2026年杭州高三数学高考三模冲刺卷：圆锥曲线定点定值专题（重点高中联盟第1套）含参考答案、逐题解析与评分细则

杭州重点高中联盟2026届高三数学高考三模冲刺卷·圆锥曲线定点定值专题第1套2026年杭州高三数学高考三模冲刺卷：圆锥曲线定点定值专题（重点高中联盟第1套）含参考答案、逐题解析与评分细则杭州重点高中联盟·2026届高三数学高考三模冲刺卷（第1套）圆锥曲线定点定值专题数学满分：150分考试时间：120分钟学校__________班级__________姓名__________座位号__________注意事项本卷为杭州重点高中联盟2026届高三数学高考三模冲刺用卷，重点考查圆锥曲线中的定点、定值、切线与弦、焦点弦等问题，同时覆盖函数与导数、立体几何、概率统计、数列等临考核心模块。全卷共22题。第1—8题为单项选择题，第9—11题为多项选择题，第12—16题为填空题，第17—22题为解答题。请将答案写在指定位置，保持书写规范、过程完整。单项选择题每题只有一个正确选项；多项选择题全部选对得6分，漏选且无错选得3分，有错选或不选得0分。填空题只写最终结果，解答题须写出必要推理、计算和结论。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每题只有一个正确选项。）1.（5分）椭圆C：x²/9＋y²/4＝1的离心率为（）。A.√5/3B.2/3C.5/9D.√13/32.（5分）抛物线C：y²＝8x的焦点到准线的距离为（）。A.2B.4C.8D.163.（5分）双曲线x²/a²－y²/4＝1的一条渐近线斜率为2/3，则该双曲线的离心率是（）。A.5/3B.√5/3C.13/9D.√13/34.（5分）椭圆C：x²/4＋y²＝1在点P(√2，√2/2)处的切线方程为（）。A.x＋2y＝2√2B.2x＋y＝2√2C.x－2y＝2√2D.x＋2y＝√25.（5分）直线y＝k(x－1)（k∈R）与抛物线y²＝4x交于A，B两点（A≠B）时，弦AB恒过的定点为（）。A.(0，1)B.(1，0)C.(0，－1)D.(2，1)6.（5分）椭圆x²/25＋y²/9＝1的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P在椭圆上，则|PF₁|＋|PF₂|等于（）。A.6B.8C.10D.127.（5分）双曲线C：x²/4－y²/b²＝1的离心率为3/2，则b²＝（）。A.4B.5C.9D.138.（5分）已知函数f(x)＝x³－3x＋a，则f(x)在x＝1处切线的斜率为（）。A.－3B.0C.1D.a选择题作答栏题号1234567891011答案二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，漏选且无错选得3分，有错选或不选得0分。）9.（6分）关于椭圆E：x²/16＋y²/9＝1，下列判断正确的是（）。A.焦距为2√7B.短轴长为6C.离心率为3/4D.点(4，0)处切线为x＝410.（6分）关于抛物线C：y²＝4x，取参数点P(t²，2t)（t≠0），下列说法正确的是（）。A.焦点为(1，0)B.P处切线为ty＝x＋t²C.|PF|等于P到准线的距离D.当t＝2时切线斜率为211.（6分）已知双曲线H：x²/9－y²/16＝1，下列说法正确的是（）。A.实轴长为6B.焦点为(±5，0)C.渐近线为y＝±4x/3D.离心率为4/3三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）12.（5分）椭圆x²/4＋y²/9＝1的斜率为1的两条切线方程为：__________。作答区：________________________________________________________________________________13.（5分）过点P(2，1)的直线作为抛物线y²＝4x的一条弦，若弦两端点处的切线交于T(x₀，y₀)，则点T满足的定直线方程为：__________。作答区：________________________________________________________________________________14.（5分）已知数列{aₙ}满足a₁＝2，aₙ₊₁＝aₙ＋2n，则a₆＝__________。作答区：________________________________________________________________________________15.（5分）若函数f(x)＝lnx－ax＋1在(0，＋∞)上恒不大于0，则实数a的取值范围是：__________。作答区：________________________________________________________________________________16.（5分）某班一次模拟卷中，随机抽取一份答卷，其“圆锥曲线压轴第二问得满分”的概率估计为0.2。随机独立抽取4份答卷，至少有1份该问满分的概率为：__________。作答区：________________________________________________________________________________四、解答题（本大题共6小题，共67分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（10分）已知数列{aₙ}满足a₁＝1，aₙ₊₁＝2aₙ＋3（n∈N*）。

（1）设bₙ＝aₙ＋3，证明{bₙ}为等比数列，并求aₙ的通项公式；

（2）记Sₙ＝a₁＋a₂＋…＋aₙ，求满足Sₙ＞1000的最小正整数n。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________18.（12分）如图形关系用文字描述：在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝2。点E，F分别为BB₁，DD₁的中点。

（1）证明EF∥BD；

（2）求直线A₁C与平面BB₁D₁D所成角的正弦值；

（3）求点A到平面BB₁D₁D的距离。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________19.（12分）某校对60名高三学生进行“圆锥曲线定点定值专题”小测，满分12分，得分分组如下。得分区间[0，3)[3，6)[6，9)[9，12]人数6122418（1）用各组中点估计该专题小测的平均分与方差；

（2）把“得分不低于9分”视为进入讲评展示的标准，并用样本频率估计概率。现从同类学生中独立随机抽取4人，设Y为进入讲评展示的人数，求P(Y≥2)与E(Y)。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________20.（10分）已知函数fₐ(x)＝lnx－ax＋1（x＞0）。

（1）当a＝1时，求f₁(x)的单调区间与最大值；

（2）求实数a的取值范围，使fₐ(x)≤0对任意x＞0恒成立；

（3）在a＝1的情形下，写出并证明临考常用不等式lnx≤x－1的等号成立条件。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________21.（11分）已知抛物线C：y²＝4x，点P(2，1)。过P的变直线l与C交于A，B两点（A≠B，且l不是C的切线），过A，B两点的切线交于T(x₀，y₀)。

（1）设A，B对应参数t₁，t₂，即A(t₁²，2t₁)，B(t₂²，2t₂)，求弦AB的方程；

（2）证明点T在一条定直线上，并写出该定直线；

（3）设F(1，0)为抛物线焦点，求|TF|的最小值，并说明取得条件。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________22.（12分）已知椭圆E过点(0，2)，离心率e＝√5/3，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F₁，F₂。

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过F₁的任意直线与E交于A，B两点，证明|AF₂|＋|BF₂|＋|AB|为定值，并求该定值；

（3）若直线AB不为x轴，过A，B两点的切线交于T，证明T在一条定直线上，并写出该直线方程。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

参考答案与详解客观题答案速查表题号12345678答案ABDABCBB题号910111213141516答案ABDABCABCy＝x±√13y＝2x＋432[1，＋∞)369/625一、单项选择题解析与评分细则第1题答案：A。解析：椭圆x²/9＋y²/4＝1中a＝3，b＝2，c＝√(a²－b²)＝√5，因此离心率e＝c/a＝√5/3。B项把短半轴与长半轴之比误作离心率，C项把c²/a²误作e，D项混用了双曲线中c²＝a²＋b²。评分细则：选A得5分；选错、不选或多选得0分。第2题答案：B。解析：由y²＝8x＝2px得p＝4，焦点为(2，0)，准线为x＝－2，焦点到准线的距离为4。注意不要把系数8直接当作焦准距。评分细则：选B得5分。第3题答案：D。解析：双曲线x²/a²－y²/4＝1的渐近线为y＝±(2/a)x。由斜率2/3得a＝3，c＝√(a²＋b²)＝√(9＋4)＝√13，所以e＝√13/3。评分细则：选D得5分。第4题答案：A。解析：椭圆x²/4＋y²＝1在点(x₀，y₀)处的切线为xx₀/4＋yy₀＝1。代入P(√2，√2/2)，得√2x/4＋√2y/2＝1，即x＋2y＝2√2。评分细则：选A得5分。第5题答案：B。解析：直线y＝k(x－1)无论k取何值都经过点(1，0)，因此其与抛物线所截弦AB所在直线恒过定点(1，0)。此题考查“弦所在直线的公共点”而非弦中点。评分细则：选B得5分。第6题答案：C。解析：椭圆x²/25＋y²/9＝1中a＝5。椭圆定义给出任一点P满足|PF₁|＋|PF₂|＝2a＝10。评分细则：选C得5分。第7题答案：B。解析：双曲线x²/4－y²/b²＝1中a＝2。离心率e＝c/a＝3/2，所以c＝3。由c²＝a²＋b²，得b²＝9－4＝5。评分细则：选B得5分。第8题答案：B。解析：f'(x)＝3x²－3，故f'(1)＝0。参数a只影响函数图像的上下平移，不影响切线斜率。评分细则：选B得5分。二、多项选择题解析与评分细则第9题答案：ABD。解析：椭圆x²/16＋y²/9＝1中a＝4，b＝3，c＝√7，焦距为2c＝2√7，A正确；短轴长2b＝6，B正确；离心率e＝√7/4，不是3/4，C错误；在(4，0)处的切线为x＝4，D正确。评分细则：选ABD得6分；漏选且无错选得3分；有错选或不选得0分。第10题答案：ABC。解析：抛物线y²＝4x的焦点为(1，0)，A正确；参数点(t²，2t)处切线为ty＝x＋t²，B正确；点P到焦点的距离等于到准线x＝－1的距离，且均为t²＋1，C正确；当t＝2时切线为2y＝x＋4，斜率为1/2，D错误。评分细则：选ABC得6分；漏选且无错选得3分；有错选或不选得0分。第11题答案：ABC。解析：双曲线x²/9－y²/16＝1中a＝3，b＝4，c＝5。实轴长2a＝6，焦点为(±5，0)，渐近线y＝±(b/a)x＝±4x/3，故A、B、C正确；离心率e＝5/3，D错误。评分细则：选ABC得6分；漏选且无错选得3分；有错选或不选得0分。三、填空题解析与评分细则第12题答案：y＝x±√13。解析：设切线为y＝x＋m，代入x²/4＋y²/9＝1。整理为13x²＋8mx＋4m²－36＝0。相切时判别式为0，得64m²－52(4m²－36)＝0，即m²＝13，所以切线为y＝x±√13。评分细则：填出两条切线完整方程得5分；只写出一条得2分；符号或根号错误不得满分。第13题答案：y＝2x＋4。解析：抛物线y²＝4x上参数点为(t²，2t)，两端点参数为t₁、t₂时，弦AB方程为x－(t₁＋t₂)y/2＋t₁t₂＝0；两切线交点T为(t₁t₂，t₁＋t₂)。因P(2，1)在弦AB上，2－(t₁＋t₂)/2＋t₁t₂＝0，即y₀＝2x₀＋4。评分细则：写成y₀＝2x₀＋4或y＝2x＋4均得5分。第14题答案：32。解析：由aₙ₊₁－aₙ＝2n，得a₆＝a₁＋2(1＋2＋3＋4＋5)＝2＋30＝32。评分细则：答案32得5分；若只写递推过程但结果错误，最多2分。第15题答案：[1，＋∞)。解析：fₐ'(x)＝1/x－a。若a≤0，则x趋于＋∞时fₐ(x)不可能恒≤0。若a>0，最大值在x＝1/a处取得，最大值为ln(1/a)－1＋1＝－lna。恒≤0等价于－lna≤0，即a≥1。评分细则：答案区间正确得5分；端点1遗漏扣2分。第16题答案：369/625。解析：至少有1份满分的概率为1－(1－0.2)⁴＝1－0.8⁴＝1－256/625＝369/625，即0.5904。评分细则：写369/625或0.5904均得5分。四、解答题参考答案、逐题解析与评分细则第17题参考答案与解析（1）由bₙ＝aₙ＋3，得bₙ₊₁＝aₙ₊₁＋3＝2aₙ＋6＝2(aₙ＋3)＝2bₙ。又b₁＝a₁＋3＝4，所以{bₙ}是首项4、公比2的等比数列，bₙ＝4·2ⁿ⁻¹＝2ⁿ⁺¹，故aₙ＝2ⁿ⁺¹－3。（2）Sₙ＝Σ(2ᵏ⁺¹－3)＝(2²＋2³＋…＋2ⁿ⁺¹)－3n＝2ⁿ⁺²－4－3n。检验：S₈＝2¹⁰－4－24＝996≤1000，S₉＝2¹¹－4－27＝2017＞1000，所以最小正整数n＝9。步骤关键内容分值（1）正确构造bₙ并得到bₙ₊₁＝2bₙ3分（1）写出bₙ和aₙ通项3分（2）求出Sₙ＝2ⁿ⁺²－4－3n2分（2）比较S₈、S₉并给出最小n＝92分第18题参考答案与解析建立空间直角坐标系：A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，A₁(0，0，2)，C(2，2，0)，B₁(2，0，2)，D₁(0，2，2)。E为BB₁中点，E(2，0，1)；F为DD₁中点，F(0，2，1)。（1）向量EF＝(－2，2，0)，向量BD＝(－2，2，0)，所以EF∥BD。（2）平面BB₁D₁D的方程为x＋y＝2，法向量n＝(1，1，0)。直线A₁C的方向向量v＝(2，2，－2)。设直线与平面所成角为θ，则sinθ＝|v·n|/(|v||n|)＝4/(2√3·√2)＝√6/3。（3）点A到平面x＋y－2＝0的距离为|0＋0－2|/√(1²＋1²)＝√2。步骤关键内容分值建系坐标系与关键点坐标正确2分（1）向量EF、BD对应并证明平行2分（2）写出平面方程或法向量2分（2）利用线面角公式并算得√6/33分（3）利用点到平面距离公式得√23分第19题参考答案与解析（1）各组中点分别为1.5，4.5，7.5，10.5。平均分估计为x̄＝(6×1.5＋12×4.5＋24×7.5＋18×10.5)/60＝432/60＝7.2。方差估计为s²＝[6(1.5－7.2)²＋12(4.5－7.2)²＋24(7.5－7.2)²＋18(10.5－7.2)²]/60＝480.6/60＝8.01。（2）样本中不低于9分的人数为18，估计概率p＝18/60＝0.3。因此Y～B(4，0.3)。P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝1－0.7⁴－4×0.3×0.7³＝0.3483；E(Y)＝4×0.3＝1.2。步骤关键内容分值（1）确定四个组中点2分（1）平均分计算正确7.23分（1）方差公式与结果8.01正确3分（2）估计p＝0.3并判断Y服从二项分布2分（2）求得P(Y≥2)=0.3483与E(Y)=1.22分第20题参考答案与解析（1）当a＝1时，f₁(x)＝lnx－x＋1，f₁'(x)＝1/x－1＝(1－x)/x。故在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，最大值为f₁(1)＝0。（2）若a≤0，则当x充分大时，－ax不为负向控制项，fₐ(x)不能恒≤0。若a＞0，fₐ'(x)＝1/x－a，在x＝1/a处取得最大值，最大值为fₐ(1/a)＝ln(1/a)－1＋1＝－lna。要使fₐ(x)≤0恒成立，须且只须－lna≤0，即a≥1。（3）由（1）知f₁(x)≤0对任意x＞0成立，即lnx－x＋1≤0，故lnx≤x－1。当且仅当x＝1时等号成立。这一不等式常用于导数压轴题中的放缩与比较。步骤关键内容分值（1）求导并判断单调性3