2026年定积分的性质测试题及答案

2026年定积分的性质测试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可积，$k$为常数，则$\int_{a}^{b}kf(x)dx$等于（）A.$k\int_{a}^{b}f(x)dx$B.$\int_{a}^{b}f(kx)dx$C.$\int_{a}^{b}f(x)dx+k$D.$\int_{a}^{b}[f(x)+k]dx$2.若$f(x)$在$[a,b]$上可积，且$\int_{a}^{b}f(x)dx=0$，则（）A.$f(x)=0$在$[a,b]$上恒成立B.存在$x_0\in[a,b]$，使得$f(x_0)=0$C.不存在$x_0\in[a,b]$，使得$f(x_0)=0$D.以上都不对3.设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$a<c<b$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx$等于（）A.$\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$B.$\int_{a}^{c}f(x)dx-\int_{c}^{b}f(x)dx$C.$\int_{c}^{a}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$D.$\int_{c}^{a}f(x)dx-\int_{c}^{b}f(x)dx$4.若$f(x)$，$g(x)$在$[a,b]$上可积，则$\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx$等于（）A.$\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$B.$\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx$C.$\int_{a}^{b}f(x)dx\cdot\int_{a}^{b}g(x)dx$D.$\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{\int_{a}^{b}g(x)dx}$5.设$f(x)$在$[a,b]$上可积，且$f(x)\geq0$，$x\in[a,b]$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx$（）A.一定大于0B.一定等于0C.一定小于0D.大于等于06.已知$\int_{1}^{2}f(x)dx=3$，$\int_{1}^{2}g(x)dx=2$，则$\int_{1}^{2}[3f(x)-2g(x)]dx$的值为（）A.5B.7C.9D.137.若$f(x)$在$[a,b]$上可积，且$m\leqf(x)\leqM$，$x\in[a,b]$，则$m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leqM(b-a)$，这个性质称为（）A.定积分的保号性B.定积分的比较性质C.定积分的估值性质D.定积分的线性性质8.设$f(x)$在$[-a,a]$上连续且为偶函数，则$\int_{-a}^{a}f(x)dx$等于（）A.$0$B.$2\int_{0}^{a}f(x)dx$C.$\int_{0}^{a}f(x)dx$D.$-2\int_{0}^{a}f(x)dx$9.设$f(x)$在$[-a,a]$上连续且为奇函数，则$\int_{-a}^{a}f(x)dx$等于（）A.$0$B.$2\int_{0}^{a}f(x)dx$C.$\int_{0}^{a}f(x)dx$D.$-2\int_{0}^{a}f(x)dx$10.若$f(x)$在$[a,b]$上可积，且$\int_{a}^{b}f(x)dx>\int_{a}^{b}g(x)dx$，则（）A.$f(x)>g(x)$在$[a,b]$上恒成立B.存在$x_0\in[a,b]$，使得$f(x_0)>g(x_0)$C.不存在$x_0\in[a,b]$，使得$f(x_0)>g(x_0)$D.以上都不对二、填空题（每题2分，共20分）1.若$\int_{a}^{b}f(x)dx=5$，$\int_{a}^{b}g(x)dx=3$，则$\int_{a}^{b}[2f(x)-g(x)]dx=$______。2.定积分$\int_{a}^{b}1dx=$______。3.若$f(x)$在$[a,b]$上可积，且$f(x)\leqg(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx$______$\int_{a}^{b}g(x)dx$。4.设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$a<c<d<b$，则$\int_{c}^{d}f(x)dx=\int_{a}^{d}f(x)dx-$______。5.已知$\int_{0}^{1}f(x)dx=2$，$\int_{1}^{2}f(x)dx=3$，则$\int_{0}^{2}f(x)dx=$______。6.若$f(x)$在$[-a,a]$上连续且为偶函数，则$\int_{-a}^{0}f(x)dx=$______。7.若$f(x)$在$[-a,a]$上连续且为奇函数，则$\int_{-a}^{0}f(x)dx=$______。8.设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$m$，$M$分别是$f(x)$在$[a,b]$上的最小值和最大值，则$m(b-a)\leq$______$\leqM(b-a)$。9.已知$\int_{1}^{3}f(x)dx=4$，$\int_{3}^{5}f(x)dx=6$，则$\int_{1}^{5}f(x)dx=$______。10.若$\int_{a}^{b}f(x)dx=0$，且$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)=$______在$[a,b]$上恒成立。三、判断题（每题2分，共20分）1.若$f(x)$在$[a,b]$上可积，则$-f(x)$在$[a,b]$上也可积。（）2.定积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$的值只与被积函数$f(x)$和积分区间$[a,b]$有关，与积分变量用什么字母表示无关。（）3.若$f(x)$在$[a,b]$上可积，且$f(x)\geq0$，$x\in[a,b]$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx>0$。（）4.若$f(x)$，$g(x)$在$[a,b]$上可积，则$\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\cdot\int_{a}^{b}g(x)dx$。（）5.设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$a<c<b$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$。（）6.若$f(x)$在$[-a,a]$上连续且为偶函数，则$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$。（）7.若$f(x)$在$[-a,a]$上连续且为奇函数，则$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$。（）8.若$f(x)$在$[a,b]$上可积，且$\int_{a}^{b}f(x)dx=0$，则$f(x)=0$在$[a,b]$上恒成立。（）9.若$f(x)$在$[a,b]$上可积，且$m\leqf(x)\leqM$，则$m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leqM(b-a)$。（）10.定积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$与$\int_{b}^{a}f(x)dx$的值互为相反数。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述定积分的线性性质。2.说明定积分的比较性质。3.阐述定积分的估值性质。4.若$f(x)$在$[-a,a]$上连续，根据$f(x)$的奇偶性说明$\int_{-a}^{a}f(x)dx$的计算方法。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论定积分性质在求定积分中的应用。2.举例说明定积分的保号性在判断函数性质中的作用。3.探讨如何利用定积分的性质证明不等式。4.思考定积分性质与不定积分性质的联系与区别。答案一、单项选择题1.A2.B3.A4.A5.D6.B7.C8.B9.A10.B二、填空题1.72.$b-a$3.$\leq$4.$\int_{a}^{c}f(x)dx$5.56.$\int_{0}^{a}f(x)dx$7.$-\int_{0}^{a}f(x)dx$8.$\int_{a}^{b}f(x)dx$9.1010.0三、判断题1.√2.√3.×4.×5.√6.√7.×8.×9.√10.√四、简答题1.定积分的线性性质包括：若函数$f(x)$，$g(x)$在区间$[a,b]$上可积，$k_1$，$k_2$为常数，则$\int_{a}^{b}[k_1f(x)+k_2g(x)]dx=k_1\int_{a}^{b}f(x)dx+k_2\int_{a}^{b}g(x)dx$，以及$\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$（$k$为常数）。它表明定积分对被积函数具有线性运算的性质，在计算定积分时可将复杂函数拆分为简单函数的线性组合分别积分。2.定积分的比较性质为：若$f(x)$，$g(x)$在$[a,b]$上可积，且$f(x)\leqg(x)$，$x\in[a,b]$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx$。此性质可用于比较两个定积分的大小，也可由定积分大小关系推断被积函数在某些点的大小关系。3.定积分的估值性质是：若$f(x)$在$[a,b]$上可积，且$m\leqf(x)\leqM$（$m$，$M$为常数），则$m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leqM(b-a)$。它能根据被积函数在区间上的取值范围，估计定积分的值的范围，在一些不需要精确计算定积分值时很有用。4.若$f(x)$在$[-a,a]$上连续，当$f(x)$为偶函数时，$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$；当$f(x)$为奇函数时，$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。这是因为偶函数图象关于$y$轴对称，其在对称区间上的积分等于半区间积分的2倍；奇函数图象关于原点对称，其在对称区间上的积分值为0。五、讨论题1.定积分性质在求定积分中应用广泛。线性性质可将复杂被积函数拆分为简单函数分别积分，如$\int_{a}^{b}[3f(x)+2g(x)]dx=3\int_{a}^{b}f(x)dx+2\int_{a}^{b}g(x)dx$，若已知$\int_{a}^{b}f(x)dx$和$\int_{a}^{b}g(x)dx$的值，可方便求出原式的值。积分区间可加性$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$（$a<c<b$）可将大区间积分转化为小区间积分之和，便于计算。估值性质可先估计定积分范围，对结果有初步判断。2.例如，已知$f(x)$在$[a,b]$上可积且$\int_{a}^{b}f(x)dx>0$，由定积分的保号性可知，存在子区间使得$f(x)$在该子区间上大于0。若$f(x)$连续，根据连续函数的性质，可进一步探讨$f(x)$在区间上的正负分布等性质。保号性为从定积分值判断函数性质提供了重要依据。3.利用定积分的比较性质和估值性质可证明不等式。比如要证$\int_{a}^{b}f(x)dx>\int_