏平衡点为生产5件产品。3.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，求向量a+b和a·b的值。（2分）【答案】a+b=(1+3,2-4)=(4,-2)，a·b=1×3+2×(-4)=3-8=-5。六、分析题1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=S_n/S_{n-1}-1（n≥2）。（10分）（1）求证数列{a_n}是等比数列；（2）求通项公式a_n。（5分）【答案】（1）由a_n=S_n/S_{n-1}-1，得S_n=a_nS_{n-1}，即S_n/S_{n-1}=a_n。又S_n-S_{n-1}=a_n，故a_n^2=S_n-S_{n-1}=a_n，即a_n=a_{n-1}。故{a_n}是首项为1，公比为1的等比数列。（2）由a_n=S_n/S_{n-1}-1，得S_n=(a_n+1)S_{n-1}。令n=2，得S_2=(a_2+1)S_1=a_2+1。又S_2=S_1+a_2，即a_2=a_2+1，矛盾。故{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列。a_n=2^{n-1}。2.某城市地铁线路如图所示，A、B、C为三个地铁站，其中A到B、B到C的票价分别为3元和4元，求从A到C的所有可能票价组合及其概率。（10分）【答案】从A到C有两条路线：AB→BC，票价为3+4=7元，概率为1/2；AC，票价为5元，概率为1/2。故票价为7元，概率为1/2；票价为5元，概率为1/2。七、综合应用题1.某商场销售某种商品，进价为每件50元，售价为每件80元。商场决定进行促销活动，有两种方案：方案一：打八折销售，即售价为每件64元；方案二：买一件送一件，即购买一件送一件，实际售价为每件40元。（25分）（1）分别计算两种方案的盈亏平衡点；（2）若商场预计月销售量为1000件，哪种方案更获利更多？（3）若商场希望月获利至少10万元，哪种方案更可行？（20分）【答案】（1）方案一：售价为64元，每件利润为64-50=14元，盈亏平衡时销售量x满足14x=固定成本，设固定成本为F，则