2026年常州高三数学高考三模冲刺卷：概率统计与实际应用建模（学生自测版第4套）含参考答案、逐题解析与评分细则

常州高三数学高考三模冲刺·学生自测版第4套满分150分考试时间120分钟参考答案与评分细则见试题后半部分2026年常州高三数学高考三模冲刺卷：概率统计与实际应用建模（学生自测版第4套）含参考答案、逐题解析与评分细则地区或学校簇常州/学生自测版考试节点2026届高考三模冲刺科目数学专题重点概率统计与实际应用建模试卷版本学生自测版第4套满分150分考试时间120分钟适用对象常州高三三模冲刺自测注意事项1.本卷共22题，分为单项选择题、多项选择题、填空题、解答题四部分。满分150分，考试时间120分钟。2.单项选择题每题只有一个正确选项；多项选择题至少有两个正确选项，全选对得满分，少选得部分分，错选或多选不得分。3.请将选择题答案填入答题栏，填空题答案写在横线上，解答题须写出必要的文字说明、推理过程和计算步骤。4.书写保持规范，建模题应说明变量含义、模型依据和结论解释；答案区在试题后半部分，请自测后再核对。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。1.复数z=(2-i)(1+i)，则|z|等于（）A.√5B.√10C.4D.102.设集合A={x|x²-3x-4<0}，B={x|ln(x-1)≤0}，则A∩B=（）A.(-1,2]B.[1,2]C.(1,2]D.(1,4)3.随机变量X~B(4,1/2)，则P(X≥3)=（）A.1/16B.1/4C.5/16D.3/84.函数f(x)=lnx-x/2（x>0）的最大值为（）A.ln2-1B.ln2C.1-ln2D.-15.等比数列{a_n}的首项a₁=2，公比q=1/2，记S_n为前n项和，则使S_n>15/4的最小正整数n为（）A.3B.4C.5D.66.对数据点(1,2)，(2,3)，(3,5)，(4,6)作最小二乘直线y=bx+a，则当x=5时的预测值为（）A.7B.7.5C.8D.8.57.抛物线y²=4x的焦点到直线x-y+1=0的距离为（）A.1B.√2C.2D.2√28.函数g(x)=x³-3x²+2在区间[0,3]上的最大值为（）A.-2B.0C.2D.4二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。每小题至少有两个正确选项。全选对得5分，少选且无错选得2分，错选或多选得0分。9.设X服从正态分布N(100,4²)。下列判断正确的是（）A.P(X<100)=0.5B.P(96<X<104)≈0.6826C.P(X>108)≈0.0228D.事件X=100的概率最大10.设f(x)=x²-2x+lnx（x>0）。下列说法正确的是（）A.f(x)的定义域为(0,+∞)B.f(x)在(0,+∞)上单调递增C.f(x)在x=1处取得极小值D.f(x)的图象与x轴有且只有一个交点11.椭圆C:x²/9+y²/4=1的几何性质中，正确的是（）A.a=3，b=2，c=√5B.离心率e=√5/3C.两焦点间距离为2√5D.直线x=3/2截椭圆所得弦长为4√3/312.某企业三台设备A、B、C的产量占比分别为50%、30%、20%，对应次品率分别为1%、2%、3%。随机抽取一件产品。下列说法正确的是（）A.抽到次品的概率为0.017B.已知为次品，来自A设备的概率为5/17C.已知为次品，来自C设备的概率为6/17D.已知为合格品，来自B设备的概率为30/98选择题答题栏123456789101112三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.从编号为1，2，3，4，5的五张卡片中不放回地任取两张，记X为两张卡片编号的较大值，则E(X)=__________。14.曲线y=eˣ在x=0处的切线与直线y=2x的交点到原点的距离为__________。15.等差数列{a_n}中，a₃=7，a₈=22，则其前10项和S₁₀=__________。16.6件产品中有3件优品、3件次品，从中任取3件，则至少取到2件优品的概率为__________。四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。请在每题下方空白处作答。17.（10分）已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos²x-1。

（1）求f(x)的最小正周期、最大值与最小值；

（2）求方程f(x)=1在区间[0,π]内的解；

（3）记b_n=f(nπ/4)，求数列{b_n}的前8项和。答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________18.（12分）如图形关系用文字表示：四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2。

（1）求PB的长及直线PB与底面ABCD所成角；

（2）证明平面PAB⊥平面PAD；

（3）求点P到直线BD的距离。答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________19.（12分）常州某校高三数学组三模前抽取100名学生，统计每人一周内完成“概率统计与建模”限时训练套数X，得到下表。

完成套数X01234人数515303515（1）求样本均值与方差；

（2）若全年级共有840名学生，估计一周内完成不少于3套的学生人数；

（3）从这100名学生中不放回随机抽取2人，求恰有1人完成不少于3套的概率；

（4）若完成不少于3套的学生下次测试成绩提升的概率为0.60，少于3套的学生提升的概率为0.40，随机抽取1名学生且已知其成绩提升，求其完成不少于3套的概率。答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________20.（12分）已知椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，两焦点间的距离为2√3，短半轴长为1。点P(0,1)在椭圆上。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点P作直线l:y=kx+1（k≠0），与椭圆C的另一个交点为Q，求Q的坐标；

（3）记椭圆两焦点为F₁、F₂。若三角形F₁F₂Q的面积为√3/2，求k的值。答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________21.（12分）已知函数f(x)=eˣ-ax-1，其中a>0。

（1）若f′(0)=0，求a，并求此时f(x)的最小值；

（2）讨论函数f(x)零点的个数；

（3）当a=1时，证明eˣ≥1+x，且等号成立当且仅当x=0。答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________22.（12分）三模冲刺阶段，常州某班把学生每周错题订正时长t（分钟）与“概率统计建模题达标”的概率p建立逻辑回归模型

ln(p/(1-p))=α+βt。

根据前两周数据，t=20时p=0.60，t=50时p=0.80。

（1）求α、β，并预测t=35时的达标概率p；

（2）若4名学生均按t=35训练，且达标相互独立，求至少3人达标的概率；

（3）在总订正时长同为140分钟时，方案A为4名学生均35分钟，方案B为2名学生50分钟、2名学生20分钟。分别从“达标人数期望”和“至少3人达标概率”两个角度判断哪种方案更优；

（4）指出该模型在临考使用时至少一个可能局限，并给出改进建议。答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________答：______________________________________________________________解答题续答区用于第17—22题补充演算、草稿整理或修改答案。____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

参考答案与详解本部分供学生完成自测后核对使用。客观题给出关键知识点和易错选项说明，解答题给出逐步解析与采分点。客观题答案速查12345678BCCACBBC910111213141516ABCABDABCABC4√51451/2第1题答案：B计算z=(2-i)(1+i)=2+2i-i-i²=3+i，所以|z|=√(3²+1²)=√10。A少算了实部，C、D把模长与模长平方混淆。第2题答案：C由x²-3x-4<0得-1<x<4；由ln(x-1)≤0得0<x-1≤1，即1<x≤2。因此A∩B=(1,2]。A把x>1的限制放宽，B误把端点1纳入。第3题答案：CX~B(4,1/2)，P(X≥3)=C₄³(1/2)⁴+C₄⁴(1/2)⁴=(4+1)/16=5/16。A只算了X=4，B漏掉组合系数，D把X≥2的部分混入。第4题答案：Af′(x)=1/x-1/2。令f′(x)=0得x=2；当0<x<2时f′(x)>0，当x>2时f′(x)<0，故最大值为f(2)=ln2-1。第5题答案：CS_n=2(1-(1/2)ⁿ)/(1-1/2)=4(1-2^{-n})。由S_n>15/4得2^{-n}<1/16，所以n>4，最小正整数n=5。第6题答案：B样本均值为x̄=2.5，ȳ=4。斜率b=Σ(x_i-x̄)(y_i-ȳ)/Σ(x_i-x̄)²=7/5=1.4，截距a=4-1.4×2.5=0.5。预测值为y=1.4×5+0.5=7.5。第7题答案：B抛物线y²=4x的焦点为(1,0)。点到直线距离为|1-0+1|/√(1²+(-1)²)=2/√2=√2。第8题答案：Cg′(x)=3x²-6x=3x(x-2)，区间内需比较端点和驻点：g(0)=2，g(2)=-2，g(3)=2。因此最大值为2。第9题答案：ABC正态分布关于均值100对称，A正确；96与104分别是均值左右1个标准差，B正确；108是均值右侧2个标准差，P(X>108)≈0.0228，C正确；连续型随机变量在单点处概率为0，D错误。第10题答案：ABDlnx要求x>0，A正确。f′(x)=2x-2+1/x=(2x²-2x+1)/x，因为2x²-2x+1=2(x-1/2)²+1/2>0，且x>0，所以f单调递增，B正确，C错误。又x→0⁺时f(x)→-∞，x→+∞时f(x)→+∞，结合单调性可知与x轴有且只有一个交点，D正确。第11题答案：ABC椭圆中a²=9，b²=4，c²=a²-b²=5，所以A正确；e=c/a=√5/3，B正确；两焦点间距离为2c=2√5，C正确。令x=3/2，得y²/4=1-1/4=3/4，所以y=±√3，弦长为2√3，D错误。第12题答案：ABC抽到次品的概率为0.50×0.01+0.30×0.02+0.20×0.03=0.017，A正确。由贝叶斯公式，P(A|次品)=0.005/0.017=5/17，P(C|次品)=0.006/0.017=6/17，B、C正确。P(B|合格)=0.30×0.98/(1-0.017)=0.294/0.983=294/983，不是30/98，D错误。第13题答案：4较大值为k的情况数为k-1（另一张从1到k-1中选），总情况数C₅²=10。因此E(X)=(2×1+3×2+4×3+5×4)/10=40/10=4。第14题答案：√5y=eˣ在x=0处切线斜率为1，切点为(0,1)，切线为y=x+1。与y=2x联立得x=1，y=2，交点到原点距离为√(1²+2²)=√5。第15题答案：145设公差为d。由a₈-a₃=5d=22-7=15，得d=3；a₁=a₃-2d=1。故S₁₀=10(a₁+a₁+9d)/2=5×(1+28)=145。第16题答案：1/2至少2件优品包括2优1次和3优0次，概率为[C₃²C₃¹+C₃³]/C₆³=(9+1)/20=1/2。第17题答案：（1）最小正周期π，最大值√2，最小值-√2；（2）x=0，π/4，π；（3）0。将原式化简：2sinxcosx=sin2x，2cos²x-1=cos2x，故f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)。由表达式可知最小正周期T=π，最大值为√2，最小值为-√2。令f(x)=1，即√2sin(2x+π/4)=1，故sin(2x+π/4)=√2/2。由于x∈[0,π]，所以2x+π/4∈[π/4,9π/4]，取值为π/4、3π/4、9π/4，对应x=0、π/4、π。b_n=f(nπ/4)=sin(nπ/2)+cos(nπ/2)。前四项为1、-1、-1、1，和为0，周期为4，因此前8项和为0。评分细则：采分点分值正确化简为f(x)=sin2x+cos2x或√2sin(2x+π/4)2分求出周期与最值2分列出f(x)=1的三角方程并限定区间2分求得三个解x=0、π/4、π2分写出b_n的周期并求前8项和2分易错点：易漏掉端点x=0或x=π；解三角方程时必须把2x+π/4的取值区间同步改变。替代解法提示：也可将sin2x+cos2x=1化为2sin(x)cos(x)+cos²x-sin²x=1后用t=tanx分段求解，但需另行处理cosx=0的可能。第18题答案：（1）PB=2√2，所成角为45°；（2）见证明；（3）√6。以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系。则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)。PB=√[(2-0)²+(0-0)²+(0-2)²]=2√2。PB在底面ABCD上的射影为AB，故直线PB与底面所成角为∠PBA。因为PA=AB=2，所以tan∠PBA=PA/AB=1，所成角为45°。平面PAB为y=0，平面PAD为x=0，两平面的法向量可分别取(0,1,0)与(1,0,0)，点积为0，所以两平面垂直。也可由AB⊥AD、AB⊥PA，推出AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，故平面PAB⊥平面PAD。直线BD在底面内，其方程为x+y=2，z=0。点A到直线BD的距离为2/√2=√2。点P到直线BD的距离平方等于PA²加A到BD距离平方，即2²+(√2)²=6，故距离为√6。评分细则：采分点分值建立坐标系或准确写出空间关系2分求出PB=2√22分求出直线PB与底面所成角45°2分完成平面垂直证明3分求出A到BD的距离并合成空间距离2分写出点P到直线BD的距离√61分易错点：把直线与平面所成角误写成∠PAB；直线与平面所成角应是直线与其在平面上的射影所成的锐角。替代解法提示：第（3）问可用向量公式d=|PB×PD|/|BD|，其中|PB×PD|=2√6、|BD|=2√2，结果同为√6。第19题答案：（1）均值2.4，方差1.14；（2）420人；（3）50/99；（4）3/5。样本均值为x̄=(0×5+1×15+2×30+3×35+4×15)/100=240/100=2.4。E(X²)=(0²×5+1²×15+2²×30+3²×35+4²×15)/100=690/100=6.9，所以方差D(X)=6.9-2.4²=1.14。完成不少于3套的人数为35+15=50，比例为0.50。全年级840人中估计人数为840×0.50=420。在100人中，完成不少于3套与少于3套各50人。不放回抽取2人，恰有1人完成不少于3套的概率为C₅₀¹C₅₀¹/C₁₀₀²=2500/4950=50/99。设A表示完成不少于3套，B表示成绩提升。P(A)=0.5，P(B|A)=0.6，P(B|Aᶜ)=0.4。P(B)=0.5×0.6+0.5×0.4=0.5，故P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)=0.3/0.5=3/5。评分细则：采分点分值正确计算样本均值2分正确计算二阶矩与方差2分估计不少于3套人数2分建立不放回抽样概率并化简3分使用全概率公式与贝叶斯公式求后验概率3分易错点：第（3）问是不放回抽样，分母应为C₁₀₀²；第（4）问是条件概率，不能把0.60直接当作所求概率。替代解法提示：第（3）问也可按有序抽取写成2×(50/100)×(50/99)=50/99。第20题答案：（1）x²/4+y²=1；（2）Q(-8k/(4k²+1),(1-4k²)/(4k²+1))；（3）k=±1/(2√3)或k=±√3/2。由两焦点间距离2c=2√3得c=√3。短半轴长b=1，故a²=b²+c²=1+3=4。椭圆方程为x²/4+y²=1。将y=kx+1代入x²/4+y²=1，得x²/4+(kx+1)²=1，即x[(k²+1/4)x+2k]=0。一个交点为P(0,1)，另一个交点Q的横坐标为x_Q=-2k/(k²+1/4)=-8k/(4k²+1)。代回y=kx+1，得y_Q=1-8k²/(4k²+1)=(1-4k²)/(4k²+1)。两焦点F₁、F₂的距离为2√3，三角形F₁F₂Q的面积为(1/2)×2√3×|y_Q|=√3|y_Q|。由面积为√3/2，得|y_Q|=1/2。令u=k²≥0，则|(1-4u)/(4u+1)|=1/2。解得u=1/12或u=3/4，因此k=±1/(2√3)或k=±√3/2。评分细则：采分点分值由焦距、短半轴求出a²=42分写出椭圆方程1分直线代入椭圆并分解出交点P3分求出Q的坐标2分由面积转化为|y_Q|=1/22分解出四个k值2分易错点：求Q时不能把x=0的交点重复当作第二交点；面积只与Q到x轴距离有关，需取绝对值。替代解法提示：可用韦达定理求两交点横坐标之和，已知一个根为0，另一根即为-2k/(k²+1/4)。第21题答案：（1）a=1，最小值0；（2）a=1时一个零点，a≠1时两个零点；（3）见证明。f′(x)=eˣ-a。由f′(0)=1-a=0，得a=1。此时f(x)=eˣ-x-1，f′(x)=eˣ-1，x<0时f′(x)<0，x>0时f′(x)>0，故x=0处取最小值f(0)=0。对一般a>0，f′(x)=eˣ-a，唯一驻点为x=lna。且f(x)在(-∞,lna)上递减，在(lna,+∞)上递增，因此该点为全局最小点。最小值为f(lna)=a-alna-1=a(1-lna)-1。设φ(a)=a(1-lna)-1，则φ′(a)=-lna。φ(a)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，且φ(1)=0，所以当a=1时最小值为0，当a≠1时最小值小于0。又当x→-∞时，eˣ→0，-ax→+∞，故f(x)→+∞；当x→+∞时，eˣ主导，f(x)→+∞。因此a=1时函数与x轴相切，只有一个零点x=0；a≠1时先降后升且最小值小于0，有两个零点。当a=1时，令h(x)=eˣ-1-x。由前述可知h(x)的最