全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题81第67讲二项分布与超几何分布、正态分布

第67讲二项分布与超几何分布、正态分布【备选理由】例1、例2考查二项分布与超几何分布;例3考查正态分布与超几何分布的综合应用,考查分析与解决问题的综合能力.例1[配例1、例2使用][2025·河南豫北六校模拟]在某闯关游戏中,有A,B两类难度不同的关卡,已知小明通过A类关卡的概率为23,通过B类关卡的概率为34,各关卡相互独立.游戏共有两个环节,第一个环节由4个关卡组成,其中A,B两类关卡各2个,且每个关卡的难度未知,至少闯过1个关卡即可通过此环节,然后进入第二个环节,方案一:依次闯7个A类关卡,每通过一个关卡得15分,否则得0分;方案二:依次闯7个B类关卡,每通过一个关卡得12分,否则得0分;方案三:从4个A类关卡,5个B类关卡中随机抽取7个关卡,其中通过一个A类关卡得15分,通过一个B类关卡得12分,根据最后的得分获得相应的奖品.(1)求小明通过第一个环节的概率.(2)小明已通过第一个环节,进入第二个环节,从得分期望的角度分析,小明选择哪种方案参加第二个环节更加合理?请说明理由.解:(1)若小明通过第一个环节,则至少闯过一个关卡,故所求概率P=1-1-34(2)小明选择方案一参加第二个环节更加合理.理由如下:若小明选择方案一参加第二个环节,则闯过的关卡数X~B7,所以得分的期望为E(15X)=15×7×23=70若小明选择方案二参加第二个环节,则闯过的关卡数Y~B7,所以得分的期望为E(12Y)=12×7×34=63若小明选择方案三参加第二个环节,当随机抽取到2个A类关卡,5个B类关卡时,得分的平均值为2×23×15+5×34×12=65,概率为P1=C4当随机抽取到3个A类关卡,4个B类关卡时,得分的平均值为3×23×15+4×34×12=66,概率为P2=C4当随机抽取到4个A类关卡,3个B类关卡时,得分的平均值为4×23×15+3×34×12=67,概率为P3=C4所以得分的期望为E(Z)=65×16+66×59+67×518=595因为E(15X)>E(Z)>E(12Y),所以小明选择方案一参加第二个环节更加合理.例2[配例1、例2使用]某城市实施了机动车尾号限行措施,该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查结果进行整理后制成下表:年龄(岁)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)频数551015105赞成的人数3491073(1)用样本估计总体,将样本频率视为概率,且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年龄在[45,55)内的市民中随机选取4人进行追踪调查,记其中不赞成“车辆限行”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若在这50名被调查者中随机抽取20人,记Y为抽取的20人中赞成“车辆限行”的人数,求使概率P(Y=k)取得最大值的整数k.解:(1)由题意,X的可能取值为0,1,2,3,4,因为年龄在[45,55)内的市民中不赞成“车辆限行”的频率为13,所以X~B4所以P(X=k)=C4k·234-所以X的分布列为X01234P1632881E(X)=4×13=4(2)这50名被调查者中,有36人赞成,14人不赞成,所以P(Y=k)=C36kC由P(Y=k)≥P(Y因为k∈Z,所以k=14.例3[配例2、例3使用][2025·山东济南外国语学校模拟]某中学为提升学生们的数学素养,激发大家学习数学的兴趣,举办了一场“数学文化素养知识大赛”,分为初赛和复赛两个环节,初赛成绩为前200名的学生参加复赛.已知共有8000名学生参加了初赛,现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩(单位:分)作为样本,得到如图所示的频率分布直方图(分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]).(1)规定初赛成绩在[90,100]内的为优秀,在[80,90)内的为良好,在[70,80)内的为一般,在[60,70)内的为合格,在[40,60)内的为不合格,若从样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人,求至少有1人初赛成绩优秀的概率,并求初赛成绩优秀的人数X的分布列及数学期望.(2)由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似为样本中100名学生初赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替),且σ2=65.已知小华的初赛成绩为85分,利用该正态分布,估计小华是否有资格参加复赛?附:65≈8;若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.9973.解:(1)由频率分布直方图可知,样本中初赛成绩在[80,90)内的人数为0.015×10×100=15,样本中初赛成绩在[90,100]内的人数为0.005×10×100=5,故X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=C152C202=2138,P(X=1)=C51C151所以X的分布列为X012P21151故至少有1人初赛成绩优秀的概率为P(X≥1)=1538+119=E(X)=0×2138+1×1538+2×119(2)由频率分布直方图可知,μ=45×0.05+55×0.2+65×0.3+75×0.25+85×0.15+95×0.05=69,由σ2=65,得σ≈8,因为Z~N(6