2027届新高考数学一轮热点复习 基本不等式

2027届新高考数学一轮热点复习基本不等式

a＞0，b＞0a＝b

算术平均数3．利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0.(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y取得最小值________(简记：积定和最小)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy取得最大值________(简记：和定积最大)．注意应用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正”“二定”“三相等”．

××√×

答案：±1

2

答案：－2

4．(人教A版必修一P48练习T3改编)做一个体积为32m3，高为2m的长方体纸盒，当底面的边长为________m时，用纸最少．答案：4

答案：C

答案：A

答案：D

学霸笔记：若已知条件中的变量直接满足“积为定值”或“和为定值”(或变形后为定值)，且变量均为正数，在保证等号成立的前提下，可以直接利用基本不等式求最值．

答案：A

答案：D

学霸笔记：配凑法就是将相关代数式进行适当变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法，配凑法的实质是代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键．

答案：A

答案：A

答案：D

考向4换元法求最值例5已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为________．答案：4

学霸笔记：当已知的条件式中既含有和式又含有积式，求和式或积式的最值时，往往把所求的式子看作一个整体进行换元，用基本不等式转化为换元后的不等式求解即可．跟踪训练已知a>0，b>0，ab＝9a＋b＋7，则ab的最小值为________．答案：49

命题点三基本不等式的实际应用例6某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价

20元．试求：(1)仓库面积S的取值范围是多少？

(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？

学霸笔记：利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，建立数学模型，求出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．跟踪训练

(衔接·人教A版必修一P49T6)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比，若在距离车站10km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？

答案：C

答案：B

答案：C

答案：B

答案：A

答案：B

7．(2026·昆明模拟)已知x>0，y>0，且x＋y－xy＋8＝0，则xy的最小值为(

)A．4 B．8C．16 D．32答案：C

答案：B

答案：BC

答案：ABC

答案：4

12．(2026·吕梁一模)正数x，y满足x＋y＝xy，则x＋9y的最小值是__________．答案：16

13．(13分)(2026·河南名校联考)已知正数a，b满足(3a＋b)2－10＝2ab.(1)求3a＋b的取值范围；

(2)证明：9a2＋b2≥6.

14．(15分)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需要维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙长30米，旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为xm，修建此矩形场