2025-2026学年下学期广东省深圳聚龙科学中学2026年5月冲刺卷试卷（含答案）

2025-2026学年度第二学期五月冲刺卷高三数学聚龙学子高考加油，祝考生考出理想成绩！本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(1+5i)iA.-1 B.C.1 D.62.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={x|(xA.{1,3} B.{2,4,5,6,7}C.{1,3,5,7} D.{2,4,6}3.已知双曲线C:x2a2-yA.5 B.4C.3554.已知函数f(x)=tan(ωx+φ)(A.(π4,0)C.(π35.设f(x)是定义在R上的函数，且对任意实数x恒有f(x+2)=-f(xA.1052 B.1051C.1050 D.06.已知平面直角坐标系xOy中，A(2,0)，B(-1,0)，|OC→|=2，OAA.[23,6]C.[1,3] D.[7.已知圆C:(x-4)2+y2=4，A(A.10-22 B.C.5+2 D.8.已知正实数a，b，c满足2a+1a=2a-a，3b+1bA.c<bC.a<c二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分。9.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1A.若λ=μ，则DPB.若λ=2μ，则CEC.若μ=12，则存在D.若μ=13，则存在λ，使10.设O为坐标原点，直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且与C交于A，B两点（点A在第一象限），|AB|min=4，A.pB.|AM|+|C.若∠MFO=D.x轴上存在一点N，使kAN11.在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(a+A.CB.CC.若∆ABC为锐角三角形，且b=2，则∆D.若c=23，∆ABC的内心为I，则三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分。12.若直线y=kx是曲线y=alnx的切线，也是曲线y13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a14.深圳市聚龙科学中举办“聚龙杯”数学比赛活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中三个年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额。从所有可能的分配方案中随机选择一种，用X表示这三个年级中分配的最少名额数，则X的数学期望E(X四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(13分)深圳市统计了2026年4月的空气质量指数(AQI)，将其分为[0，50]，(50，100]，(100，150]，(150，200]的4组，画出频率分布直方图如图所示。若AQI≤100，称当天空气质量达标；若AQI不达标。（1）求a；（2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率；(3)若2026年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值α=0.1月份空气质量合计达标不达标4月6月合计附：χ2α0.10.050.01χ2.7063.8416.63516.（15分）记数列{an}的前n（1）设a1=1，若Sn（2）记f(x)=1+x+17.（15分）如图，在几何体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥FC，EA（1）求异面直线EB与DF所成角的余弦值（2）证明：平面EBD⊥平面BDF（3）若M是几何体ABCDEF内的一个动点，且AM→=t(AB→+AD→)+(1-2t18.（17分）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)（1）求椭圆E的方程：（2）设直线l1不经过M点且与E相交于P、Q两点，（i）证明：直线l1过定点G（ii）设H为①中点G关于y轴的对称点，过点H作直线l2交于椭圆E于C、D两点，且l1⊥19.（17分）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链下垂部分所形成的曲线是悬链线，通过建立适当坐标系，悬链线可为函数f(x)=ex+e-x2的图象，我们称这个函数为“双曲余弦函数”，记为ch(（1）证明：（i）当x>0时，sh（ii）当x>0时，cosx（2）证明：sh(2)tan12025-2026学年度第二学期五月冲刺卷高三数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678CBCBBADA二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分。91011ABDABDACD三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分。121314e-239四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（13分）（1）依题意得，50×(α+0.006+0.01+α（2）由频率分布直方图知，4月份的空气质量达标的天数为：50×(0.002+0.006)×30=12，则4月份的空气质量不达标的天数为：30-12=18，则任取2天，至少有1天空气质量达标的概率为：1-C（3）列联表如下：月份空气质量合计达标不达标4月1218306月82230合计204060零假设：空气质量是否达标与月份无关，则χ所以根据小概率值α=0.1故不能认为空气质量是否达标与月份有关联。16.（15分）（1）当n≥2时，an=S时，有a1=1=S1，数列{an}（2）当x≠0时，f(x所以an=f'(2)=(n+1)2∴Tn=1×∴2T①-②得：-T∴T令cn=2n，其前所以S17.（15分）（1）以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.D(0,2,0)，F(2,2,1)，E(0,0,2)，BEB→=(2,0,-2)，cos⟨故异面直线EB与DF所成角的余弦值为1010（2）取BD的中点O，连接OE，OF，则O(1,1,0)所以OE→=(-1,-1,2)，OF→=(1,1,1)，所以OE=|OE→|=6，OF所以OE⊥OF.ED=|ED→|=22，EB所以OE⊥DB，OF∩DB=因为OE⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面（3）因为AM→所以M在线段OE上.因为CN→+(λ+μ)CF→AM→设G为MN的中点，所以AM→因为MN=2，所以|OG|=1，故AO→·18.（17分）（1）由题意有A(-a,0)，B(a,0)，可得b2=34a2，由椭圆焦距为2，有椭圆E的标准方程为x2（2）（i）由题意可知直线l1故可设直线l1:椭圆方程整理为3[(x整理得：3(x-联立①②得：3(x-设P(x1,yy1x1方程③两边同除以(x-2即4k2+12nk+3+12∵点P在椭圆上，∴k又∵kQAkBQ=3，∴∴直线l1:-13(x-∴直线l1恒过定点G（ii）G(-1,0)关于原点的对称点为H当直线l1的斜率不为零时，设其方程为l将直线l1:x=整理得：(3λ2+4)|PQ当λ=0时，|PQ|=3，|CD3×4=6同理得|CD又∵l1⊥l212|PQ||CD又∵当直线l1∴四边形PCQD面积的取值范围是2884919.（17分）（1）（i）由sh(令F(x)=则F'所以F(x)所以F(所以当x>0时，sh（ii）令H(x)=则H'令φ(则φ'因此φ(x)所