2026年临沂高三数学高考三模冲刺卷：概率统计与实际应用建模（学生自测版第2套）含参考答案、逐题解析与评分细则

2026年临沂高三数学高考三模冲刺卷：概率统计与实际应用建模（学生自测版第2套）含参考答案、逐题解析与评分细则临沂高三数学高考三模冲刺卷（学生自测版第2套）科目：数学专题：概率统计与实际应用建模满分：150分考试时间：120分钟注意事项1.本卷供2026届高三三模冲刺阶段学生自测使用，重点考查概率统计与实际应用建模，并兼顾函数与导数、数列、三角、立体几何、圆锥曲线等核心内容。2.单项选择题每题只有一个正确选项；多项选择题全部选对得满分，选对但不全得部分分，有选错得0分。3.请将选择题答案填入答题栏，填空题答案写在指定横线上，解答题须写出必要的文字说明、演算步骤和结论。4.书写应规范清晰，集合、区间、分式、根式、概率分布、组合数、导数等符号必须表达完整。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意）1.已知集合，，则为（）A.B.C.D.2.复数满足，则等于（）A.B.C.D.3.已知向量，，若，则实数的值为（）A.B.C.D.4.某校从高三学生中随机抽取100名同学，记录一次限时训练成绩。已知样本均值为，样本标准差为。若用正态模型估计，则成绩不低于的学生比例最接近（）参考数据：若，则。A.B.C.D.5.已知函数，则在区间上的最大值为（）A.B.C.D.6.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.B.C.D.7.在一次产品合格率抽检中，每件产品独立，且合格概率为。随机抽取4件产品，恰有3件合格的概率为（）A.B.C.D.8.已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦距为，则该双曲线的标准方程为（）A.B.C.D.单项选择题答题栏题号12345678答案二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分）9.下列命题正确的是（）A.若随机变量，则B.若样本数据全部加上同一个常数，则样本方差不变C.若两个事件相互独立，则D.若且，则与相互独立10.已知函数，其中。下列说法正确的是（）A.B.当时，在上单调递减，在上单调递增C.若，则一定有两个零点D.的最小值为11.某市为研究“每天运动时间是否不少于30分钟”与“数学限时训练是否达标”的关系，得到列联表如下：达标未达标合计运动时间不少于30分钟421860运动时间少于30分钟283260合计7050120已知，临界值，。下列判断正确的是（）A.B.有的把握认为两变量有关C.有的把握认为两变量有关D.仅由列联表不能计算12.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上。下列说法正确的是（）A.B.椭圆离心率C.若，则的面积为D.椭圆上一点到两焦点距离之差的绝对值最大为多项选择题答题栏题号9101112答案三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，且，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。14.某校高三年级一次数学周测成绩近似服从正态分布。若，则随机抽取一名学生，其成绩落在区间内的概率约为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。15.展开式中的常数项为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。16.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，则弦长\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）某班为了解高三学生晚自习后错题整理时间（单位：分钟），随机调查50名同学，得到频数分布表：时间区间频数51218105（1）求这50名同学错题整理时间的样本平均数估计值；（2）若将错题整理时间不低于30分钟视为“整理充分”，求样本中“整理充分”的频率；（3）从“整理充分”的15名同学中随机抽取2名作经验分享，若其中有6名同学来自实验班，9名来自普通班，求抽到的2名同学中恰有1名来自实验班的概率。作答区：18.（12分）已知数列满足，。（1）证明：数列是等差数列；（2）求的通项公式；（3）求。作答区：19.（12分）在三棱锥中，底面为直角三角形，，。平面平面，且，点为的中点。（1）证明：；（2）求与所成角的余弦值；（3）求二面角的余弦值。作答区：20.（12分）某文旅部门计划推出两条研学线路。为预测报名人数（单位：百人）与宣传投入（单位：万元）的关系，收集到6组数据：1234562.12.93.24.14.85.5已知，，，。（1）求经验回归方程；（2）若宣传投入为8万元，估计报名人数；（3）实际执行中，部门将报名者随机分到甲、乙两条线路，甲线路比例为。若预计报名人数为900人，记甲线路人数为，当时，求与；若要求不低于，请给出的一个合理建议并说明理由。作答区：21.（12分）已知椭圆。点，直线与椭圆交于点和另一点。（1）用表示点的坐标；（2）设点，若，求关于的表达式；（3）当变化时，求的取值范围。作答区：22.（12分）已知函数，其中。（1）讨论的单调性；（2）若对任意恒成立，求的取值范围；（3）设，证明：对任意，有，并说明等号成立的条件；再利用该结论估计实际建模中函数在区间上的最大值。作答区：

参考答案与详解一、单项选择题题号12345678答案BCCBADAA1.答案：B解析：由得，所以。又，故。A项误把包含进来；C项误把包含进来；D项区间方向与条件不符。评分细则：写出得2分；求交集并正确处理端点得3分。2.答案：C解析：，所以。评分细则：正确有理化得3分；求模得2分。3.答案：C解析：。由得，即，解得。评分细则：写出垂直条件得2分；计算点积并解得得3分。4.答案：B解析：标准化得。当时，，所以。评分细则：正确标准化得3分；代入参考数据得2分。5.答案：A解析：。在上，需比较端点和驻点：，，，最大值为。评分细则：求导并找驻点得3分；比较函数值得2分。6.答案：D解析：设公差为，由得，。所以，。评分细则：求得、得3分；计算得2分。7.答案：A解析：设合格件数为，则。恰有3件合格的概率为。B项把合格与不合格次数颠倒，C项漏乘组合数，D项表示至少一件不合格。评分细则：判断二项分布得2分；写出概率得3分。8.答案：A解析：对双曲线，渐近线为，故，即。焦距为，故，且，得，。评分细则：写出得2分；用求出方程得3分。二、多项选择题题号9101112答案ABDABDABCABCD9.答案：ABD解析：二项分布有，A正确。数据整体平移不改变离均差，方差不变，B正确。相互独立应满足，C错误。由且可得，D正确。评分细则：每个正确选项判断1分，全部判断无误得5分；选对但不全得2分，有错选得0分。10.答案：ABD解析：，A正确。当时，，在上为负，在上为正，B正确。若，函数最小值为，是否有两个零点取决于该最小值与0的大小，C不恒正确。最小值为，D正确。评分细则：正确求导得1分；单调性判断2分；最小值判断2分。11.答案：ABC解析：表中，故，A正确。计算得，。因，有的把握认为两变量有关；因，也有的把握认为有关，故B、C正确；D错误。评分细则：公式代入正确得2分；计算得2分；根据临界值作出判断得1分。12.答案：ABCD解析：椭圆中。由定义，A正确；，B正确；当时，，高为2，面积为，C正确；椭圆上两焦点距离之差的绝对值最大为，D正确。评分细则：每个选项判断依据明确得相应分；有错选得0分。三、填空题**13.答案：**解析：，故。由得。评分细则：判断象限符号得2分；计算得3分。**14.答案：**解析：正态分布的均值为75，标准差为8，区间即，故概率约为。评分细则：识别一区间为一倍标准差范围得3分；写出概率得2分。**15.答案：**解析：通项为。令，得，常数项为。评分细则：写出通项得3分；求常数项得2分。**16.答案：**解析：抛物线的焦点为。直线为，代入得，即。设交点横坐标为，则。对抛物线，过焦点弦长为。评分细则：写出焦点和直线方程得2分；联立并利用焦点弦长公式得3分。四、解答题17.答案与解析（1）取各组组中值，样本平均数估计为。（2）整理充分人数为，频率为。（3）从15名同学中任取2名共有种，恰有1名来自实验班的取法有种，故概率为。评分细则：第（1）问4分，组中值使用正确2分，平均数计算2分；第（2）问2分；第（3）问4分，列出古典概型2分，计算概率2分。易错点：把区间的人数漏计，或把写成。18.答案与解析（1）设。由，得。又，故是首项为2、公差为1的等差数列。（2），所以。（3），所以。评分细则：第（1）问4分，构造并证明；第（2）问4分，写出和；第（3）问4分，正确化简求和。替代解法：可用迭代法先求若干项再归纳，但必须证明归纳步骤。19.答案与解析（1）因且，底面三角形为等腰直角三角形。点为斜边的中点，所以是斜边中线，也是斜边上的高，故。（2）在三角形中，。又平面平面，交线为。建立坐标系：令，，。由且在过的垂直平面内，可取，。于是，。因此。（3）二面角的平面角可用法向量求。平面的法向量可取。平面的法向量可取。故。二面角取锐角时余弦值为。评分细则：第（1）问3分；第（2）问4分，建系2分，向量夹角公式2分；第（3）问5分，法向量2分，代入计算2分，结论1分。易错点：面面垂直不能直接推出任意连线与交线垂直。20.答案与解析（1）回归直线斜率。截距。故。（2）当时，，即估计报名人数约为人。（3）预计报名人数为900人，甲线路人数。当时，，。若要求，可建议。理由是二项分布以为中心，当时均值为360；实际管理中可取，使均值为，从而使更有保障。评分细则：第（1）问4分，斜率2分，截距2分；第（2）问2分；第（3）问6分，分布模型2分，期望方差2分，建议及理由2分。替代解法：第（3）问可用正态近似说明附近的风险，但必须写出近似中心和方差。21.答案与解析（1）将代入椭圆：。化简得。因是一个根，设另一根为，由根与系数关系，得。于是。故。（2）直线的方向向量可取，而。由得，即。当时，。（3）由第（2）问，，且。当在上变化时，可取任意非零实数，故。评分细则：第（1）问5分，联立2分，根与系数关系2分，坐标1分；第（2）问4分，方向向量1分，垂直条件2分，表达式1分；第（3）问3分。易错点：忽略时无意义。22.答案与解析（1）定义域为。。当时，；当时，。故在