2019-2020学年上海市静安区高二下期末数学试卷

2019-2020学年上海市静安区高二下期末数学试卷（2020·上海静安区·期末）若一个实系数一元二次方程的一个根是z1=1+2i（2020·上海静安区·期末）−1的平方根为．（2020·上海静安区·期末）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，（2020·上海静安区·期末）x2−2x6（2020·上海静安区·期末）设A，B是半径为1的球面上一个大圆上的两点，且AB=1，则A，B两点的球面距离为（2020·上海静安区·期末）在3名男生和4名女生中选出3人，男女生都有的选法有种．（2020·上海静安区·期末）由一条直线和直线外的5个点可确定平面的个数最多为．（2020·上海静安区·期末）请列举出用0，1，2，3，4这5个数字所组成的无重复数字且比3000大的，且相邻的数字的奇偶性不同的所有四位数奇数，它们分别是．（2020·上海静安区·期末）复数a+bia,b∈R与复数c+d A．ad+bc=0 B．ac+bd=0 C．ac=bd D．ad=bc（2020·上海静安区·期末）①垂直于同一直线的两条不同的直线平行；②垂直于同一平面的两条不同的直线平行；③平行于同一平面的两条不同的直线平行；④平行于同一直线的两条不同的直线平行．以上4个关于空间直线与平面的命题中真命题的个数是   A．1 B．2 C．3 D．4（2020·上海静安区·期末）回答下列问题：(1)设m,n∈N∗，m≤n，求证：(2)请利用二项式定理证明：3n>2n2+1（2020·上海静安区·期末）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60∘，将△ABD沿BD翻折，使点A移至点(1)求证：BD⊥PC；(2)若二面角P−BD−C的平面角为60∘，求PC与平面BCD（2020·上海静安区·期末）如图，我们知道，圆锥是Rt△AOP（及其内部）绕OP所在的直线旋转一周形成的几何体．我们现将直角梯形AOO1A1（及其内部）绕OO1所在的直线旋转一周形成的几何体称为圆台．设⊙O1的半径为(1)求证：圆台的体积V=1(2)若R=2，r=1，h=3，求圆台的表面积S（2020·上海静安区·期末）现新定义两个复数z1=a1+b1(1)请证明新运算⊗对于复数的加法满足分配律，即求证：z1(2)设运算Θ为运算⊗的逆运算，请推导运算Θ的运算法则．

答案1.【答案】5【解析】因为一个实系数一元二次方程的一个根是z1所以另一个根为z2则两根之积为1+2i故答案为：5．【知识点】实系数一元二次方程（沪教版）2.【答案】±i【解析】因为±i2=−1，因此，−1【知识点】复数的乘除运算3.【答案】32【解析】在正四棱柱ABCD−A1B所以∠ACB1或其补角为A1在△ACB1中，AC=32所以cos∠AC故答案为：32【知识点】异面直线所成的角4.【答案】−160【解析】x2−2令12−3r=3，得r=3，所以x2−2x6【知识点】二项式定理的通项5.【答案】π3【解析】设球心为O．因为A，B是半径为1球面上一个大圆上的两点，且AB=1所以∠AOB=π所以A，B两点的球面距离为π3【知识点】球面距离6.【答案】30【解析】由题知：从7人中选3共有C7全是男生有C33种情况，全是女生有故男女生都有的选法有C7【知识点】组合7.【答案】15【解析】根据题意，当直线外的5个点任意三点不共线时，确定的平面个数最多，此时这5个点可以确定C53=10个平面，直线和直线一点可以确定一个平面，可以确定C故答案为：15．【知识点】组合8.【答案】4103，4301，4123，4321【解析】由题意得：千位上的数字为4，再根据相邻的数字的奇偶性不同、无重复数字，所以所有的四位数奇数为：4103，4301，4123，4321．【知识点】数字组成模型9.【答案】A【解析】因为a+bi⋅c+di=ac−bd+所以所得的复数的积的虚部是零，所以ad+bc=0．故选：A．【知识点】复数的乘除运算10.【答案】B【解析】对于①，在空间中，垂直于同一直线的两条不同的直线可能平行、相交或异面，故①错误；对于②，由线面垂直的性质可得垂直于同一平面的两条不同的直线平行，故②正确；对于③，平行于同一平面的两条不同的直线可能平行、相交或异面，故③错误；对于④，由平行的传递性可得平行于同一直线的两条不同的直线平行，故④正确．【知识点】空间的平行关系、空间的垂直关系11.【答案】(1)Cn+1(2)当n≥3，n∈N3n所以结论成立．【知识点】二项式定理的应用、组合12.【答案】(1)取BD的中点E，连接PE，CE，因为ABCD为菱形，所以BD⊥PE，BD⊥CE，因为PE，CE⊂面PEC，且所以BD⊥面又PC⊂面PEC，所以BD⊥PC．(2)过点P作PO⊥EC于O，由（1）可知，PO⊥BD，所以PO⊥面BCD，即点P在面BCD上的投影为点所以∠PCE为直线PC与面BCD所成角，因为BD⊥PE，BD⊥CE，所以∠PEC为二面角P−BD−C的平面角，即∠PEC=60又因为PE=CE，所以△PEC为等边三角形，∠PCE=60故直线PC与平面BCD所成角为60∘【知识点】二面角13.【答案】(1)因为△PA所以PO1P所以V=1(2)在△PAO中，过点A1作A1B⊥AO则在RtABA1中，AB=R−r=1，所以∠A所以PA=4，PA所以该圆台的表面积S=1【知识点】圆台的表面积与体积14.