常用逻辑用语知识点教师

常用逻辑用语

目标认知宙考试大纲要求：宙

1.理解命题的概念；了解逻辑联结词“或〃、”且〃、”非〃的含义.

2.了解命题“假设p,那么q〃的形式及其逆命题、否命题及逆否命题，分析

四种命题相互关系.

3.理解必要条件、充分条件及充要条件的意义.

4.理解全称量词及存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进展否

认.

重点：”充分条件及必要条件的判定

难点：5根据命题关系或充分(或必要)条件进展逻缉推理。

知识要点梳理区知识点一：命题£1.定义：国

一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命

题.

(1)命题由题设和结论两局部构成.命题通常用小写英文字母表示，如

P,q,r,m,n等.

(2)命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.数

学中的定义、公理、定理等都是真命题

(3)命题〃的真假判定方式：

①假设要判断命题“尸~”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时

在推导时加上语气词“一定〃能帮助判断。如：P一定推出工

②假设要判断命题“p—q，是一个假命题，只需要找到一个反例即可.

注意：“「不一定等于3〃不能判定真假，它不是命题.

2.逻辑联结词：庐”或〃、”且〃、”非〃这些词叫做逻辑联结词.

(1)不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题及逻辑联结词构成

的命题叫复合命题.

(2)复合命题的构成形式：

①P或q；②P且q；③非P(即命题P的否认〕.

(3)复合命题的真假判断(利用真值表)：

Pq非尸

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

①当p、q同时为假时，"p或q〃为假，其它情况时为真,可简称为“一

真必真〃；

②当p、q同时为真时，“p且q〃为真，其它情况时为假，可简称

为“一假必假〃。

③“非P〃及P的真假相反.

注意：

(D逻辑连结词“或〃的理解是难点，“或〃有二层含义，以“口或口〃

为例：一是p成立

且q不成立，二是p不成立但“成立，三是p成立且q也成立。可以类比

丁集合中或皿〃.

(2)“或〃、”且〃联结的命题的否认形式:

二或口〃的否认是“「pJL「q〃；”P且q〃的否认是“「p或，T.

(3)对命题的否认只是否认命题的结论；否命题，既否认题设，又否认

结论。

知识点二：四种命题区1.四种命题的形式：区

用P和q分别表示原命题的条件和结论，用-P和F分别表示P和q的否认,

那么四种命题的形式为：

原命题：假设P那么q；逆命题：假设q那么P；

否命题：假设那么「q；逆否命题：假设F那么「P.

原命超互逆逆命题

2.四种命题的关系d若一则一I互逆匡幽心①原命题

=逆否命题.它们具有一样的真假性，是命题转化的依据和途径之一.

②逆命题=否命题，它们之间互为逆否关系，具有一样的真假性，是命题

转化的另一依据和途径.

除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.

命题及集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合

的运算具有一致性，命题的“且〃、”或〃、“非〃恰好分别对应集合的“交〃、

“并〃、“补〃，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联

结词的规定。

知识点三：充分条件及必要条件由L定义：宙

对于“假设P那么q〃形式的命题：

从逻辑观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、

既不充分也不必要条件的判定在于区分命题的条件〃及结论乡之间的关系.

①假设P=Q,那么P是Q的充分条件，q是P的必要条件：

②假设P=q，但qRp，那么P是q的充分不必要条件，Q是P的必要不充

分条件；

③假设qn〃且p夕，那么〃是q成立的必要不充分条件；④假设既有

P=q，又有q=P，记作P=q,那么P是q的充分必要条件（充要条件）.

⑤假设〃q且4p,那么〃是9成立的既不充分也不必要条件.

从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、

既不充分也不必要条件的判定在于判断〃、夕相应的集合关系.

建立及p、q相应的集合，即p:A=｛x[p（x）成立｝,9：8=卜皿工）成立｝.

假设那么〃是q的充分条件，假设A导8,那么〃是夕成立的充分不

必要条件；

假设那么〃是夕的必要条件，假设8与A,那么〃是g成立的必要不

充分条件；

假设A=那么〃是9成立的充要条件；

假设A生B且B卫A,那么〃是g成立的既不充分也不必要条件.

2.理解认知：国

(1)在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；

然后用条件推结论，

再用结论推条件，最后进展判断.

(2)充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据•.“当且仅当〃.

“有且仅有〃.

“必须且只须〃.“等价于〃”…反过来也成立〃等均为充要条件的同义

词语.

3.判断命题充要条件的三种方法区

(1)定义法：

(2)等价法：由于原命题及它的逆否命题等价，否命题及逆命题等价，因此,

如果原

命题及逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题及否命题来判

断.即利用

4=3及3nA及、H=B及、8=F的等价关系，对于

条件或结论是不等关系(或否认式)的命题，一般运用等价法.

(3)利用集合间的包含关系判断，比方ACB可判断为A=B；A=B可判断

为A=B,且

B=>A,即A=B.

如怪I：

且xwBAxw/〃=及w4是xw8的充分不必要

条件.

“A=B〃=i(xeA<^xeBf/Qxw/是五wB的充分必要条件.

及存在量词域L全称量词及存在量词由

全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有"、

“任意〃、“每一个〃等，通常用符号“▼〃表示，读作“对任意〃。含有全

称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立〃

可表示为，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.

(II)存在量词及表示：表示局部的量称为存在量词。表示形式为“有一个〃，

“存在一个”，

“至少有一个〃，“有点，，，“有些〃等，通常用符号，々〃表示，读作“存

在〃。含有

存在量词的命题，叫做特称命题特称命题“存在M中的一个x,使P(X)

成立〃可表示

为，，3xeKp(x)〃，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.

2.对含有一个量词的命题进展否认山

(I)对含有一个量词的全称命题的否认

全称命题P：必他的否认全称命题的否认是特

称命题。

(II)对含有一个量词的特称命题的否认

特称命题p：3xwKP（x）,他的否认量：量⑶特称命题的否认是全

称命题。

注意：

（1）命题的否认及命题的否命题是不同的.命题的否认只对命题的结论进展否

认（否认一

次），而命题的否命题那么需要对命题的条件天口结论同时进展否认（否认

二次）。

（2）一些常见的词的否认：

正面等于大于小于是都是一定是至少一个至多一

词个

否认不等不大不小不是不都是一定不一个也没至少两

词于于于是有个

规律方法指导国

1.解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为

逆否命题的真

假性一致.

2.要注意区分命题的否认及否命题.

3.要注意逻辑联结词“或〃”且〃”非〃及集合中的“并〃”交〃”补〃是

相关的，将二

者相互对照可加深认识和理解.

4.处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论。对于充要条件的证明，

必须证明充分

性，又要证明必要性；判断充要条件一般有三种方法：用集合的观点、用

定义和利用命

题的等价性；求充要条件的思路是：先求必要条件，再证明这个必要条件

是充分条件.

5.特别重视数形结合思想及分类讨论思想的运用。

总结升华：

1.判断复合命题的真假的步骤：

①确定复合命题的构成形式；

②判断其中简单命题P和q的真假；

③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.

2.条件“xwN或x<0〃是“或〃的关系，否认时要注意.

类型二：四种命题及其关系日歌2.写出命题是实数，假设ab=O,那么

a二。或b二0〃的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。3解析：逆命题:

是实数，假设"。或b=0,那么ab=0,真命题;

否命题：是实数，假设abWO,那么aWO且bHO,真命题；

逆否命题：是实数，假设aWO且bWO,那么abWO,真命题。

总结升华：

1.是实数〃为命题的大前提，写命题时不应该忽略；

2.互为逆否命题的两个命题同真假；

3.注意区分命题的否认和否命题.

类型三：全称命题及特称命题真假的判断而

总结升华：

1.要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中每一个元素x,验证

P*）成立；

要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个0％,使「（”）不成

立可；

2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一

个使

汉砧成立，那么这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.

类型四：充要条件的判断信

总结升华：

1.处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件及结论；

2.正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换，特别是可

及F关系.

类型五：求参数的取值范围而

总结升华：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、

q必有一个为假，所以，“P假且q真〃或“P真且q假〃.可先求出命题P及

命题q为真的条件，再分类讨论.

总结升华：从认知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化,

是解决这类问题的根本策略。

类型六：证明&总结升华:

1.利用反证法证明时.，首先正确地作出反设（否认结论）.从这个假设出

发，经过推理论证，

得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否

认形式出现，

或以“至多…〃、"至少…〃形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或

者结论的反面是

比原命题更具体更容易研究的命题.

2.反证法时对结论进展的否认要正确，注意区别命题的否认及否命题.

总结升华：

1.对于充要条件的证明，既要证明充分性，又要证明必要性，所以必须分清

条件是什

么，结论是什么。

2.充分性：由条件结论9;必要性：由结论1口条件乙

3,表达方式的变化（比方「是。的充分不必要条件〃等价于“。的充分不必

要要条件是「〃）.

三、典型例题选讲

例1写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

（1）3c为实数，假设女＜0,那么加+/〃+c=0有两个不相等的实数

根;

（2）两条平行线不相交；

⑶假设Y+y2=o,那么x,），全为零.

分析：写出一个命题的四种命题形式，关键是分清命题的条件及结论，把

命题写成“如果…那么…〃的形式，再根据四种命题的定义写出其他三种命题

即可.

解：（1）原命题是真命题；

逆命题：假设〃/+区+c=0有两个不相等的实数根，那么雨＜0,（假）；

否命题：假设改2（）,那么水、法+c=0没有两个不相等的实数根，（假）；

逆否命题：假设以2+笈+。=0没有两个不相等的实数根，那么讹20,（真）.

（2）原命题形式可写成：假设两条直线平行，那么它们不相交，［真）；

逆命题：假设两条直线不相交，那么它们平行，（假）；

否命题：假设两条直线不平行，那么它们相交，（假）；

逆否命题：假设两条直线相交，那么它们不平行，（真）.

（3）原命题是真命题；

逆命题：假设工，y全为零，那么/+炉=。，（真）；

否命题：假设/+），工0,那么x,y不全为零，（真）；

逆否命题：假设X，.V不全为零，那么-200,（真）.

归纳小结：（1）此题考察了命题的四种形式，并能进展真假判断，强化对

知识运用的灵活性.

(2)要注意四种命题之间的等价关系，即原命题及逆否命题等价，否命题

及逆命题等价.在判断一个命题是真命题时，耍严格按照数学逻辑进展推理证

明，而要说明它是假命题时，只需要举出一个反例即可.

⑶在否认条件或结论时，要注意否认词语的使用.常见否认词语有:

止面等于大于小于是都是至多有一

词语个

否认不等不大不小不不都至少有两

词语于于于是是个

止面至少有一任意的所有的一定例2说明以

词语个下命题形式，指出

否认一个也没某个某些一定不构成它们的简单

词语有命题：

⑴矩形的对角线垂直平分;

⑵不等式工2-工-2>0的解集是{小>2或”-1};

⑷方程—-2x+3=0没有实数根.

分析：根据命题中出现的逻辑联结词或隐含的逻辑联结词，进展命题构造

的判断，其中解题的关键是正确理解逻辑联结词“且〃、”或〃、”非〃的含义.

解：⑴这个命题是“〃八/的形式，其中矩形的对角线互相垂直，q：

矩形的对角线互相平分.

⑵这个命题是“pv/的形式，其中不等式工2-户2>0的解集是卜卜〉2},

q：不等式f-x-2>0的解集是或{H工<一1}.

⑶这个命题是"[)7q〃的形式，其中〃：4>3,q:4=3.

⑷这个命题是的形式，其中p：方程？-2彳+3=0有实数根.

归纳小结：⑴此题考察了含有逻辑联结词的命题构造，要求能正确理解逻

辑联结词，并找出隐含的逻辑联结词，能根据命题形式分析问题、解决问题.

⑵把简单命题合成为复合命题或把复合命题分解为两个简单命题并判断

其真假是本节的重点之一，关键在于理解逻辑联结词的含义.熟悉真值表可以

加快对含有逻辑联结词的命题的真假判断.

⑶逻辑联结词中的“或"、”且〃、“非〃及日常用语中的“或〃、”且〃、

“非〃的意义是不完全一样的.如逻辑词中的“或"含有可以兼有之意，而生

活中的“或〃一般不可兼有的意思.

例3(2021广东)命题所有有理数都是实数，命题小正数的对数都

是负数，那么以下命题中为真命题的是()

A.(—./?)vqB.p/\qC.(―1〃)八(一14)D.(—ip)v(-!<7)

分析：此题只需要判断出命题〃和命题4的真假，根据真值表进展判断即

可.

解：由题意可以判断命题〃是真命题，命题夕是假命题，所以命题「〃是假

命题，命题-是真命题.只有(r?)v(-iq)是真命题，应选D.

归纳小结：m此题考察了命题的真假判断和真值表的使用，考察了逻辑

判断的思辩能力和推理能力；

(2)命题〃虫的真假判断是“一真就真，全假为假〃；命题的真假

判断是“一假就假，全真为真〃；命题〃及「〃的真假相反.

例4（2009年北京）“。=己+2"伏"）〃是"cos2a=1〃的（）

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A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

分析：简易逻辑中充要条件的判断前提是先明确条件及结论，即弄清楚哪

个是条件，哪个是结论，再根据条件分析出推式的关系，从而利用定义和推式

得到结论.

解：当a=看+2&乃（4£Z）时，cos2a=cos^4Ar^+y^=cosy=-^,即〃=＞“.反之，

当cos2a=，时，有2a=2k7r+%=a=k7r+巴（kwZ）,

236

或2a=2左万一2na=A乃一生（AwZ）,即gp.

36

综上所述，%=生+2版心Z）〃是“cos2a」〃的充分不必要条件，应选A.

62

例5（2021福建）设集合A=卜|凸＜°}，8={巾）＜工＜3},那么“〃好A〃是

“2〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

分析：此题条件及结论的形式都是集合形式，只要理清集合之间的关系，

按照充要条件及集合的对应关系即可作出判断.

解：［A={x|0vxv1},

应选A.

归纳小结：（1）此题考察了充要条件的定义，这是高考试题题型的常见形

式之一，可及其他考察内容综合.同时还考察了数学转化思想、合情推理能力.

（2）充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不

必要条件反映了条件〃和结论夕之间的因果关系，在结合具体问题进展判断时,

要注意以下几点：①确定问题的条件和结论；②尝试从条件推结论，结论推条

件；③确定条件是结论的什么条件.也可以从命题表达的集合运算关系，判断

出命题间的条件.

在从条件推结论，结论准条件时，可以利用学过的定理.、定义和公式直接

做逻辑判断，或利用数轴或Venn图分析两个集合的关系判断出“和

=〃〃的真假.

例6（2007湖北）〃是r的充分条件而不是必要条件/是r的充分条件，s

是,•的必要条件，夕是s的必要条件.现有以下命题：①s是4的充要条件；②〃

是4的充分条件而不是必要条件；③厂是q的必要条件而不是充分条件；④

「〃是T的必要条件而不是充分条件；⑤,是s的充分条件而不是必要条件，那么

正确命题序号是（）

A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D.②④⑤

分析：此题命题及其关系较多，如果直接解决那么比拟麻烦，可以用符号

“n〃、”。〃等符号表示，简化题意，解决方便.

解：由题意可知：且rp,*=>/*=>$=>9.

所以①正确；旦夕p,②正确；roq,③不正确；

p=>/-<=>5,且sp,④正确；,⑤不正确.

应选B.

归纳小结：(1)此题考察了充分条件、必要条件、充要条件的概念及命题

之间关系的转化，逆否命题的等价性，考察了逻辑思辩能力和转化思想.

(2)在命题之间的充分条件、必要条件、充要条件的推导过程中，使用

符号语言可以简化过程，降低思维量.

例7命题p:1-彳32,命题q:f_2x+l-加>0),假设一1〃是-1夕的

充分不必要条件，求实数〃，的取值范围.

分析：「〃是的充分不必要条件转化为等价命题形式：夕是〃的充分不

必要条件，利用等价命题先进展命题的等价转化，搞清晰命题中条件及结论的

关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，从而求出机的取值范围.

解：1己A={x[1—<2'={闻一2<%<10},

・・・「〃是「夕的充分不必要条件，

・・・夕是〃的充分不必要条件，即噂A.

m>0

<1-m>-2,解得0<〃?<3.

1+m<1()

所以实数机的取值范围是0<〃]<3.

归纳小结：(1)此题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考察

对象，同时考察了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，考察了转化思

想的运用，强调了知识点运用的灵活性.

(2)对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，在

判断或利用两个命题的充要条件时，可以利用它们的等价式，即将命题转化为

另一个等价形式的命题，一般可以利用逆否命题的等价形式:

①假设「夕，即9=p,那么〃是4的必要条件，V是〃的充分条件；

②假设「〃=>「夕，且一夕「P，即gnp,且pq,那么〃是9的必

要不充分条件；

③假设—1qn->〃，且~「4，即〃=>9，且夕p,那么〃是q的充

分不必要条件；

④假设「〃=「小那么〃=/即〃、q互为充要条件；

⑤假设——'q,且~\一1〃，即qp,且〃夕，那么〃是夕

的既不充分也不必要条件.

例8(2009年海南、宁夏)有四个关于三角函数的命题：

其中是假命题的有()

・

A-Pl，PaBP2,p4C.Pl，PaD.P2,p4

分析：假设全称命题为真命题，必须对限定范围内的元素中的全体都成立;

假设特称命题是真命题，只需在限定范围中有一个兀素满足条件即可.

解：P]是假命题，因为VxwR,sin2^+cos£=l;

P2是真命题，如x=y=。时成立；

是真命题,；Dx£[0,7t\,sinx>0.=|j|=j；

JsnxsnA

〃4是假命题，如工=工，y=2乃时，sinx=cosy,但x+yw工.

应选A.

归纳小结：（1）此题考察了全称命题及特称命题的真假判断，同时也考察

了对概念的转化能力和推理能力.

（2）一般地说，全称命题及特称命题的真假判断方法是：

①判定一个全称命题是真命题时，必须对限定的集合M中的每一个元素x,

验证p（x）成立即可；

②判定一个全称命题是假命题时，只要能列举出集合M中的一个元素%,

使〃（.）不成立即可；

③判定一个特称命题是真命题时，只要在限定的集合M

中，至少能找到一个元素餐,使p（x。）成立即可，否则，这个特称命题就是

假命题.

例9（2007宁夏）命题〃：VJTGR,sinx41,那么（）

A.-np:/?,sinx>1B.-ip:VXGR.sinxk1

C.Bxe/?,sinx>1D.-ip:Vxe/?.sinx>1

分析：对