2019-2020学年上海市浦东新区附属中学高一下4月月考数学试卷

XX附中高一月考数学试卷一、填空题1.函数的对称中心是________.【答案】【解析】分析】由正切函数的性质即可得到答案.【详解】由正切函数的图象可知，的对称中心是.故答案为：【点睛】本题考查正切函数的对称中心，考查学生对正切函数性质的理解与掌握，是一道基础题.2.函数上的值域是________.【答案】【解析】【分析】当时，，结合的性质即可得到答案.【详解】当时，，则，函数上的值域是.故答案为：【点睛】本题考查余弦型函数的值域问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.3.函数在的递减区间是__________【答案】【解析】【分析】利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数的性质得出结论．【详解】，由得，，时，．即所求减区间为．故答案为．【点睛】本题考查三角函数的单调性，解题时需把函数化为一个角一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调性求解．4.已知函数的图象的一条对称轴是，若表示一个简谐运动，则其初相是________.【答案】【解析】【分析】由对称性先求出，再利用辅助角公式即可得到答案.【详解】由题意，，所以，解得，所以，所以初相为.故答案为：【点睛】本题考查求三角型函数的初相，涉及到三角型函数的对称性、辅助角公式等，是一道容易题.5.已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由已知，可得在上为奇函数且单调递增，将改写为，利用单调性可得，解不等式组即可.【详解】由已知，，所以在上是奇函数，又时，均为增函数，所以在上为增函数，故在上为增函数，又，所以，所以，解得.故答案为：【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.6.设函数，，若函数恰有三个零点、、，则的取值范围是_______________【答案】【解析】【分析】通过换元，令则，将函数零点转化为函数的图象与直线有三个交点，利用数形结合求得的范围.【详解】函数，，令则，函数恰有三个零点，可转化为函数的图象与直线有三个交点，如图：根据三角函数图象的性质可得，，所以，即，由，可得，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数的取值范围，重点考查函数与方程，数形结合，转化思想，属于中档题型.7.函数在区间上最小值是，则的取值范围是_______．【答案】【解析】,令,,其图像开口向下,对称轴为,故在区间上为增函数.令,解得.故的范围须在.而,根据函数图像的对称性可知.8.已知将函数的图象向右平移个单位长度得到画的图象，若和的图象都关于对称，则________.【答案】【解析】【分析】和的图象都关于对称，所以①，②，由①②结合即可得到答案.【详解】由题意，，因为和的图象都关于对称，所以①，②，由①②，得，又，所以，将代入①，得，注意到，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到函数图象的平移、函数的对称性，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.9.已知函数在区间上是单调函数，则实数最大值为__________.【答案】【解析】【分析】利用函数的单调性求解即可.【详解】的单调增区间为当时，的单调增区间为由于则要使函数在区间上是单调函数必须即实数的最大值为故答案为【点睛】本题主要考查了正弦型函数单调性以及利用单调区间求参数的取值，关键是将正弦型函数化归为正弦函数来处理问题，属于中等题.10.已知函数,下列说法正确的是__________．①图像关于对称；②的最小正周期为；③在区间上单调递减；④图像关于中心对称;⑤的最小正周期为.【答案】②③⑤【解析】分析：①根据可判断；②由、可判断；③时，，进而可得结论；④是奇函数图象关于对称，结合周期性可判断；⑤由，利用周期公式可得结论.详解：①,,,不是对称轴，①错误；②，，，是的最小正周期，②正确；③时，，，在单调递减，③正确；④是奇函数图象关于对称，不是对称中心，④错误；⑤，，⑤正确，故答案为②③⑤.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查三角函数的单调性、函数的奇偶性、三角函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若3a2＝2b2＋c2，则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理化简可得,根据面积公式，由根据余弦定理和基本不等式可求得，进而求得的范围，得出结果.【详解】由题意得：，所以，所以，由题意得，所以，（当且仅当时取"="），所以，所以，所以的最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式以及均值不等式，属于中档题.12.函数的图象与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为在点列，中存在三个不同的点使得是等腰直角三角形，将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则________.【答案】【解析】【分析】不妨设是以为顶点的等腰直角三角型，由的最值可得斜边，结合的周期性及对称性可知，进一步得到的表达式即可得到答案.【详解】不妨设是以为顶点的等腰直角三角型，由题意，①，作出两个简单的示意图，由的周期性及对称性可知②，由①②可得，即，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查正弦型函数的图象及性质的应用，考查学生的逻辑推理能力、数形结合思想，是一道中档题.二、选择题13.函数在上是减函数，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得的单调减区间，根据在上是减函数，求得，由此求得的取值范围.【详解】的递减区间是，又，，所以，所以，所以.故选：B．【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题.14.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（）A.1.012米 B.1.768米 C.2.043米 D.2.945米【答案】B【解析】【分析】由题分析出这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长．【详解】解：由题得：弓所在的弧长为：；所以其所对的圆心角；两手之间的距离．故选：．【点睛】本题主要考查圆心角，弧长以及半径之间的基本关系，本题的关键在于读懂题目，能提取出有效信息．15.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦的和角公式以及辅助角公式化简至标准型正弦函数，解得，即可容易求得结果.【详解】因为∴，周期，又存在实数，对任意实数总有成立，∴，，的最小值为，故选：B.【点睛】本题考查利用三角恒等变换求函数解析式，正弦型三角函数的周期和最值，属综合基础题.16.已知函数，，若函数的所有零点依次记为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意先求对称轴方程，在给定区间上有9条对称轴，由中点坐标公式可知x1+x2＝×2，以此类推，最后两个零点加和等于对称轴的二倍，各式相加，就可得出答案．【详解】令＝，可得，即函数的对称轴方程为，令，可得，所以函数在上有9条对称轴．根据正弦函数的性质可知，，（最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴），将以上各式相加得，故选：C．【点睛】本题考查函数零点和方程根的关系，考查正弦函数图像的性质和对称性的应用，属于中档题.三、解答题17.已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为.（1）求的值；（2）将函数的图像向左平移个单位，再将所得函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在区间上存在零点，求实数k的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）本题首先可以根据三角恒等变换将化简为，然后根据最小正周期得出，得出结果；（2）本题首先可以根据三角函数图像变换得出，然后根据得出，最后求出函数的最大值以及最小值，即可得出结果.【详解】（1），因为函数图象两条相邻对称轴之间的距离为.所以函数的最小正周期，所以，所以；（2）将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像，故，因为，时，函数取最小值，；当，函数取最大值，，故.函数在区间上存在零点，所以有解，所以实数k的取值范围为.【点睛】本题考查三角函数解析式以及三角函数的值域的求法，考查三角恒等变换以及三角函数图像的变化，考查化归与转化思想，属于简单题目..18.已知满足，若其图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数.（1）求的解析式；（2）在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据周期求出,利用图象变换求出,即可求的解析式；（2）由正弦定理得：，进而求出，用表示出，代入已知的等式,利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据的范围求出这个角的范围，由正弦函数的值域即可得到所求式子的取值范围．【详解】（1），可得，的周期为，，图像向左平移个单位可得，函数为奇函数则，解得，又，（2）即化简得∵，即∵是锐角三角形，，∴，∴，∴，∴.【点睛】本题考查三角函数的性质，考查三角恒等变换的应用，考查正弦函数的奇偶性和值域，属于中档题．19.钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A、B、C分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C在点A的北偏东47°方向，点B在点C的南偏西36°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为3海里.（1）求A、C两点间的距离；（精确到0.01）（2）某一时刻，我国一渔船在A点处因故障抛锚发出求救信号.一艘R国舰艇正从点C正东10海里的点P处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为PCA（直线行进），而我东海某渔政船正位于点A南偏西60°方向20海里的点Q处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M处，再折向点A直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于R国舰艇赶到进行救助？说明理由．【答案】(1)14.25海里；（2）渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助．【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）这是解三角形问题，图形中，已知，要求，因此由正弦定理知应该知道它们所对的两角，由题中已知的三个方位角，可求出，，，故易求得结论；（2）只要求出两船到达点的时间即可，国舰艇路程为，我渔政船路程为，这里要在中求出，已知，因此应用余弦定理可求出，从而得出结论．试题解析：（1）求得，由海里.（2）R国舰艇的到达时间为：小时.在中，得海里，所以渔政船的到达时间为：小时.因为，所以渔政船先到.答：渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助.考点：(1)正弦定理；（2）余弦定理．20.对于定义域为R的函数，部分与的对应关系如表：（1）求：（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，求（3）若，其中，求此函数的解析式，并求．【答案】（1）2；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）由内往外计算即可；（2）由已知，通过计算易得数列是以4为周期的周期数列，先计算的值，利用即可得到答案；（3）代入表中数据即可得到解析式，再分n为奇数、偶数讨论求和即可.【详解】（1）由表中数据可得.（2），由于，则，，，，所以，依次递推可得数列的周期为4，又，所以.（3）由题意得，由，得，即，又，则，从而，而，所以，故，消，得所以，解得，又，所以，所以，此函数有最小正周期6，且，，当时，；当时，.【点睛】本题考查三角函数与数列的综合应用，涉及到求三角函数的解析式、周期数列的和，是一道中档题.21.已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．（1）求函数的解析式；（2）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，若角满足，求的取值范围；（3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有个零点，求常数与的值．【答案】（1）；（2）；（3），.【解析】【分析】（1）由函数的周期公式可求出的值，求出函数的对称轴方程，结合直线为一条对称轴结合的范围可得出的值，于此得出函数的解析式；（2）由得出，再由结合锐角三角函数得出，利用正弦定理以及内角和定理得出，由条件得出，于此可计算出的取值范围；（3）令，得，换元得出，得出方程，设该方程的两根为、，由韦达定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三种情况讨论，计算出关于的方程在一个周期区间上的实根个数，结合已知条件得出与的值.【详解】