全品高考备战2027年数学一轮学生用书06增分微课6与球有关的切、接问题【答案】听课手册

增分微课6与球有关的切、接问题例1(1)A(2)2[解析](1)由题意,设球的球心为O,半径为R,正三棱台的上、下底面分别为△A1B1C1,△A2B2C2,A1A2,B1B2,C1C2均为正三棱台的棱,则△A1B1C1,△A2B2C2都是等边三角形.设△A1B1C1,△A2B2C2的外接圆圆心分别为O1,O2,连接O1O2,则O1O2=1.连接O1A1,O2A2,∵等边三角形A1B1C1和等边三角形A2B2C2的边长分别为33,43,∴O1A1=3,O2A2=4.连接OA1,OA2,若点O在线段O1O2上,则R2=O1A12+OO12=O2A22+(1-OO1)2,即32+OO12=42+(1-OO1)2,可得OO1=4>O1O2,矛盾,故点O在线段O1O2的延长线上.由题意得R2=O1A12+(OO2+1)2=O2A22+OO22(2)连接SB,SC,形成三棱锥S-ABC,并将三棱锥S-ABC补成正三棱柱SB'C'-ABC,如图,则三棱锥S-ABC的外接球也是正三棱柱SB'C'-ABC的外接球,显然球心O到底面ABC的距离即为三棱柱的高SA的一半.设O'为△ABC的中心,连接AO,OO',则OO'⊥平面ABC,连接AO'并延长,使之交BC于点D,则AD=332,AO'=23AD=3,所以OO'=OA2-O'A变式题(1)B(2)24π(3)14π[解析](1)由题可将该三棱锥P-ABC放入正方体中,如图,则该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同,故该三棱锥外接球的半径为PA2+PB2+PC22=32PA.由4π×32PA2=9π,可得(2)如图,在正三棱锥P-ABC中,其底面的中心为H,则PH为正三棱锥P-ABC的高.由题可知在正三角形ABC中,AB=AC=BC=4,所以CD=42-22=23,CH=23CD=433,因为PC=4,所以PH=PC2-CH2=42-4332=463.由题可知正三棱锥P-ABC的外接球即为所求,易知正三棱锥P-ABC的外接球的球心Q在直线PH上,设其外接球的半径为r,则PQ=CQ=r,QH=463-r,在Rt△QCH中,由勾股定理得QH2+CH2=QC2(3)如图①,设△AFD1的外心为O1,由外心的定义可知,O1为线段A1D的四等分点(靠近A1),则球心O在过O1且与平面AD1F垂直的直线上.以D为坐标原点,建立如图②所示的空间直角坐标系,则O132,0,32,A(2,0,0),E(1,2,0),设三棱锥A-D1EF的外接球的球心O32,m,32,半径为R,由OA=OE,可求出m=1,则R2=OA2=72 例2(1)C(2)52[解析](1)设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,则l=23,2πr=23π,解得r=3,所以h=(23)2-(3)2=3.圆锥的轴截面如图所示.设体积最大的球的半径为R,则RAO=DCAC,即R3-R=(2)当铁球的半径最大时,两铁球相切,且分别与圆柱的两底面相切,轴截面如图所示.设铁球的半径为rcm,两铁球的球心分别为O1,O2,作出辅助线,则△OO1O2为直角三角形,O1O2=2r,OO1=9-2r,OO2=8-2r,则(8-2r)2+(9-2r)2=4r2,即4r2-68r+145=0,则(2r-29)(2r-5)=0,解得r=52或r=292(舍),故铁球半径的最大值为52变式题(1)A(2)B[解析](1)设球的半径为R,因为43πR3=43π,所以R=3.因为球面与该正三棱柱的所有面都相切,所以正三棱柱的高为23,设正三棱柱的底面边长为a,因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径,所以3=13×32a,所以a=6,则正三棱柱的表面积为3×6×23+2×12×6×6×32(2)由正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面边长分别为6和12,得上、下底面正三角形的高分别为62-32=33,122-62=63.由几何体的结构特征得内切球与上、下底面的切点分别为上、下底面的重心O,O1,设D,D1为侧面等腰梯形上、下底边的中点,则OD=3,O1D1=23,DD1=OD+O1D1=33.设内切球的半径为r,则正三棱台的高为2例3(1)A(2)12[解析](1)取AB的中点E,可知E在球面上,可得EB=-EA=-12BA,所以PA·PB=(PE+EA)·(PE+EB)=PE2-EA2=PE2-14,当PE为球O的直径时,|PE|取得最大值2,此时点P所在位置符合题意,所以PA·(2)不妨设正方体的棱长为2,EF的中点为O,分别取CD,CC1的中点G,M,设侧面BB1C1C的中心为N,连接FG,EG,OM,ON,MN,如图.由题意可知,O为球心,在正方体中,EF=FG2+EG2=22+22=22,即以EF为直径的球的半径R=2,球心O到CC1的距离为OM=ON2+MN2变式题(1)D(2)4-22[解析](1)如图,取△ABC的中心E,连接PE,则PE⊥平面ABC,则与棱均相切的球的球心O在PE上.连接AE并延长交BC于点D,则D为BC的中点,AD⊥BC,连接OD,因为PE⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PE⊥BC,又AD∩PE=E,AD,PE⊂平面OED,所以BC⊥平面OED,又OD⊂平面OED,所以BC⊥OD.过点O作OF⊥PA,交PA于点F,设球O的半径为r,则OD=OF=r,因为AB=23,PA=4,所以AD=(23)2-(3)2=3,AE=23AD=2,ED=13AD=1,由勾股定理得PE=PA2-AE2=16-4=23,在Rt△PAE中,sin∠APE=AEAP=12,所以∠APE=30°.设OE=t(0<t<23),则PO=2OF=2r,因为r=OD=ED2+OE2(2)由对称性可知,球心O在正方体的对角线AC1上.如图,过点O作OF⊥BC1,垂足为F,可知OF⊥平面BCC1B1,故球O与平面BCC1B1相切于点F,所以OF为球O的半径r.过点O作OE⊥AB,垂足为E,故球O与AB相切于点E,所以OE为圆O的半径r.在△ABC1中,AB⊥BC1,AB=2,BC1=22,易知△AEO∽△OFC1,所以AEOF=OEC1F,即2-rr=例46π[解析]如图所示,设O为大球的球心,大球的半径为R,大正四面体的底面中心为E,AB=12,高为h,CD的中点为F,连接OA,OB,OC,OD,OE,BF,则BE=23BF=33×12=43,h=AE=AB2-BE2=63×12=46,∵V正四面体=4VO-ABC,∴13S△ABC·h=4×13S△ABC·R,∴R=14h=6.设小球的半径为r,小球也可看作一个小的正四面体的内切球,且小正四面体的高h小=h-2R=26,∴r=14h小=14×26=62,变式题6327[解析]该组合体一共有24个面,每一个面都是全等的边长为1的等边三角形,则其表面积为24×34×12=63.易知该组合体的外接球即为任意一个正四面体的外接球,可用一个正四面体来求解,如图,E是△BCD的中心,F是球心,则2DEcosπ6=DC=2,则DE=233,AE=22-2332=263.设其外接球的半径为R,则AF=DF=R,又AF+EF=AE,DF2=EF2+DE2,所以R=62.两正交四面体公共部分一共有8个面,且每一个面都是全等的边长为1的等边三角形,则其表面积为8×34×12=23,大正四面体的体积为13×34×22×263=223,则每个小正四面体的体积为223×123=212例5(1)C(2)43π[解析](1)方法一(导数法):如图,连接AC,BD交于点O1,连接SO1.设正四棱锥S-ABCD的高SO1=h,底面边长为a,则AO1=22a,设正四棱锥外接球的半径为R,则由43πR3=36π,得R=3.延长SO1,交球面于点M,连接AM,则SM为球的直径,易知AO1⊥SM,在Rt△SAM中,由射影定理知,l2=6h,12a2=h(6-h),所以a2=2h(6-h),h=l26∈32,92,所以正四棱锥S-ABCD的体积为13a2h=23h2(6-h)=23(-h3+6h2).记V(h)=23(-h3+6h2),h∈32,92,则V'(h)=2(-h2+4h),h∈32,92,当h∈32,4时,V'(h)>0,V(h)单调递增,当h∈4,92时,V'(h)<0,V方法二(基本不等式法):同方法一得正四棱锥的体积V=13a2h=13(12-2h)h×h≤13×(12-2h)+h+h33=643,当且仅当h=4时取等号.当l=3时,h=32,a=332,此时V=13a2h=13×3322×32=274.当l=33时,h=92,a=(2)设正三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,AC=BC=AB=a,则3a×h=9,所以h=3a.设△ABC外接圆的半径为r,则2r=asinπ3,解得r=3a3.设球O的半径为R,则R2=r2+h24=a23+94a2≥3变式题(1)A(2)3[解析](1)设正六边形ABCDEF的中心为点M,则点M与任意一条边均构成等边三角形,所以点M到各边的距离均为等边三角形的高,即ABsin60°=3.不妨设该正六棱柱的高为h,则r≤h2且r≤3,r取两者之中的较小者,由点M到A,B,C,D,E,F的距离均为2,得点M是正六边形ABCDEF的外接圆圆心,因此正六棱柱的外接球半径R=h22+22=h2+162.若h<23,则r=h2,则Rr=h2+16h=1+16h2>1+1612=73;若h≥23,则r=3,则Rr=h2+1623≥12+16(2)设△ABC的外接圆的半径为r,由正弦定理可得BCsin∠BAC=2r,因为BC=3,∠BAC=60°,所以332=2r,解得r=1.设点P到平面ABC的距离为d,则VP-ABC=13×S△ABC×d.如图,连接AO,若三棱锥P-ABC的体积最大,则S△ABC,d同时最大即可,由三角形的面积公式得S△ABC=12×32×AB×AC=34×AB×AC,由余弦定理得12=AB2+AC2-32×AB×AC=(AB+AC)2-2×AB×AC-32×AB×AC,则2(AB+AC)2-4×AB×AC-6=2×AB×AC,则(AB+AC)2=3×AB×AC+3,由基本不等式得AB+AC≥2AB×AC,当且仅当AB=AC时取等号,所以(AB+AC)2≥4×AB×AC,则3×AB