理论力学-期末复习完全手册（直接使用版+高频考题真题）

理论力学·期末复习完全手册（直接使用版）第一部分：考试题型与分值分布（通用）题型题量分值主要考查范围策略选择题8-12题20-30分概念辨析、基本定理牢记定义、定理适用条件填空题5-8题10-15分核心公式、重要参数背诵公式和物理意义判断题8-10题10-15分基本概念正误辨析注意前提条件计算题3-5题40-55分受力分析、平衡方程、运动分析、动能定理写清步骤、受力图、坐标系分析题1题10-15分综合运用先建模型再分析第二部分：静力学速查2.1基本概念概念定义说明力物体间的相互机械作用使物体运动状态改变或产生变形力的三要素大小、方向、作用点力是矢量刚体受力后不变形的物体理论力学的简化模型平衡物体相对惯性参考系静止或做匀速直线运动力系作用于物体上的一群力合力与力系作用效果相同的单个力力偶大小相等、方向相反、不共线的两个平行力力偶不能用一个力等效替代力偶的性质性质说明力偶无合力不能用一个力平衡力偶力偶可在作用面内任意移转不改变对刚体的作用效果力偶臂可任意改变只要力偶矩不变，效果不变力偶矩：M=±F·d（逆时针为正）2.2静力学公理公理内容公理一（二力平衡公理）作用于同一刚体上的两个力，使刚体平衡的充要条件是两力等值、反向、共线公理二（加减平衡力系公理）在已知力系上加上或减去任意平衡力系，不改变原力系对刚体的作用效果公理三（力的平行四边形法则）作用在同一点的两个力，可以合成为过该点的一个合力公理四（作用与反作用定律）两物体间的相互作用力总是等值、反向、共线，分别作用在两个物体上公理五（刚化原理）变形体在力系作用下处于平衡，如将其变为刚体，平衡状态不变二力构件（二力杆）：只在两点受力而平衡的构件，两力必沿两点连线方向。2.3约束与约束力约束类型约束力特点未知量数柔索（绳子、链条）沿柔索方向，背离物体（拉力）1光滑接触面沿接触面法线方向，指向物体（压力）1光滑圆柱铰链（固定铰支座）通过铰链中心，方向待定（力F_x,F_y）2滚动支座（活动铰支座）垂直于支撑面1固定端（插入端）约束力+约束力偶3（平面）连杆（二力杆）沿连杆轴线方向12.4受力分析与受力图画受力图步骤取研究对象（隔离体），画分离体简图画主动力（已知力）画约束力（根据约束类型）不画内力，只画外力注意事项作用力与反作用力方向相反约束力代替被解除的约束整体受力图不画内力2.5平面力系力的投影投影公式x轴投影F_x=F·cosαy轴投影F_y=F·sinα合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。F_Rx=ΣF_xF_Ry=ΣF_yF_R=√(F_Rx²+F_Ry²)tanα=F_Ry/F_Rx平面汇交力系平衡条件：ΣF_x=0,ΣF_y=0平面力偶系平衡条件：ΣM=0平面任意力系平衡方程形式方程附加条件一矩式（基本形式）ΣF_x=0,ΣF_y=0,ΣM_A=0二矩式ΣF_x=0,ΣM_A=0,ΣM_B=0AB连线不垂直于x轴三矩式ΣM_A=0,ΣM_B=0,ΣM_C=0A、B、C不共线平面任意力系的简化简化结果条件合力F_R'≠0,M_O=0或F_R'≠0,M_O≠0合力偶F_R'=0,M_O≠0平衡F_R'=0,M_O=0F_R'为主矢，M_O为主矩。物体系的平衡——静定与超静定类型特征静定问题未知量数≤独立平衡方程数超静定问题未知量数>独立平衡方程数2.6空间力系力对轴之矩：力对轴之矩等于力在垂直于轴的平面上的投影对该轴与该平面交点之矩。空间力系平衡方程（6个独立方程）ΣF_x=0,ΣF_y=0,ΣF_z=0ΣM_x=0,ΣM_y=0,ΣM_z=02.7摩擦滑动摩擦力类型公式说明静摩擦力（临界）F_max=f_s·N最大静摩擦力动摩擦力F=f·Nf<f_s摩擦角tanφ_f=f_s全约束力与法线夹角的最大值自锁条件：主动力的合力作用线位于摩擦角之内时，无论主动力多大，物体都保持静止。滚动摩阻M_max=δ·N（δ为滚动摩阻系数，量纲为长度）第三部分：运动学速查3.1点的运动学矢量法物理量公式运动方程r=r(t)速度v=dr/dt加速度a=dv/dt=d²r/dt²直角坐标法物理量公式运动方程x=f₁(t),y=f₂(t),z=f₃(t)速度v_x=ẋ,v_y=ẏ,v_z=ż速度大小v=√(v_x²+v_y²+v_z²)加速度a_x=ẍ,a_y=ÿ,a_z=z̈加速度大小a=√(a_x²+a_y²+a_z²)自然坐标法（弧坐标法）物理量公式方向运动方程s=s(t)速度v=ṡ切线方向切向加速度a_t=v̇=s̈切线方向法向加速度a_n=v²/ρ主法线方向，指向曲率中心全加速度a=√(a_t²+a_n²)圆周运动物理量公式角速度ω=θ̇角加速度α=ω̇=θ̈速度v=Rω切向加速度a_t=Rα法向加速度a_n=Rω²=v²/R匀变速圆周运动公式条件ω=ω₀+αtα为常数θ=θ₀+ω₀t+½αt²α为常数ω²-ω₀²=2α(θ-θ₀)α为常数3.2刚体的基本运动平动：刚体上任意直线的方位保持不变。特征：刚体上各点的轨迹相同，在同一瞬时各点的速度和加速度也相同。定轴转动：刚体绕固定轴线转动。物理量公式转动方程φ=φ(t)角速度ω=dφ/dt角加速度α=dω/dt=d²φ/dt²转动刚体上任一点速度v=R·ω切向加速度a_t=R·α法向加速度a_n=R·ω²定轴转动刚体的运动量矢量表示物理量矢量表达式速度v=ω×r切向加速度a_t=α×r法向加速度a_n=ω×v=ω×(ω×r)齿轮传动（啮合点速度相等）传动比：i₁₂=ω₁/ω₂=r₂/r₁=z₂/z₁皮带（链）传动：ω₁/ω₂=r₂/r₁3.3点的合成运动三个基本概念概念定义说明动点研究的运动点动参考系（动系）运动的参考体定参考系（静系）固定在地面上的参考系默认三种运动运动类型定义绝对运动动点相对于定系的运动相对运动动点相对于动系的运动牵连运动动系相对于定系的运动三种速度和加速度速度/加速度定义绝对速度v_a动点相对于定系的速度相对速度v_r动点相对于动系的速度牵连速度v_e动系上与动点重合的点相对于定系的速度绝对加速度a_a动点相对于定系的加速度相对加速度a_r动点相对于动系的加速度牵连加速度a_e动系上与动点重合的点相对于定系的加速度速度合成定理（适用任何情况）v_a=v_e+v_r加速度合成定理牵连运动为平动时：a_a=a_e+a_r牵连运动为转动时（科氏加速度）：a_a=a_e+a_r+a_C概念公式科氏加速度a_C=2ω_e×v_r科氏加速度大小a_C=2ω_e·v_r·sinθ科氏加速度方向判断：右手法则，ω_e×v_r的方向即为a_C方向。3.4刚体的平面运动平面运动的分解：平面运动=随基点的平动+绕基点的转动求平面图形上各点速度的方法方法公式说明基点法v_B=v_A+v_BAv_BA=ω×r_BA，大小ω·AB速度投影定理(v_B)AB=(v_A)ABA、B两点速度在AB连线上的投影相等速度瞬心法v_C=ω×r_CM瞬心C处速度为零，图形绕瞬心转动速度瞬心位置的确定情况瞬心位置纯滚动接触点已知v_A和ω瞬心在v_A的垂线上，距离CA=v_A/ω已知两点速度方向两速度垂线的交点已知两点速度平行且同向连接速度端点的直线与AB的交点已知两点速度平行且反向瞬心在AB连线之间平面图形上各点的加速度基点法：a_B=a_A+a_BA_t+a_BA_na_BA_t大小：α·AB（方向垂直于AB）a_BA_n大小：ω²·AB（方向由B指向A）第四部分：动力学速查4.1动力学基本定律牛顿第二定律：F=ma质点的运动微分方程坐标系方程形式直角坐标mẍ=ΣF_x,mÿ=ΣF_y,mz̈=ΣF_z自然坐标m·dv/dt=ΣF_t,m·v²/ρ=ΣF_n,0=ΣF_b4.2动量定理动量概念公式质点动量p=mv质点系动量P=Σm_i·v_i=M·v_C（M为总质量，v_C为质心速度）冲量：I=∫F·dt（常力时I=Ft）动量定理形式公式微分形式dP/dt=ΣF_e（外力主矢）积分形式P₂-P₁=ΣI_e守恒形式若ΣF_x=0，则P_x=常量质心运动定理：M·a_C=ΣF_e4.3动量矩定理动量矩概念公式质点对O点动量矩L_O=r×mv质点系对O点动量矩L_O=Σ(r_i×m_i·v_i)定轴转动刚体对转轴动量矩L_z=J_z·ω动量矩定理形式公式对定点OdL_O/dt=ΣM_O(F_e)对质心CdL_C/dt=ΣM_C(F_e)守恒若ΣM_O(F_e)=0，则L_O=常量转动惯量概念公式定义J_z=Σm_i·r_i²回转半径ρ_z=√(J_z/M)平行轴定理J_z=J_C+Md²常见均质物体转动惯量物体转轴转动惯量细杆过中心垂直于杆mL²/12细杆过端点垂直于杆mL²/3圆环过中心垂直于环面mR²圆盘/圆柱过中心垂直于盘面mR²/2球体过球心2mR²/5矩形板过中心垂直于板面m(a²+b²)/124.4动能定理力的功力功的计算常力在直线位移上做功W=F·s·cosθ变力做功W=∫F·dr重力做功W=±mgh（下降为正）弹力做功W=½k(δ₁²-δ₂²)摩擦力做功W=-f·N·s力偶做功W=∫Mdφ动能对象公式质点T=½mv²质点系T=Σ½m_i·v_i²平动刚体T=½Mv_C²定轴转动刚体T=½J_z·ω²平面运动刚体T=½Mv_C²+½J_C·ω²动能定理形式公式微分形式dT=ΣδW积分形式T₂-T₁=ΣW功率：P=F·v（力的功率），P=M·ω（力偶的功率）4.5机械能守恒定律势能力场势能公式（以某处为零势能点）重力场V=mgh（h从零势能面量起）弹性力场V=½kδ²（δ为弹簧变形量）机械能守恒：若只有有势力（保守力）做功，则T+V=常量。4.6动静法（达朗贝尔原理）质点的达朗贝尔原理：F+N+F_I=0其中F_I=-ma（惯性力）质点系的达朗贝尔原理：作用在质点系上的所有外力与虚加的惯性力构成平衡力系。刚体惯性力系的简化运动类型简化结果平动合力F_I=-Ma_C，作用在质心定轴转动（有质量对称面，转轴垂直对称面）主矢F_I=-Ma_C（作用于转轴O）

主矩M_IO=-J_O·α平面运动（有质量对称面）主矢F_I=-Ma_C（作用于质心C）

主矩M_IC=-J_C·α第五部分：常考计算题模板题型一：静力学——物体系统平衡例题：梁AB和BC铰接于B，A端固定铰支座，C端滚动铰支座。

AB上作用一力偶M，BC的C端有一力F作用。求A、C处约束力。

解题步骤：

1.取整体为研究对象（假设约束力方向）

2.列整体平衡方程，求出部分未知量

3.取部分物体（如BC）为研究对象

4.列部分物体的平衡方程

5.联立求解所有未知量

6.校核题型二：运动学——点的合成运动例题：曲柄OA以ω绕O匀速转动。求曲柄与滑道机构中滑块B的速度。

解题步骤：

1.选动点（滑块A），选动系（固结于滑道）

2.分析三种运动：绝对运动（圆周运动）、相对运动（沿滑道直线运动）、牵连运动（滑道平移）

3.画速度平行四边形：v_a=v_e+v_r

4.求各速度大小（利用几何关系）

5.求解未知量题型三：运动学——平面运动例题：轮子在水平面上纯滚动，轮心速度为v_O，半径为R。求轮缘上最高点的速度。

解题步骤：

1.确定瞬心C（接触点）

2.计算角速度：ω=v_O/R

3.求任意点速度：v=ω·CM（M到瞬心C的距离）

4.最高点：v=ω×2R=2v_O题型四：动力学——动能定理例题：均质圆柱体在斜面上纯滚动，从静止开始下滑高度h，求质心速度。

解题步骤：

1.分析受力（做功的力：重力做正功，摩擦力不做功）

2.初始动能T₁=0

3.末动能T₂=½mv²+½Jω²=½mv²+½(½mR²)(v/R)²=¾mv²

4.外力功W=mgh

5.由动能定理T₂-T₁=W：¾mv²=mgh→v=√(4gh/3)题型五：动静法（达朗贝尔原理）解题步骤：

1.分析主动力和约束力

2.根据运动情况，分析加速度

3.添加虚惯性力（主矢F_I=-Ma_C，主矩M_IC=-J_C·α）

4.列平衡方程

5.求解未知量第六部分：高频计算题练习（附带答案）序号题目答案1均质杆AB长L，重P，一端靠在光滑墙上，另一端放在光滑地面上，杆与地面夹角θ。求A、B处约束力N_A=P/(2sinθ),N_B=P/22梁AB长4m，A端固定铰支座，B端活动铰支座，梁上作用均匀分布载荷q=2kN/m。求A、B处约束力F_Ay=4kN,F_By=4kN3曲柄OA=r，以匀角速度ω转动，通过连杆AB带动滑块B。当曲柄与水平成30°时，求滑块B的速度v_B=rω（需利用速度瞬心法）4椭圆规尺AB长L，A端沿水平面滑动，B端沿垂直面滑动。A以匀速u运动。求AB的角速度ω_AB=u/(L·sinθ)5半径为R的均质圆盘在水平面上纯滚动，轮心速度v_0。求圆盘的动能T=¾mv_0²6均质杆AB长L，质量m，绕A端以ω转动。求杆对A轴的动量矩L_A=mL²ω/37飞轮转动惯量J=10kg·m²，初转速n=300r/min。在恒定制动力矩M_f=20N·m作用下，求停止所需时间t≈15.7s8重量为G的重物自高度h处自由落下，打在简支梁中点上。求梁的最大动挠度（不计梁质量）δd=δst·(1+√(1+2h/δ_st))9物体重P=100N，放在斜面上，斜面倾角α=30°，摩擦系数f=0.3。求摩擦力大小F=P·sin30°=50N（先判断是否自锁）10直角杆OAB，OA=a，AB=b，绕O以匀角速度ω转动。求B点速度和加速度v_B=ω√(a²+b²),a_B=a_Bn=ω²√(a²+b²)11均质细杆AB，质量为m，长L。从水平位置静止释放，绕A端转动。求转到竖直位置时的角速度ω=√(3g/L)12质点M沿半径为R的圆弧运动，切向加速度a_t=常数。从静止开始运动，求经过t秒时的加速度a=√(a_t²+a_n²),a_n=(a_t·t)²/R13在光滑水平面上，弹簧一端固定，另一端连接质点m。弹簧刚度k，初始伸长x₀释放。求质点运动方程x=x₀·cos(√(k/m)·t)14均质圆盘半径为R，质量为m，在水平面上以初角速度ω₀纯滚动。受摩擦力作用逐渐减速。求停止前滚动距离s=¾R²ω₀²/(fg)15提升机构：定滑轮和动滑轮组合。均质定滑轮质量m₁半径r₁，动滑轮m₂半径r₂。提升重物G。求重物加速度用动能定理求导或动静法第七部分：高频选择题题库（50题）模块一：静力学基础题号题目选项A选项B选项C选项D答案1力的三要素是大小、方向、位置大小、方向、作用点大小、方向、作用线大小、方向、作用面B2二力平衡公理适用于刚体变形体任何物体流体A3作用力与反作用力作用在同一物体上不同物体上同一刚体上平衡的物体上B4力偶对物体的作用效应取决于力的大小力偶臂力偶矩力的作用点C5固定端约束在平面内的未知量有1个2个3个4个C6平面力偶系平衡的充要条件是ΣF=0ΣM=0ΣF_x=0,ΣF_y=0ΣM_A=0B7光滑接触面的约束力方向沿接触面垂直于接触面沿切线方向任意方向B8二力杆的约束力沿任意方向垂直于杆杆的轴线接触面法线C模块二：平面力系题号题目选项A选项B选项C选项D答案9平面汇交力系可列几个独立平衡方程1234B10平面任意力系可列几个独立平衡方程1234C11平面任意力系向一点简化，若主矢为零，主矩不为零，则原力系等效于一个力一个力偶平衡无法确定B12摩擦角的正切等于摩擦系数摩擦系数的倒数摩擦系数的平方摩擦系数的一半A13自锁现象中，主动力合力作用线位于摩擦角之外摩擦角之内水平线之下竖直线上B模块三：空间力系题号题目选项A选项B选项C选项D答案14空间任意力系有几个独立平衡方程3456D15力对点之矩与力对轴之矩的关系，力对轴之矩等于力对该轴上任一点的矩在该轴上的投影垂直面上的投影水平面上的投影法面上的投影A模块四：点的运动学题号题目选项A选项B选项C选项D答案16点的速度方向沿轨迹的法线方向切线方向副法线方向径向B17切向加速度表示速度的方向变化快慢大小变化快慢位置变化快慢不变B18法向加速度表示速度的方向变化快慢大小变化快慢位置变化快慢不变A19在自然坐标法中，切向加速度a_t=v²/ρdv/dtd²s/dt²B和C都对D20匀速圆周运动中a_t≠0,a_n=0a_t=0,a_n=0a_t=0,a_n≠0a_t≠0,a_n≠0C模块五：点的合成运动题号题目选项A选项B选项C选项D答案21速度合成定理v_a=v_e+v_r适用于只有牵连运动为平动只有牵连运动为转动任何牵连运动只有绝对运动已知C22科氏加速度等于ω×v_r2ω×v_rv_r×ω½ω×v_rB23牵连运动为平动时，科氏加速度等于零不为零等于2ω×v_r取决于ωA24科氏加速度方向由什么确定左手定则右手定则逆时针沿v_r方向B模块六：平面运动题号题目选项A选项B选项C选项D答案25速度瞬心的特点是速度最大速度为零加速度为零加速度最大B26纯滚动的轮子与地面接触点是速度瞬心加速度瞬心质心最高点A27速度投影定理内容：平面图形上两点的速度在其连线上的投影相等水平线上投影相等竖直线上投影相等任意方向相等A模块七：动力学题号题目选项A选项B选项C选项D答案28质点系的动量等于Σm_i·a_iM·a_CM·v_CΣm_i·r_iC29质心运动定理M·v_C=ΣFM·a_C=ΣFJ·α=ΣMmv=常量B30定轴转动刚体对转轴的动量矩等于MvJωJαmvRB31刚体平面运动的动能等于½Mv²½Jω²½Mv_C²+½J_Cω²½Mv_C²C32动能定理T₂-T₁=ΣW中，W是所有力的功外力的功内力的功约束力的功A33机械能守恒的条件是所有力不做功只有有势力做功摩擦力不做功约束力不做功B34转动惯量的平行轴定理J_z=J_C·md²J_z=J_C+md²J_C=J_z+md²J_z=J_C·d²B35细杆对过端点垂直于杆的轴的转动惯量为mL²/12mL²/3mL²/6mL²B36达朗贝尔原理中惯性力的大小等于ma½ma2mama²A37平动刚体的惯性力系简化为过质心的一个力，大小为Ma_C½Ma_C0JαA38定轴转动刚体（有对称面）的惯性力系简化为只一个力只一个力偶一个力和一个力偶零C模块八：综合题号题目选项A选项B选项C选项D答案39力矩在下列哪种情况下等于零力为零或力臂为零力最大时力臂最大时力与力臂平行A40平面汇交力系的合力大小等于各力之和各力之积各力矢量和最大力C41刚体平动时，其上各点的轨迹相同不相同只能是直线只能是圆A42刚体定轴转动时，其上各点的角速度与点到轴的距离成正比相等与点到轴距离的平方成正比与时间成正比B43齿轮传动中传动比i₁₂=z₁/z₂z₂/z₁r₁/r₂ω₁/ω₂B44动量定理只与什么力有关内力外力约束力重力B45动量矩定理对动点一般形式中，动点选为质心时最简单最复杂无法计算没有这种形式A46静摩擦力的大小由平衡方程求出，其范围是任意值0到f_sNfNf_sNB47滚动摩阻系数δ的量纲是无量纲长度力力矩B48科氏加速度产生的原因是相对运动与牵连转动耦合只有相对运动只有牵连运动没有原因A49速度瞬心法的依据是刚体平面运动可以视为绕__的转动固定轴质心瞬心任意点C50弹性力做功与路径有关无关有时有关成正比B第八部分：判断题速记（30题）序号题目答案1力偶可以用一个力来平衡。错（力偶只能用力偶平衡）2力可以沿作用线任意移动，不改变对刚体的作用效果。对（力的可传性）3作用力与反作用力可以相互平衡。错（作用在不同物体上）4平面任意力系有三个独立平衡方程。对5固定铰支座约束力方向已知。错（方向待定）6摩擦力的方向与物体运动方向相反。错（与相对运动趋势方向相反）7静摩擦系数大于动摩擦系数。对（一般情况）8空间汇交力系有三个独立方程。对9点做匀速圆周运动时，切向加速度为零。对10法向加速度恒指向曲率中心。对11速度合成定理对任何牵连运动都适用。对12加速度合成定理中，牵连运动为平动时科氏加速度为零。对13科氏加速度大小为ω×v_r。错（2ω×v_r）14刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同。对15速度瞬心的速度为零。对16速度瞬心的加速度也为零。错（不一定为零）17动量是标量。错（矢量）18动量守恒的条件是系统不受外力。错（外力的主矢为零）19动量矩守恒的条件是外力对某点的主矩为零。对20动能定理建立了机械运动与能量转化的关系。对21惯性力实际作用在物体上。错（虚拟的力）22平行轴定理为J_z=J_C+Md²。对23细杆对过中心垂直于杆的轴的转动惯量是mL²/12。对24纯滚动时，滑动摩擦力不做功。对（接触点无位移）25在动力学中，约束力总是做负功。错（不一定）26质心运动定理与刚体质量分布无关。对（只与质心加速度和外力有关）27弹性力的功等于½kδ²。错（初态减末态）28重力做功与路径有关。错（无关，只与起止位置高度差有关）29作用于定轴转动刚体的主动力对转轴之矩的代数和等于Jα。对30机械能守恒定律的适用条件是只有保守力做功。对第九部分：填空题高频考点（直接背诵）序号题目答案1力的三要素是__、__、__。大小、方向、作用点2力偶矩等于力乘以__。力偶臂3平面任意力系有__个独立平衡方程。34固定端约束在平面内有__个未知量。35光滑接触面约束力沿接触面的__方向。法线6最大静摩擦力F_max=__。f_s·N7摩擦角的正切等于__。摩擦系数（静摩擦系数）8点的速度沿轨迹的__方向。切线9切向加速度反映速度__的变化快慢。大小10法向加速度a_n=__（圆周运动）。v²/R或Rω²11速度合成定理：v_a=v_e+__。v_r12科氏加速度a_C=__。2ω_e×v_r13刚体平面运动可分解为随__的平动和绕__的转动。基点、基点14速度瞬心是平面图形上__为零的点。速度15动量的定义是__。质量乘以速度(mv)16质点系的动量等于总质量乘以__。质心速度17定轴转动刚体对转轴的动量矩等于__。转动惯量×角速度(Jω)18转动惯量的平行轴定理：J_z=__。J_C+Md²19细杆对过端点轴的转动惯量为__。mL²/320圆盘对过中心轴的转动惯量为__。mR²/221平面运动刚体的动能T=__。½Mv_C²+½J_Cω²22动能定理的积分形式为T₂-T₁=__。ΣW23机械能守